Theorem cnmet 24686

Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnmet

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11087	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		absf 15245	. . 3 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
3		subf 11362	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
4		fco 6675	. . 3 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
6		subcl 11359	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
7	6	abs00ad 15197	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 24685	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
10	9	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
11	10	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0))
12		subeq0 11387	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	7, 11, 12	3bitr3d 309	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		abs3dif 15239	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
15		abssub 15234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
16	15	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
17	16	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
18	14, 17	breqtrd 5115	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
19	9	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
20	8	cnmetdval 24685	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
21	20	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
22	8	cnmetdval 24685	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
23	22	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
24	21, 23	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
25	24	3coml 1127	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
26	18, 19, 25	3brtr4d 5121	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) ≤ ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)))
27	1, 5, 13, 26	ismeti 24240	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5612   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   + caddc 11009   ≤ cle 11147   − cmin 11344  abscabs 15141  Metcmet 21277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-met 21285

This theorem is referenced by:  cnxmet  24687  cnfldms  24690  remet  24705  xrsdsre  24726  lebnumii  24892  cncmet  25249  cncms  25282  ovolctb  25418  dvlog2lem  26588  cnrrext  34023  cntotbnd  37846  iccbnd  37890  sblpnf  44413