Theorem lmcn2 23557

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
txlm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
txlm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
lmcn2.fl	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
lmcn2.gl	⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
lmcn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
lmcn2	⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txlm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
2	1	ffvelcdmda 7012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
3		txlm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
4	3	ffvelcdmda 7012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑌)
5	2, 4	opelxpd 5653	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
7		txlm.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		txlm.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9		txtopon 23499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11		lmcn2.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12		cntop2 23149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Top)
14		toptopon2 22826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
15	13, 14	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
16		cnf2 23157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
17	10, 15, 11, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
18	17	feqmptd 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂‘𝑥)))
19		fveq2 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
20		df-ov 7344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
21	19, 20	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
22	5, 6, 18, 21	fmptco 7057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛))))
23		lmcn2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
24	22, 23	eqtr4di 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = 𝐻)
25		lmcn2.fl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
26		lmcn2.gl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
27		txlm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
28		txlm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
30	27, 28, 7, 8, 1, 3, 29	txlm 23556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅 ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
31	25, 26, 30	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
32	31, 11	lmcn 23213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
33	24, 32	eqbrtrrd 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34		df-ov 7344	. 2 ⊢ (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
35	33, 34	breqtrrdi 5131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4580  ∪ cuni 4857   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  Topctop 22801  TopOnctopon 22818   Cn ccn 23132  ⇝_𝑡clm 23134   ×_t ctx 23468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-z 12461  df-uz 12725  df-topgen 17339  df-top 22802  df-topon 22819  df-bases 22854  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-lm 23137  df-tx 23470

This theorem is referenced by:  hlimadd  31163