Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord2pre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord2pre 40754
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihjust.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihjust.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihjust.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihjust.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihjust.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihjust.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjust.J 𝐽 = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjust.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjust.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihord2c.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2c.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2c.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihord2.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2.d + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dihord2.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
dihord2pre ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   𝑃,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   ≀ ,β„Ž   β„Ž,𝑁   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   + (β„Ž)   βŠ• (β„Ž)   𝑄(β„Ž)   𝑅(β„Ž)   π‘ˆ(β„Ž)   𝐸(β„Ž)   𝐺(β„Ž)   𝐼(β„Ž)   𝐽(β„Ž)   ∨ (β„Ž)   ∧ (β„Ž)   𝑂(β„Ž)   𝑋(β„Ž)   π‘Œ(β„Ž)

Proof of Theorem dihord2pre
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)))
2 simpl2l 1223 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpl2r 1224 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simpl3 1190 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))))
5 simprl 769 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
6 simprr 771 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))
7 dihjust.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 dihjust.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dihjust.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 dihjust.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
11 dihjust.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 dihjust.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 dihjust.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihjust.J . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 dihjust.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 dihjust.s . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
17 dihord2c.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 dihord2c.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 dihord2c.o . . . . . . 7 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
20 dihord2.p . . . . . . 7 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 dihord2.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
22 dihord2.d . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
23 dihord2.g . . . . . . 7 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑁)
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23dihord11c 40753 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (π½β€˜π‘)βˆƒπ‘§ ∈ (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 24syl123anc 1384 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (π½β€˜π‘)βˆƒπ‘§ ∈ (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧))
26 simpl11 1245 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
27 simpl13 1247 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š))
288, 11, 12, 20, 17, 21, 14, 23dicelval3 40709 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ (π½β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ©))
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝑦 ∈ (π½β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ©))
30 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3231hllatd 38892 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
33 simp11r 1282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
357, 12lhpbase 39527 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
377, 10latmcl 18431 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
3832, 3, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
397, 8, 10latmle2 18456 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
4032, 3, 36, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
417, 8, 12, 17, 18, 19, 13dibelval3 40676 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (𝑧 ∈ (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
4226, 38, 40, 41syl12anc 835 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝑧 ∈ (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
4329, 42anbi12d 630 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ ((𝑦 ∈ (π½β€˜π‘) ∧ 𝑧 ∈ (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
44 reeanv 3217 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
45 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)))
46 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)))
47 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©)))
487, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23dihord10 40752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))
4945, 46, 47, 48syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))
50493exp2 1351 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
51 oveq12 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ 𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (𝑦 + 𝑧) = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))
5251eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ 𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) ↔ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©)))
5352imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ 𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ↔ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
5453imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ 𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) ↔ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
5554biimprd 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ 𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
5655com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ 𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
5756impr 453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
5857com12 32 . . . . . . . . . 10 (((π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
5950, 58syl6 35 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ ((𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
6059rexlimdvv 3201 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
6144, 60biimtrrid 242 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑦 = ⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© ∧ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (𝑧 = βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ© ∧ (π‘…β€˜π‘”) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
6243, 61sylbid 239 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ ((𝑦 ∈ (π½β€˜π‘) ∧ 𝑧 ∈ (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
6362rexlimdvv 3201 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (π½β€˜π‘)βˆƒπ‘§ ∈ (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (𝑦 + 𝑧) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
6425, 63mpd 15 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))
6564exp32 419 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
6665ralrimiv 3135 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
67 simp11 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6830hllatd 38892 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
69 simp2l 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7033, 35syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
717, 10latmcl 18431 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
7268, 69, 70, 71syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
737, 8, 10latmle2 18456 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
7468, 69, 70, 73syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
75 simp2r 1197 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7668, 75, 70, 37syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
7768, 75, 70, 39syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
787, 8, 11, 12, 17, 18trlord 40098 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
7967, 72, 74, 76, 77, 78syl122anc 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
8066, 79mpbird 256 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  lecple 17239  occoc 17240  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  LSSumclsm 19593  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687  TEndoctendo 40281  DVecHcdvh 40607  DIsoBcdib 40667  DIsoCcdic 40701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lvec 20992  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702
This theorem is referenced by:  dihord2pre2  40755
  Copyright terms: Public domain W3C validator