MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolfsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolfsf 25506
Description: Closure for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolfs.1 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ovolfsf (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem ovolfsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 absf 15376 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
2 subf 11510 . . . . . 6 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3 fco 6760 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
41, 2, 3mp2an 692 . . . . 5 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5 inss2 4238 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
6 ax-resscn 11212 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7 xpss12 5700 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
86, 6, 7mp2an 692 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
95, 8sstri 3993 . . . . . 6 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)
10 fss 6752 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
119, 10mpan2 691 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
12 fco 6760 . . . . 5 (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
134, 11, 12sylancr 587 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
14 ovolfs.1 . . . . 5 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
1514feq1i 6727 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶ℝ ↔ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
1613, 15sylibr 234 . . 3 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
1716ffnd 6737 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 Fn ℕ)
1816ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
19 ovolfcl 25501 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
20 subge0 11776 . . . . . . . 8 (((2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
2120ancoms 458 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
2221biimp3ar 1472 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2319, 22syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2414ovolfsval 25505 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) = ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2523, 24breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
26 elrege0 13494 . . . 4 ((𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥)))
2718, 25, 26sylanbrc 583 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2827ralrimiva 3146 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞))
29 ffnfv 7139 . 2 (𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
3017, 28, 29sylanbrc 583 1 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  [,)cico 13389  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  ovolsf  25507  ovollb2lem  25523  ovolunlem1a  25531  ovoliunlem1  25537  ovolshftlem1  25544  ovolicc2lem4  25555  ioombl1lem4  25596  ovolfs2  25606  uniioombllem2  25618  uniioombllem6  25623
  Copyright terms: Public domain W3C validator