Theorem cnmetdval 24712

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 11380	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		opelxpi 5659	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
3		fvco3 6931	. . 3 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
5		df-ov 7359	. . 3 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6		cnmetdval.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
7	6	fveq1i 6833	. . 3 ⊢ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	5, 7	eqtri 2757	. 2 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9		df-ov 7359	. . 3 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = ( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	fveq2i 6835	. 2 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘( − ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2794	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4584   × cxp 5620   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   − cmin 11362  abscabs 15155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364

This theorem is referenced by:  cnmet  24713  cnbl0  24715  cnblcld  24716  cnfldnm  24720  remetdval  24731  blcvx  24740  recld2  24757  zdis  24759  reperflem  24761  addcnlem  24807  divcnOLD  24811  divcn  24813  cncfmet  24856  cnheibor  24908  cnllycmp  24909  ipcn  25200  lmclim  25257  cncmet  25276  ovolfsval  25425  ellimc3  25834  lhop1lem  25972  ftc1lem6  26002  ulmdvlem1  26363  psercn  26390  pserdvlem2  26392  abelthlem2  26396  abelthlem3  26397  abelthlem5  26399  abelthlem7  26402  abelth  26405  dvlog2lem  26615  efopn  26621  logtayl  26623  logtayl2  26625  cxpcn3  26712  rlimcnp  26929  xrlimcnp  26932  efrlim  26933  efrlimOLD  26934  lgamucov  27002  lgamcvg2  27019  ftalem3  27039  smcnlem  30721  hhcnf  31929  tpr2rico  34018  qqhcn  34097  qqhucn  34098  ftc1cnnc  37832  cntotbnd  37936  iccbnd  37980  cnmetcoval  45388  iooabslt  45687  limcrecl  45817  islpcn  45825  stirlinglem5  46264  ovolval2lem  46829  ovolval3  46833