Theorem sqeq0 14089

Description: A complex number is zero iff its square is zero. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sqeq0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sqeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12289	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		expeq0 14062	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3	1, 2	mpan2 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  ℕcn 12216  2c2 12271  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  sqne0  14092  sumsqeq0  14147  sqeq0i  14150  sqrt0  15192  sqreulem  15310  reusq0  15413  dvdssq  16508  4sqlem9  16883  gzrngunitlem  21210  tcphcph  24985  rrxmet  25156  minveclem7  25183  dvmptdiv  25726  coseq1  26270  lgsdir  27071  2sqlem7  27163  2sqlem8a  27164  addsq2reu  27179  eqeelen  28429  axcgrid  28441  ipz  30239  minvecolem7  30403  riesz4i  31583  hst1h  31747  hstoh  31752  tan2h  36783  rrnmet  37000  sqrtcval  42694  onetansqsecsq  47893