Theorem lmcn2 23152

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
txlm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
txlm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
lmcn2.fl	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
lmcn2.gl	⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
lmcn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
lmcn2	⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txlm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
2	1	ffvelcdmda 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
3		txlm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
4	3	ffvelcdmda 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑌)
5	2, 4	opelxpd 5715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
7		txlm.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		txlm.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9		txtopon 23094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11		lmcn2.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12		cntop2 22744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Top)
14		toptopon2 22419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
15	13, 14	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
16		cnf2 22752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
17	10, 15, 11, 16	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
18	17	feqmptd 6960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂‘𝑥)))
19		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
20		df-ov 7411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
21	19, 20	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
22	5, 6, 18, 21	fmptco 7126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛))))
23		lmcn2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
24	22, 23	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = 𝐻)
25		lmcn2.fl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
26		lmcn2.gl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
27		txlm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
28		txlm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
30	27, 28, 7, 8, 1, 3, 29	txlm 23151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅 ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
31	25, 26, 30	mpbi2and 710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
32	31, 11	lmcn 22808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
33	24, 32	eqbrtrrd 5172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34		df-ov 7411	. 2 ⊢ (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
35	33, 34	breqtrrdi 5190	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4634  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  ⇝_𝑡clm 22729   ×_t ctx 23063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-z 12558  df-uz 12822  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-tx 23065

This theorem is referenced by:  hlimadd  30441