Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcn2 22254
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
txlm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
txlm.g (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
lmcn2.fl (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
lmcn2.gl (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
lmcn2.o (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
21ffvelrnda 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
43ffvelrnda 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ 𝑌)
52, 4opelxpd 5557 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6 eqidd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
7 txlm.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 txlm.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9 txtopon 22196 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
107, 8, 9syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12 cntop2 21846 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ Top)
14 toptopon2 21523 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
1513, 14sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
16 cnf2 21854 . . . . . . 7 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1710, 15, 11, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1817feqmptd 6708 . . . . 5 (𝜑𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂𝑥)))
19 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
20 df-ov 7138 . . . . . 6 ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
2119, 20eqtr4di 2851 . . . . 5 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
225, 6, 18, 21fmptco 6868 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛))))
23 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
2422, 23eqtr4di 2851 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = 𝐻)
25 lmcn2.fl . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
26 lmcn2.gl . . . . 5 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
27 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
28 txlm.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
29 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
3027, 28, 7, 8, 1, 3, 29txlm 22253 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆) ↔ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
3125, 26, 30mpbi2and 711 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
3231, 11lmcn 21910 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
3324, 32eqbrtrrd 5054 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34 df-ov 7138 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
3533, 34breqtrrdi 5072 1 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531  ∪ cuni 4800   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  Topctop 21498  TopOnctopon 21515   Cn ccn 21829  ⇝𝑡clm 21831   ×t ctx 22165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-z 11970  df-uz 12232  df-topgen 16709  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-lm 21834  df-tx 22167 This theorem is referenced by:  hlimadd  28976
 Copyright terms: Public domain W3C validator