MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmetdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmetdval 24086
Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmetdval.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnmetdval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem cnmetdval
StepHypRef Expression
1 subf 11361 . . 3 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2 opelxpi 5668 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
3 fvco3 6937 . . 3 (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
41, 2, 3sylancr 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
5 df-ov 7354 . . 3 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6 cnmetdval.1 . . . 4 𝐷 = (abs ∘ − )
76fveq1i 6840 . . 3 (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
85, 7eqtri 2765 . 2 (𝐴𝐷𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9 df-ov 7354 . . 3 (𝐴𝐵) = ( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
109fveq2i 6842 . 2 (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
114, 8, 103eqtr4g 2802 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4590   × cxp 5629  ccom 5635  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cmin 11343  abscabs 15079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345
This theorem is referenced by:  cnmet  24087  cnbl0  24089  cnblcld  24090  cnfldnm  24094  remetdval  24104  blcvx  24113  recld2  24129  zdis  24131  reperflem  24133  addcnlem  24179  divcn  24183  cncfmet  24224  cnheibor  24270  cnllycmp  24271  ipcn  24562  lmclim  24619  cncmet  24638  ovolfsval  24786  ellimc3  25195  lhop1lem  25329  ftc1lem6  25357  ulmdvlem1  25711  psercn  25737  pserdvlem2  25739  abelthlem2  25743  abelthlem3  25744  abelthlem5  25746  abelthlem7  25749  abelth  25752  dvlog2lem  25959  efopn  25965  logtayl  25967  logtayl2  25969  cxpcn3  26053  rlimcnp  26267  xrlimcnp  26270  efrlim  26271  lgamucov  26339  lgamcvg2  26356  ftalem3  26376  smcnlem  29468  hhcnf  30676  tpr2rico  32305  qqhcn  32384  qqhucn  32385  ftc1cnnc  36088  cntotbnd  36193  iccbnd  36237  cnmetcoval  43328  iooabslt  43638  limcrecl  43771  islpcn  43781  stirlinglem5  44220  ovolval2lem  44785  ovolval3  44789
  Copyright terms: Public domain W3C validator