MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolfsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolfsf 25420
Description: Closure for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolfs.1 𝐺 = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ovolfsf (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(0[,)+∞))

Proof of Theorem ovolfsf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 absf 15324 . . . . . 6 abs:β„‚βŸΆβ„
2 subf 11500 . . . . . 6 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
3 fco 6752 . . . . . 6 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„)
41, 2, 3mp2an 690 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„
5 inss2 4232 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
6 ax-resscn 11203 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
7 xpss12 5697 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
86, 6, 7mp2an 690 . . . . . . 7 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
95, 8sstri 3991 . . . . . 6 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
10 fss 6744 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(β„‚ Γ— β„‚))
119, 10mpan2 689 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(β„‚ Γ— β„‚))
12 fco 6752 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹):β„•βŸΆβ„)
134, 11, 12sylancr 585 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹):β„•βŸΆβ„)
14 ovolfs.1 . . . . 5 𝐺 = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
1514feq1i 6718 . . . 4 (𝐺:β„•βŸΆβ„ ↔ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹):β„•βŸΆβ„)
1613, 15sylibr 233 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
1716ffnd 6728 . 2 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺 Fn β„•)
1816ffvelcdmda 7099 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
19 ovolfcl 25415 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
20 subge0 11765 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2120ancoms 457 . . . . . . 7 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2221biimp3ar 1466 . . . . . 6 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2319, 22syl 17 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2414ovolfsval 25419 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2523, 24breqtrrd 5180 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
26 elrege0 13471 . . . 4 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯)))
2718, 25, 26sylanbrc 581 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
2827ralrimiva 3143 . 2 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
29 ffnfv 7134 . 2 (𝐺:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐺 Fn β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
3017, 28, 29sylanbrc 581 1 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  [,)cico 13366  abscabs 15221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223
This theorem is referenced by:  ovolsf  25421  ovollb2lem  25437  ovolunlem1a  25445  ovoliunlem1  25451  ovolshftlem1  25458  ovolicc2lem4  25469  ioombl1lem4  25510  ovolfs2  25520  uniioombllem2  25532  uniioombllem6  25537
  Copyright terms: Public domain W3C validator