Theorem subcn 24865

Description: Complex number subtraction is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
subcn	⊢ − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Proof of Theorem subcn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		subf 11508	. 2 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		subcn2 15592	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝑏 − 𝑐))) < 𝑎))
4	1, 2, 3	addcnlem 24863	1 ⊢ − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423   − cmin 11490  TopOpenctopn 17431  ℂ_fldccnfld 21335   Cn ccn 23211   ×_t ctx 23547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-cnfld 21336  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-xms 24309  df-tms 24311

This theorem is referenced by:  cnfldtgp  24870  sub1cncf  24922  sub2cncf  24923  iirevcn  24934  iihalf2cn  24939  iihalf2cnOLD  24940  icchmeo  24948  icchmeoOLD  24949  evth  24968  evth2  24969  subcncf  25456  dvcnp2OLD  25933  cmvth  26006  cmvthOLD  26007  dvlipcn  26010  dvle  26023  lhop1lem  26029  dvfsumge  26039  dvfsumabs  26040  ftc2  26062  taylthlem2  26394  taylthlem2OLD  26395  sincn  26466  lgamgulmlem2  27050  pntlem3  27630  ipasslem7  30761  cvxsconn  35023  sinccvglem  35452  broucube  37303  ftc1cnnclem  37340  ftc2nc  37351  areacirclem2  37358  areaquad  42818