MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcn2 23475
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
txlm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
txlm.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
txlm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
txlm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
txlm.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
lmcn2.fl (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅)
lmcn2.gl (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆)
lmcn2.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   πœ‘,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
21ffvelcdmda 7076 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
43ffvelcdmda 7076 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
52, 4opelxpd 5705 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
6 eqidd 2725 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))
7 txlm.j . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
8 txlm.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9 txtopon 23417 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
107, 8, 9syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
11 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
12 cntop2 23067 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Top)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Top)
14 toptopon2 22742 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
1513, 14sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
16 cnf2 23075 . . . . . . 7 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁)) β†’ 𝑂:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑁)
1710, 15, 11, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑁)
1817feqmptd 6950 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ (π‘‚β€˜π‘₯)))
19 fveq2 6881 . . . . . 6 (π‘₯ = ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))
20 df-ov 7404 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
2119, 20eqtr4di 2782 . . . . 5 (π‘₯ = ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
225, 6, 18, 21fmptco 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›))))
23 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
2422, 23eqtr4di 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)) = 𝐻)
25 lmcn2.fl . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅)
26 lmcn2.gl . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆)
27 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
28 txlm.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
29 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
3027, 28, 7, 8, 1, 3, 29txlm 23474 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
3125, 26, 30mpbi2and 709 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©)
3231, 11lmcn 23131 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))(β‡π‘‘β€˜π‘)(π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
3324, 32eqbrtrrd 5162 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
34 df-ov 7404 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©)
3533, 34breqtrrdi 5180 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(𝑅𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4626  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  Topctop 22717  TopOnctopon 22734   Cn ccn 23050  β‡π‘‘clm 23052   Γ—t ctx 23386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-z 12556  df-uz 12820  df-topgen 17388  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-lm 23055  df-tx 23388
This theorem is referenced by:  hlimadd  30915
  Copyright terms: Public domain W3C validator