Theorem resqcl 13696

Description: Closure of the square of a real number. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
resqcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12107	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		reexpcl 13652	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  2c2 11885  ℕ₀cn0 12090  ↑cexp 13635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636

This theorem is referenced by:  sqn0rp  13698  sumsqeq0  13748  resqcli  13755  discr1  13806  discr  13807  resqcld  13817  sqrtsq  14833  sqabs  14871  sqreulem  14923  resin4p  15699  recos4p  15700  isprm7  16265  atanre  25768  ressatans  25817  2lgsoddprmlem2  26290  dchrisum0  26401  ax5seglem6  27025  htthlem  28998  nmopcoadji  30182  dvasin  35598  areacirclem1  35602  areacirclem2  35603  areacirclem4  35605  areacirclem5  35606  areacirc  35607  smfmullem1  43997  resum2sqorgt0  45728  ehl2eudis0lt  45745  2sphere  45768  itsclc0yqsollem2  45782  itsclquadb  45795