MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcn2 23540
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
txlm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
txlm.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
txlm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
txlm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
txlm.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
lmcn2.fl (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅)
lmcn2.gl (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆)
lmcn2.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   πœ‘,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
21ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
43ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
52, 4opelxpd 5711 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
6 eqidd 2728 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))
7 txlm.j . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
8 txlm.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9 txtopon 23482 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
107, 8, 9syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
11 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
12 cntop2 23132 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Top)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Top)
14 toptopon2 22807 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
1513, 14sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
16 cnf2 23140 . . . . . . 7 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁)) β†’ 𝑂:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑁)
1710, 15, 11, 16syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑁)
1817feqmptd 6961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ (π‘‚β€˜π‘₯)))
19 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))
20 df-ov 7417 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
2119, 20eqtr4di 2785 . . . . 5 (π‘₯ = ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
225, 6, 18, 21fmptco 7132 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›))))
23 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)𝑂(πΊβ€˜π‘›)))
2422, 23eqtr4di 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)) = 𝐻)
25 lmcn2.fl . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅)
26 lmcn2.gl . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆)
27 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
28 txlm.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
29 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
3027, 28, 7, 8, 1, 3, 29txlm 23539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
3125, 26, 30mpbi2and 711 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©)
3231, 11lmcn 23196 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩))(β‡π‘‘β€˜π‘)(π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
3324, 32eqbrtrrd 5166 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
34 df-ov 7417 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (π‘‚β€˜βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©)
3533, 34breqtrrdi 5184 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(β‡π‘‘β€˜π‘)(𝑅𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4630  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  Topctop 22782  TopOnctopon 22799   Cn ccn 23115  β‡π‘‘clm 23117   Γ—t ctx 23451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-z 12581  df-uz 12845  df-topgen 17416  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-lm 23120  df-tx 23453
This theorem is referenced by:  hlimadd  30990
  Copyright terms: Public domain W3C validator