Theorem erng0g 41695

Description: The division ring zero of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erng0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
erng0g.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng0g.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng0g.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erng0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erng0g	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑂(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem erng0g

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erng0g.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erng0g.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erng0g.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfplus 41503	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
7	6	oveqd 7430	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂))
8		erng0g.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		erng0g.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10	8, 1, 2, 3, 9	tendo0cl 41491	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))) = (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
12	8, 1, 2, 3, 9, 11	tendo0pl 41492	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
13	10, 12	mpdan 699	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑡 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))𝑂) = 𝑂)
14	7, 13	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂)
15	1, 4	eringring 41693	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
16		ringgrp 20322	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
18		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
19	1, 2, 3, 4, 18	erngbase 41502	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	10, 19	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
21		erng0g.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
22	18, 5, 21	grpid 19044	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
23	17, 20, 22	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂 ↔ 0 = 𝑂))
24	14, 23	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196   I cid 5558   ↾ cres 5666   ∘ ccom 5668  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Basecbs 17271  +_gcplusg 17312  0_gc0g 17494  Grpcgrp 19002  Ringcrg 20317  HLchlt 40051  LHypclh 40685  LTrncltrn 40802  TEndoctendo 41453  EDRingcedring 41454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-riotaBAD 39654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-0g 17496  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18386  df-lub 18402  df-glb 18403  df-join 18404  df-meet 18405  df-p0 18481  df-p1 18482  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-grp 19005  df-mgp 20219  df-ring 20319  df-oposet 39877  df-ol 39879  df-oml 39880  df-covers 39967  df-ats 39968  df-atl 39999  df-cvlat 40023  df-hlat 40052  df-llines 40199  df-lplanes 40200  df-lvols 40201  df-lines 40202  df-psubsp 40204  df-pmap 40205  df-padd 40497  df-lhyp 40689  df-laut 40690  df-ldil 40805  df-ltrn 40806  df-trl 40860  df-tendo 41456  df-edring 41458

This theorem is referenced by:  erng1r  41696  dvalveclem  41726  tendoinvcl  41805  tendolinv  41806  tendorinv  41807  cdlemn4  41899