Theorem rabssnn0fi 14022

Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rabssnn0fi	⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabssnn0fi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4042	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0
2		ssnn0fi 14021	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑})))
3		nnel 3080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑})
4		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
5		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ0
6		nfsbc1v 3773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
7	6	nfn 1884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
8		sbceq2a 3765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
9	8	equcoms 2047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
10	9	con2bid 357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
11	4, 5, 7, 10	elrabf 3656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
12	11	baib 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
13	3, 12	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
14	13	con4bid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
15	14	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)))
16	15	ralbiia 3115	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
17		nfv 1941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑠 < 𝑦
18	17, 6	nfim 1923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)
19		nfv 1941	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)
20		breq2 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦 ↔ 𝑠 < 𝑥))
21	20, 8	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
22	18, 19, 21	cbvralw 3313	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
23	16, 22	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
25	24	rexbidva 3193	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦 → 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
26	2, 25	bitrd 282	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
27	1, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423  [wsbc 3753   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  Fincfn 8943   < clt 11243  ℕ₀cn0 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  14031  mptnn0fsupp  14033  mptnn0fsuppr  14035  pmatcollpw2lem  22903