Theorem cnfldcusp 25410

Description: The field of complex numbers is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldcusp	⊢ ℂfld ∈ CUnifSp

Proof of Theorem cnfldcusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11282	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	ne0ii 4367	. 2 ⊢ ℂ ≠ ∅
3		cncms 25408	. 2 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
5	4	cnflduss 25409	. 2 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
6		cnfldbas 21391	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		absf 15386	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
8		subf 11538	. . . . . 6 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9		fco 6771	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
10	7, 8, 9	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
11		ffn 6747	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
12		fnresdm 6699	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
14		cnfldds 21399	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
15	14	reseq1i 6005	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
16	13, 15	eqtr3i 2770	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
17	6, 16, 4	cmetcusp1 25406	. 2 ⊢ ((ℂ ≠ ∅ ∧ ℂfld ∈ CMetSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))) → ℂfld ∈ CUnifSp)
18	2, 3, 5, 17	mp3an 1461	1 ⊢ ℂfld ∈ CUnifSp

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352   × cxp 5698   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   − cmin 11520  abscabs 15283  distcds 17320  metUnifcmetu 21378  ℂ_fldccnfld 21387  UnifStcuss 24283  CUnifSpccusp 24327  CMetSpccms 25385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-metu 21386  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-flim 23968  df-fcls 23970  df-ust 24230  df-utop 24261  df-uss 24286  df-usp 24287  df-cfilu 24317  df-cusp 24328  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-cfil 25308  df-cmet 25310  df-cms 25388

This theorem is referenced by:  cnrrext  33956