Theorem cnmetdval 24807

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 11508	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		opelxpi 5726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
3		fvco3 7008	. . 3 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
5		df-ov 7434	. . 3 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6		cnmetdval.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
7	6	fveq1i 6908	. . 3 ⊢ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	5, 7	eqtri 2763	. 2 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9		df-ov 7434	. . 3 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = ( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	fveq2i 6910	. 2 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4637   × cxp 5687   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   − cmin 11490  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492

This theorem is referenced by:  cnmet  24808  cnbl0  24810  cnblcld  24811  cnfldnm  24815  remetdval  24825  blcvx  24834  recld2  24850  zdis  24852  reperflem  24854  addcnlem  24900  divcnOLD  24904  divcn  24906  cncfmet  24949  cnheibor  25001  cnllycmp  25002  ipcn  25294  lmclim  25351  cncmet  25370  ovolfsval  25519  ellimc3  25929  lhop1lem  26067  ftc1lem6  26097  ulmdvlem1  26458  psercn  26485  pserdvlem2  26487  abelthlem2  26491  abelthlem3  26492  abelthlem5  26494  abelthlem7  26497  abelth  26500  dvlog2lem  26709  efopn  26715  logtayl  26717  logtayl2  26719  cxpcn3  26806  rlimcnp  27023  xrlimcnp  27026  efrlim  27027  efrlimOLD  27028  lgamucov  27096  lgamcvg2  27113  ftalem3  27133  smcnlem  30726  hhcnf  31934  tpr2rico  33873  qqhcn  33954  qqhucn  33955  ftc1cnnc  37679  cntotbnd  37783  iccbnd  37827  cnmetcoval  45145  iooabslt  45452  limcrecl  45585  islpcn  45595  stirlinglem5  46034  ovolval2lem  46599  ovolval3  46603