Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erng0g 40976
Description: The division ring zero of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erng0g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erng0g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng0g.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erng0g.z 0 = (0g𝐷)
Assertion
Ref Expression
erng0g ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem erng0g
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erng0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2734 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erng0g.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2734 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngfplus 40784 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
76oveqd 7447 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂))
8 erng0g.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 erng0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
108, 1, 2, 3, 9tendo0cl 40772 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11 eqid 2734 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
128, 1, 2, 3, 9, 11tendo0pl 40773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
1310, 12mpdan 687 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))𝑂) = 𝑂)
147, 13eqtrd 2774 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂)
151, 4eringring 40974 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
16 ringgrp 20255 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
18 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
191, 2, 3, 4, 18erngbase 40783 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2010, 19eleqtrrd 2841 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
21 erng0g.z . . . 4 0 = (0g𝐷)
2218, 5, 21grpid 19005 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂0 = 𝑂))
2317, 20, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂0 = 𝑂))
2414, 23mpbid 232 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cmpt 5230   I cid 5581  cres 5690  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  Ringcrg 20250  HLchlt 39331  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083  TEndoctendo 40734  EDRingcedring 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-mgp 20152  df-ring 20252  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tendo 40737  df-edring 40739
This theorem is referenced by:  erng1r  40977  dvalveclem  41007  tendoinvcl  41086  tendolinv  41087  tendorinv  41088  cdlemn4  41180
  Copyright terms: Public domain W3C validator