Theorem hashunif 33471

Description: The cardinality of a disjoint finite union of finite sets. Cf. hashuni 16025. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashiunf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
hashiunf.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hashunif.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Fin)
hashunif.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hashunif	⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝐴) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashunif

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5020	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	fveq2i 6914	. 2 ⊢ (♯‘∪ 𝐴) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		hashiunf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		hashunif.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Fin)
5	4	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
6		hashunif.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
7		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
8	7	cbvdisjv 5084	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
9	6, 8	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
10	3, 5, 9	hashiun 16021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦))
11	7	cbviunv 5000	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
13	12	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦))
14		fveq2 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
15	14	cbvsumv 15895	. . . 4 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥) = Σ𝑦 ∈ 𝐴 (♯‘𝑦))
17	10, 13, 16	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))
18	2, 17	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝐴) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954  Disj wdisj 5073  ‘cfv 6561  Fincfn 9004  ♯chash 14504  Σcsu 15885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886

This theorem is used by:  hasheuni  34800