Theorem umgrunop 26609

Description: The union of two multigraphs (with the same vertex set): If ⟨𝑉, 𝐸⟩ and ⟨𝑉, 𝐹⟩ are multigraphs, then ⟨𝑉, 𝐸 ∪ 𝐹⟩ is a multigraph (the vertex set stays the same, but the edges from both graphs are kept). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
umgrunop	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrunop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrun.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgrun.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
3		umgrun.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4		umgrun.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
5		umgrun.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		umgrun.vh	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
7		umgrun.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
8		opex 5213	. . 3 ⊢ ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ V)
10	5	fvexi 6513	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
11	3	fvexi 6513	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
12	4	fvexi 6513	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
13	11, 12	unex 7286	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V
14	10, 13	pm3.2i 463	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
15		opvtxfv 26492	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = 𝑉)
16	14, 15	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = 𝑉)
17		opiedgfv 26495	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = (𝐸 ∪ 𝐹))
18	14, 17	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = (𝐸 ∪ 𝐹))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 18	umgrun 26608	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415   ∪ cun 3827   ∩ cin 3828  ∅c0 4178  ⟨cop 4447  dom cdm 5407  ‘cfv 6188  Vtxcvtx 26484  iEdgciedg 26485  UMGraphcumgr 26569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-hash 13506  df-vtx 26486  df-iedg 26487  df-umgr 26571

This theorem is referenced by:  usgrunop  26676