Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erng0g 39507
Description: The division ring zero of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erng0g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
erng0g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erng0g.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng0g.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng0g.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
erng0g.z 0 = (0gβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erng0g ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem erng0g
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng0g.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erng0g.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2733 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 erng0g.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngfplus 39315 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
76oveqd 7378 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜π·)𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂))
8 erng0g.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 erng0g.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
108, 1, 2, 3, 9tendo0cl 39303 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
11 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
128, 1, 2, 3, 9, 11tendo0pl 39304 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
1310, 12mpdan 686 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))𝑂) = 𝑂)
147, 13eqtrd 2773 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜π·)𝑂) = 𝑂)
151, 4eringring 39505 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
16 ringgrp 19977 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
18 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
191, 2, 3, 4, 18erngbase 39314 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2010, 19eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜π·))
21 erng0g.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π·)
2218, 5, 21grpid 18794 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((𝑂(+gβ€˜π·)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
2317, 20, 22syl2anc 585 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑂(+gβ€˜π·)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
2414, 23mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  TEndoctendo 39265  EDRingcedring 39266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ring 19974  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270
This theorem is referenced by:  erng1r  39508  dvalveclem  39538  tendoinvcl  39617  tendolinv  39618  tendorinv  39619  cdlemn4  39711
  Copyright terms: Public domain W3C validator