MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmet 22994
Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnmet (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 10355 . 2 ℂ ∈ V
2 absf 14491 . . 3 abs:ℂ⟶ℝ
3 subf 10626 . . 3 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
4 fco 6310 . . 3 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
52, 3, 4mp2an 682 . 2 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
6 subcl 10623 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
76abs00ad 14444 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8 eqid 2778 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
98cnmetdval 22993 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
109eqcomd 2784 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1110eqeq1d 2780 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦)) = 0 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0))
12 subeq0 10651 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
137, 11, 123bitr3d 301 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14 abs3dif 14485 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
15 abssub 14480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑥)))
1615oveq1d 6939 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
17163adant2 1122 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
1814, 17breqtrd 4914 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
1993adant3 1123 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
208cnmetdval 22993 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
21203adant3 1123 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
228cnmetdval 22993 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
23223adant2 1122 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
2421, 23oveq12d 6942 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
25243coml 1118 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
2618, 19, 253brtr4d 4920 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) ≤ ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)))
271, 5, 13, 26ismeti 22549 1 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   × cxp 5355  ccom 5361  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274   + caddc 10277  cle 10414  cmin 10608  abscabs 14387  Metcmet 20139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-met 20147
This theorem is referenced by:  cnxmet  22995  cnfldms  22998  remet  23012  xrsdsre  23032  lebnumii  23184  cncmet  23539  cncms  23572  ovolctb  23705  dvlog2lem  24846  cnrrext  30660  cntotbnd  34228  iccbnd  34272  sblpnf  39479
  Copyright terms: Public domain W3C validator