Theorem hashunif 32013

Description: The cardinality of a disjoint finite union of finite sets. Cf. hashuni 15771. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashiunf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
hashiunf.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hashunif.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Fin)
hashunif.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hashunif	⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝐴) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashunif

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5061	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (♯‘∪ 𝐴) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		hashiunf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		hashunif.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Fin)
5	4	sselda 3982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
6		hashunif.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
7		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
8	7	cbvdisjv 5124	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
9	6, 8	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
10	3, 5, 9	hashiun 15767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦))
11	7	cbviunv 5043	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
13	12	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦))
14		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
15	14	cbvsumv 15641	. . . 4 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦))
17	10, 13, 16	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))
18	2, 17	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝐴) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  ∪ ciun 4997  Disj wdisj 5113  ‘cfv 6543  Fincfn 8938  ♯chash 14289  Σcsu 15631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632

This theorem is referenced by:  hasheuni  33078