MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabssnn0fi 13947
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4076 . 2 {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0
2 ssnn0fi 13946 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑})))
3 nnel 3056 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑})
4 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦
5 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
6 nfsbc1v 3796 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
76nfn 1860 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
8 sbceq2a 3788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
98equcoms 2023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
109con2bid 354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
114, 5, 7, 10elrabf 3678 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1211baib 536 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
133, 12bitrid 282 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1413con4bid 316 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1514imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)))
1615ralbiia 3091 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
17 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑥 𝑠 < 𝑦
1817, 6nfim 1899 . . . . . . 7 𝑥(𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)
19 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑦(𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)
20 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦𝑠 < 𝑥))
2120, 8imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
2218, 19, 21cbvralw 3303 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
2316, 22bitri 274 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
2423a1i 11 . . . 4 (({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
2524rexbidva 3176 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
262, 25bitrd 278 . 2 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
271, 26ax-mp 5 1 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wnel 3046  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  [wsbc 3776  wss 3947   class class class wbr 5147  Fincfn 8935   < clt 11244  0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  13956  mptnn0fsupp  13958  mptnn0fsuppr  13960  pmatcollpw2lem  22270
  Copyright terms: Public domain W3C validator