MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabssnn0fi 14028
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4079 . 2 {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0
2 ssnn0fi 14027 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑})))
3 nnel 3055 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑})
4 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦
5 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
6 nfsbc1v 3807 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
76nfn 1856 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
8 sbceq2a 3799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
98equcoms 2018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
109con2bid 354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
114, 5, 7, 10elrabf 3687 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1211baib 535 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
133, 12bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1413con4bid 317 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1514imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)))
1615ralbiia 3090 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
17 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑥 𝑠 < 𝑦
1817, 6nfim 1895 . . . . . . 7 𝑥(𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)
19 nfv 1913 . . . . . . 7 𝑦(𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)
20 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦𝑠 < 𝑥))
2120, 8imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
2218, 19, 21cbvralw 3305 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
2316, 22bitri 275 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
2423a1i 11 . . . 4 (({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
2524rexbidva 3176 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
262, 25bitrd 279 . 2 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
271, 26ax-mp 5 1 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2107  wnel 3045  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  [wsbc 3787  wss 3950   class class class wbr 5142  Fincfn 8986   < clt 11296  0cn0 12528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  14037  mptnn0fsupp  14039  mptnn0fsuppr  14041  pmatcollpw2lem  22784
  Copyright terms: Public domain W3C validator