Theorem cnmetdval 24964

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 11477	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		opelxpi 5703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
3		fvco3 6988	. . 3 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
5		df-ov 7426	. . 3 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6		cnmetdval.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
7	6	fveq1i 6889	. . 3 ⊢ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	5, 7	eqtri 2789	. 2 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9		df-ov 7426	. . 3 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = ( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2826	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600   × cxp 5664   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   − cmin 11459  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  cnmet  24965  cnbl0  24967  cnblcld  24968  cnfldnm  24972  remetdval  24983  blcvx  24992  recld2  25009  zdis  25011  reperflem  25013  addcnlem  25059  divcn  25064  cncfmet  25105  cnheibor  25151  cnllycmp  25152  ipcn  25442  lmclim  25499  cncmet  25518  ovolfsval  25666  ellimc3  26075  lhop1lem  26209  ftc1lem6  26237  ulmdvlem1  26600  psercn  26626  pserdvlem2  26628  abelthlem2  26632  abelthlem3  26633  abelthlem5  26635  abelthlem7  26638  abelth  26641  dvlog2lem  26854  efopn  26860  logtayl  26862  logtayl2  26864  cxpcn3  26950  rlimcnp  27167  xrlimcnp  27170  efrlim  27171  lgamucov  27239  lgamcvg2  27256  ftalem3  27276  smcnlem  31086  hhcnf  32294  tpr2rico  34333  qqhcn  34412  qqhucn  34413  ftc1cnnc  38383  cntotbnd  38487  iccbnd  38531  cnmetcoval  45959  iooabslt  46255  limcrecl  46385  islpcn  46393  stirlinglem5  46832  ovolval2lem  47397  ovolval3  47401