Theorem hashunif 32810

Description: The cardinality of a disjoint finite union of finite sets. Cf. hashuni 15862. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashiunf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
hashiunf.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hashunif.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Fin)
hashunif.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hashunif	⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝐴) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashunif

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5058	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (♯‘∪ 𝐴) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		hashiunf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		hashunif.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Fin)
5	4	sselda 3983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
6		hashunif.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
7		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
8	7	cbvdisjv 5121	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
9	6, 8	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
10	3, 5, 9	hashiun 15858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦))
11	7	cbviunv 5040	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
13	12	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦))
14		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
15	14	cbvsumv 15732	. . . 4 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦))
17	10, 13, 16	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))
18	2, 17	eqtrid 2789	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝐴) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991  Disj wdisj 5110  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  ♯chash 14369  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  hasheuni  34086