Theorem umgrunop 29705

Description: The union of two multigraphs (with the same vertex set): If ⟨𝑉, 𝐸⟩ and ⟨𝑉, 𝐹⟩ are multigraphs, then ⟨𝑉, 𝐸 ∪ 𝐹⟩ is a multigraph (the vertex set stays the same, but the edges from both graphs are kept). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
umgrunop	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrunop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrun.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgrun.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
3		umgrun.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4		umgrun.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
5		umgrun.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		umgrun.vh	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
7		umgrun.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
8		opex 5431	. . 3 ⊢ ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ V)
10	5	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
11	3	fvexi 6900	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
12	4	fvexi 6900	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
13	11, 12	unex 7762	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V
14	10, 13	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
15		opvtxfv 29588	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = 𝑉)
16	14, 15	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = 𝑉)
17		opiedgfv 29591	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = (𝐸 ∪ 𝐹))
18	14, 17	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = (𝐸 ∪ 𝐹))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 18	umgrun 29704	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  ⟨cop 4834  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  Vtxcvtx 29580  iEdgciedg 29581  UMGraphcumgr 29665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479  df-vtx 29582  df-iedg 29583  df-umgr 29667

This theorem is used by:  usgrunop  29778