Theorem cnmetdval 25144

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 11598	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		opelxpi 5695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
3		fvco3 7016	. . 3 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
5		df-ov 7454	. . 3 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6		cnmetdval.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
7	6	fveq1i 6917	. . 3 ⊢ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	5, 7	eqtri 2786	. 2 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9		df-ov 7454	. . 3 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = ( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	fveq2i 6919	. 2 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2823	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   × cxp 5656   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   − cmin 11580  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582

This theorem is used by:  cnmet  25145  cnbl0  25147  cnblcld  25148  cnfldnm  25152  remetdval  25163  blcvx  25172  recld2  25189  zdis  25191  reperflem  25193  addcnlem  25239  divcn  25244  cncfmet  25285  cnheibor  25331  cnllycmp  25332  ipcn  25622  lmclim  25679  cncmet  25698  ovolfsval  25846  ellimc3  26254  lhop1lem  26388  ftc1lem6  26416  ulmdvlem1  26784  psercn  26810  pserdvlem2  26812  abelthlem2  26816  abelthlem3  26817  abelthlem5  26819  abelthlem7  26822  abelth  26825  dvlog2lem  27037  efopn  27043  logtayl  27045  logtayl2  27047  cxpcn3  27133  rlimcnp  27350  xrlimcnp  27353  efrlim  27354  lgamucov  27422  lgamcvg2  27439  ftalem3  27459  smcnlem  31356  hhcnf  32564  tpr2rico  34655  qqhcn  34734  qqhucn  34735  ftc1cnnc  38878  cntotbnd  38996  iccbnd  39040  cnmetcoval  46489  iooabslt  46784  limcrecl  46914  islpcn  46922  stirlinglem5  47361  ovolval2lem  47926  ovolval3  47930