Theorem rabssnn0fi 13957

Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rabssnn0fi	⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabssnn0fi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4072	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0
2		ssnn0fi 13956	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑})))
3		nnel 3050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑})
4		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
5		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ0
6		nfsbc1v 3792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
7	6	nfn 1852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
8		sbceq2a 3784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
9	8	equcoms 2015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
10	9	con2bid 354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
11	4, 5, 7, 10	elrabf 3674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
12	11	baib 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
13	3, 12	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
14	13	con4bid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
15	14	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)))
16	15	ralbiia 3085	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
17		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑠 < 𝑦
18	17, 6	nfim 1891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)
19		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)
20		breq2 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦 ↔ 𝑠 < 𝑥))
21	20, 8	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
22	18, 19, 21	cbvralw 3297	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
23	16, 22	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
25	24	rexbidva 3170	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
26	2, 25	bitrd 279	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
27	1, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3040  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426  [wsbc 3772   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  Fincfn 8941   < clt 11252  ℕ₀cn0 12476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  13966  mptnn0fsupp  13968  mptnn0fsuppr  13970  pmatcollpw2lem  22634