Theorem erng0g 40988

Description: The division ring zero of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erng0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
erng0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erng0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erng0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem erng0g

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erng0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erng0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erng0g.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfplus 40796	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
7	6	oveqd 7404	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂))
8		erng0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		erng0g.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10	8, 1, 2, 3, 9	tendo0cl 40784	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
12	8, 1, 2, 3, 9, 11	tendo0pl 40785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
13	10, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
14	7, 13	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂)
15	1, 4	eringring 40986	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
16		ringgrp 20147	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
19	1, 2, 3, 4, 18	erngbase 40795	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	10, 19	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
21		erng0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
22	18, 5, 21	grpid 18907	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
23	17, 20, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
24	14, 23	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5188   I cid 5532   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  Ringcrg 20142  HLchlt 39343  LHypclh 39978  LTrncltrn 40095  TEndoctendo 40746  EDRingcedring 40747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-riotaBAD 38946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8252  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-mgp 20050  df-ring 20144  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493  df-lvols 39494  df-lines 39495  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099  df-trl 40153  df-tendo 40749  df-edring 40751

This theorem is referenced by:  erng1r  40989  dvalveclem  41019  tendoinvcl  41098  tendolinv  41099  tendorinv  41100  cdlemn4  41192