MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmetdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmetdval 24287
Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmetdval.1 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cnmetdval ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))

Proof of Theorem cnmetdval
StepHypRef Expression
1 subf 11462 . . 3 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
2 opelxpi 5714 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
3 fvco3 6991 . . 3 (( βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
41, 2, 3sylancr 588 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
5 df-ov 7412 . . 3 (𝐴𝐷𝐡) = (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
6 cnmetdval.1 . . . 4 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
76fveq1i 6893 . . 3 (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
85, 7eqtri 2761 . 2 (𝐴𝐷𝐡) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
9 df-ov 7412 . . 3 (𝐴 βˆ’ 𝐡) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
109fveq2i 6895 . 2 (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
114, 8, 103eqtr4g 2798 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   βˆ’ cmin 11444  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446
This theorem is referenced by:  cnmet  24288  cnbl0  24290  cnblcld  24291  cnfldnm  24295  remetdval  24305  blcvx  24314  recld2  24330  zdis  24332  reperflem  24334  addcnlem  24380  divcn  24384  cncfmet  24425  cnheibor  24471  cnllycmp  24472  ipcn  24763  lmclim  24820  cncmet  24839  ovolfsval  24987  ellimc3  25396  lhop1lem  25530  ftc1lem6  25558  ulmdvlem1  25912  psercn  25938  pserdvlem2  25940  abelthlem2  25944  abelthlem3  25945  abelthlem5  25947  abelthlem7  25950  abelth  25953  dvlog2lem  26160  efopn  26166  logtayl  26168  logtayl2  26170  cxpcn3  26256  rlimcnp  26470  xrlimcnp  26473  efrlim  26474  lgamucov  26542  lgamcvg2  26559  ftalem3  26579  smcnlem  29950  hhcnf  31158  tpr2rico  32892  qqhcn  32971  qqhucn  32972  gg-divcn  35163  ftc1cnnc  36560  cntotbnd  36664  iccbnd  36708  cnmetcoval  43901  iooabslt  44212  limcrecl  44345  islpcn  44355  stirlinglem5  44794  ovolval2lem  45359  ovolval3  45363
  Copyright terms: Public domain W3C validator