Theorem lmcn2 23678

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
txlm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
txlm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
lmcn2.fl	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
lmcn2.gl	⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
lmcn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
lmcn2	⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txlm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
2	1	ffvelcdmda 7050	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
3		txlm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
4	3	ffvelcdmda 7050	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑌)
5	2, 4	opelxpd 5675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6		eqidd 2753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
7		txlm.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		txlm.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9		txtopon 23620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
10	7, 8, 9	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11		lmcn2.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12		cntop2 23270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Top)
14		toptopon2 22947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
15	13, 14	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
16		cnf2 23278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
17	10, 15, 11, 16	syl3anc 1382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
18	17	feqmptd 6920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂‘𝑥)))
19		fveq2 6852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
20		df-ov 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
21	19, 20	eqtr4di 2805	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
22	5, 6, 18, 21	fmptco 7096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛))))
23		lmcn2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
24	22, 23	eqtr4di 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = 𝐻)
25		lmcn2.fl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
26		lmcn2.gl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
27		txlm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
28		txlm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
30	27, 28, 7, 8, 1, 3, 29	txlm 23677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅 ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
31	25, 26, 30	mpbi2and 720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
32	31, 11	lmcn 23334	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
33	24, 32	eqbrtrrd 5114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34		df-ov 7384	. 2 ⊢ (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
35	33, 34	breqtrrdi 5132	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ⟨cop 4578  ∪ cuni 4855   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634   ∘ ccom 5640  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12825  Topctop 22922  TopOnctopon 22939   Cn ccn 23253  ⇝_𝑡clm 23255   ×_t ctx 23589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-z 12555  df-uz 12826  df-topgen 17444  df-top 22923  df-topon 22940  df-bases 22975  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-lm 23258  df-tx 23591

This theorem is referenced by:  hlimadd  31331