MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolfsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolfsf 23679
Description: Closure for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolfs.1 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ovolfsf (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem ovolfsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 absf 14488 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
2 subf 10626 . . . . . 6 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3 fco 6310 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
41, 2, 3mp2an 682 . . . . 5 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5 inss2 4054 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
6 ax-resscn 10331 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7 xpss12 5372 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
86, 6, 7mp2an 682 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
95, 8sstri 3830 . . . . . 6 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)
10 fss 6306 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
119, 10mpan2 681 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
12 fco 6310 . . . . 5 (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
134, 11, 12sylancr 581 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
14 ovolfs.1 . . . . 5 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
1514feq1i 6284 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶ℝ ↔ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
1613, 15sylibr 226 . . 3 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
1716ffnd 6294 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 Fn ℕ)
1816ffvelrnda 6625 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
19 ovolfcl 23674 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
20 subge0 10890 . . . . . . . 8 (((2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
2120ancoms 452 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
2221biimp3ar 1543 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2319, 22syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2414ovolfsval 23678 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) = ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2523, 24breqtrrd 4916 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
26 elrege0 12596 . . . 4 ((𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥)))
2718, 25, 26sylanbrc 578 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2827ralrimiva 3148 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞))
29 ffnfv 6654 . 2 (𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
3017, 28, 29sylanbrc 578 1 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  cin 3791  wss 3792   class class class wbr 4888   × cxp 5355  ccom 5361   Fn wfn 6132  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  1st c1st 7445  2nd c2nd 7446  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  +∞cpnf 10410  cle 10414  cmin 10608  cn 11378  [,)cico 12493  abscabs 14385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-ico 12497  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387
This theorem is referenced by:  ovolsf  23680  ovollb2lem  23696  ovolunlem1a  23704  ovoliunlem1  23710  ovolshftlem1  23717  ovolicc2lem4  23728  ioombl1lem4  23769  ovolfs2  23779  uniioombllem2  23791  uniioombllem6  23796
  Copyright terms: Public domain W3C validator