MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldcusp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldcusp 24109
Description: The field of complex numbers is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldcusp fld ∈ CUnifSp

Proof of Theorem cnfldcusp
StepHypRef Expression
1 0cn 10711 . . 3 0 ∈ ℂ
21ne0ii 4226 . 2 ℂ ≠ ∅
3 cncms 24107 . 2 fld ∈ CMetSp
4 eqid 2738 . . 3 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
54cnflduss 24108 . 2 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
6 cnfldbas 20221 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
7 absf 14787 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
8 subf 10966 . . . . . 6 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 fco 6528 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
107, 8, 9mp2an 692 . . . . 5 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
11 ffn 6504 . . . . 5 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
12 fnresdm 6455 . . . . 5 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
14 cnfldds 20227 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
1514reseq1i 5821 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
1613, 15eqtr3i 2763 . . 3 (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
176, 16, 4cmetcusp1 24105 . 2 ((ℂ ≠ ∅ ∧ ℂfld ∈ CMetSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))) → ℂfld ∈ CUnifSp)
182, 3, 5, 17mp3an 1462 1 fld ∈ CUnifSp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  c0 4211   × cxp 5523  cres 5527  ccom 5529   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  cmin 10948  abscabs 14683  distcds 16677  metUnifcmetu 20208  fldccnfld 20217  UnifStcuss 23005  CUnifSpccusp 23049  CMetSpccms 24084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-metu 20216  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-flim 22690  df-fcls 22692  df-ust 22952  df-utop 22983  df-uss 23008  df-usp 23009  df-cfilu 23039  df-cusp 23050  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-cfil 24007  df-cmet 24009  df-cms 24087
This theorem is referenced by:  cnrrext  31530
  Copyright terms: Public domain W3C validator