Theorem ovolfsf 25683

Description: Closure for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovolfs.1	⊢ 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ovolfsf	⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem ovolfsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 15415	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		subf 11476	. . . . . 6 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		fco 6734	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
6		ax-resscn 11174	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7		xpss12 5678	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
8	6, 6, 7	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
9	5, 8	sstri 3947	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)
10		fss 6726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
11	9, 10	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
12		fco 6734	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
13	4, 11, 12	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
14		ovolfs.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
15	14	feq1i 6700	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℕ⟶ℝ ↔ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
16	13, 15	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
17	16	ffnd 6710	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 Fn ℕ)
18	16	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
19		ovolfcl 25678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
20		subge0 11744	. . . . . . . 8 ⊢ (((2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹‘𝑥)) − (1st ‘(𝐹‘𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
21	20	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹‘𝑥)) − (1st ‘(𝐹‘𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹‘𝑥))))
22	21	biimp3ar 1499	. . . . . 6 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹‘𝑥))) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹‘𝑥)) − (1st ‘(𝐹‘𝑥))))
23	19, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹‘𝑥)) − (1st ‘(𝐹‘𝑥))))
24	14	ovolfsval 25682	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑥) = ((2nd ‘(𝐹‘𝑥)) − (1st ‘(𝐹‘𝑥))))
25	23, 24	breqtrrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑥))
26		elrege0 13499	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺‘𝑥)))
27	18, 25, 26	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
28	27	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
29		ffnfv 7118	. 2 ⊢ (𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
30	17, 28, 29	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   × cxp 5661   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  +∞cpnf 11257   ≤ cle 11261   − cmin 11458  ℕcn 12250  [,)cico 13392  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  ovolsf  25684  ovollb2lem  25700  ovolunlem1a  25708  ovoliunlem1  25714  ovolshftlem1  25721  ovolicc2lem4  25732  ioombl1lem4  25773  ovolfs2  25783  uniioombllem2  25795  uniioombllem6  25800