Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erng0g 38252
Description: The division ring zero of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erng0g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erng0g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng0g.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erng0g.z 0 = (0g𝐷)
Assertion
Ref Expression
erng0g ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem erng0g
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erng0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2822 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erng0g.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2822 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngfplus 38060 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
76oveqd 7157 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂))
8 erng0g.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 erng0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
108, 1, 2, 3, 9tendo0cl 38048 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11 eqid 2822 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
128, 1, 2, 3, 9, 11tendo0pl 38049 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
1310, 12mpdan 686 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
147, 13eqtrd 2857 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂)
151, 4eringring 38250 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
16 ringgrp 19293 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
18 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
191, 2, 3, 4, 18erngbase 38059 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2010, 19eleqtrrd 2917 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
21 erng0g.z . . . 4 0 = (0g𝐷)
2218, 5, 21grpid 18130 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂0 = 𝑂))
2317, 20, 22syl2anc 587 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂0 = 𝑂))
2414, 23mpbid 235 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cmpt 5122   I cid 5436  cres 5534  ccom 5536  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  Ringcrg 19288  HLchlt 36608  LHypclh 37242  LTrncltrn 37359  TEndoctendo 38010  EDRingcedring 38011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36211
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-mgp 19231  df-ring 19290  df-oposet 36434  df-ol 36436  df-oml 36437  df-covers 36524  df-ats 36525  df-atl 36556  df-cvlat 36580  df-hlat 36609  df-llines 36756  df-lplanes 36757  df-lvols 36758  df-lines 36759  df-psubsp 36761  df-pmap 36762  df-padd 37054  df-lhyp 37246  df-laut 37247  df-ldil 37362  df-ltrn 37363  df-trl 37417  df-tendo 38013  df-edring 38015
This theorem is referenced by:  erng1r  38253  dvalveclem  38283  tendoinvcl  38362  tendolinv  38363  tendorinv  38364  cdlemn4  38456
  Copyright terms: Public domain W3C validator