Theorem rabssnn0fi 14153

Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rabssnn0fi	⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabssnn0fi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4008	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0
2		ssnn0fi 14152	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑})))
3		nnel 3075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑})
4		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
5		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ0
6		nfsbc1v 3762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
7	6	nfn 1890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
8		sbceq2a 3754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
9	8	equcoms 2055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
10	9	con2bid 357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
11	4, 5, 7, 10	elrabf 3645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
12	11	baib 545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
13	3, 12	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
14	13	con4bid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
15	14	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)))
16	15	ralbiia 3110	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
17		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑠 < 𝑦
18	17, 6	nfim 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)
19		nfv 1949	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)
20		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦 ↔ 𝑠 < 𝑥))
21	20, 8	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
22	18, 19, 21	cbvralw 3308	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
23	16, 22	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
25	24	rexbidva 3188	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
26	2, 25	bitrd 282	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
27	1, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  [wsbc 3742   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  Fincfn 8998   < clt 11367  ℕ₀cn0 12630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  fsuppmapnn0ub  14162  mptnn0fsupp  14164  mptnn0fsuppr  14166  pmatcollpw2lem  23122