MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcn2 21964
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
txlm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
txlm.g (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
lmcn2.fl (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
lmcn2.gl (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
lmcn2.o (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
21ffvelrnda 6678 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
43ffvelrnda 6678 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ 𝑌)
52, 4opelxpd 5446 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
7 txlm.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 txlm.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9 txtopon 21906 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
107, 8, 9syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12 cntop2 21556 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ Top)
14 toptopon2 21233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
1513, 14sylib 210 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
16 cnf2 21564 . . . . . . 7 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1710, 15, 11, 16syl3anc 1351 . . . . . 6 (𝜑𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1817feqmptd 6564 . . . . 5 (𝜑𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂𝑥)))
19 fveq2 6501 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
20 df-ov 6981 . . . . . 6 ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
2119, 20syl6eqr 2832 . . . . 5 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
225, 6, 18, 21fmptco 6716 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛))))
23 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
2422, 23syl6eqr 2832 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = 𝐻)
25 lmcn2.fl . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
26 lmcn2.gl . . . . 5 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
27 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
28 txlm.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
29 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
3027, 28, 7, 8, 1, 3, 29txlm 21963 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆) ↔ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
3125, 26, 30mpbi2and 699 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
3231, 11lmcn 21620 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
3324, 32eqbrtrrd 4954 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34 df-ov 6981 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
3533, 34syl6breqr 4972 1 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cop 4448   cuni 4713   class class class wbr 4930  cmpt 5009   × cxp 5406  ccom 5412  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  cz 11796  cuz 12061  Topctop 21208  TopOnctopon 21225   Cn ccn 21539  𝑡clm 21541   ×t ctx 21875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-z 11797  df-uz 12062  df-topgen 16576  df-top 21209  df-topon 21226  df-bases 21261  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-lm 21544  df-tx 21877
This theorem is referenced by:  hlimadd  28752
  Copyright terms: Public domain W3C validator