MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcn2 23023
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
txlm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
txlm.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
txlm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
txlm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
txlm.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
lmcn2.fl (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅)
lmcn2.gl (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆)
lmcn2.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   πœ‘,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
21ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
43ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
52, 4opelxpd 5675 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
6 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))
7 txlm.j . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
8 txlm.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9 txtopon 22965 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
107, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
11 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
12 cntop2 22615 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Top)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Top)
14 toptopon2 22290 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
1513, 14sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
16 cnf2 22623 . . . . . . 7 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁)) β†’ 𝑂:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑁)
1710, 15, 11, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑁)
1817feqmptd 6914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ (π‘‚β€˜π‘₯)))
19 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘₯ = ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))
20 df-ov 7364 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
2119, 20eqtr4di 2791 . . . . 5 (π‘₯ = ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
225, 6, 18, 21fmptco 7079 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›))))
23 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
2422, 23eqtr4di 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)) = 𝐻)
25 lmcn2.fl . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅)
26 lmcn2.gl . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆)
27 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
28 txlm.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
29 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
3027, 28, 7, 8, 1, 3, 29txlm 23022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
3125, 26, 30mpbi2and 711 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©)
3231, 11lmcn 22679 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))(β‡π‘‘β€˜π‘)(π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
3324, 32eqbrtrrd 5133 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
34 df-ov 7364 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©)
3533, 34breqtrrdi 5151 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(𝑅𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  β‡π‘‘clm 22600   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-z 12508  df-uz 12772  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-lm 22603  df-tx 22936
This theorem is referenced by:  hlimadd  30184
  Copyright terms: Public domain W3C validator