MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabssnn0fi 13950
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4077 . 2 {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0
2 ssnn0fi 13949 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑})))
3 nnel 3056 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑})
4 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦
5 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
6 nfsbc1v 3797 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
76nfn 1860 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑
8 sbceq2a 3789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
98equcoms 2023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜑))
109con2bid 354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
114, 5, 7, 10elrabf 3679 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1211baib 536 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
133, 12bitrid 282 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1413con4bid 316 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
1514imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)))
1615ralbiia 3091 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑))
17 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑥 𝑠 < 𝑦
1817, 6nfim 1899 . . . . . . 7 𝑥(𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑)
19 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑦(𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)
20 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦𝑠 < 𝑥))
2120, 8imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
2218, 19, 21cbvralw 3303 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
2316, 22bitri 274 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
2423a1i 11 . . . 4 (({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
2524rexbidva 3176 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑦𝑦 ∉ {𝑥 ∈ ℕ0𝜑}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
262, 25bitrd 278 . 2 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ⊆ ℕ0 → ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑)))
271, 26ax-mp 5 1 ({𝑥 ∈ ℕ0𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ 𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wnel 3046  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  [wsbc 3777  wss 3948   class class class wbr 5148  Fincfn 8938   < clt 11247  0cn0 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  13959  mptnn0fsupp  13961  mptnn0fsuppr  13963  pmatcollpw2lem  22278
  Copyright terms: Public domain W3C validator