Theorem uzubioo2 41851

Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzubioo2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo2.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzubioo2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem uzubioo2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzubioo2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzubioo2.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	uzubioo 41849	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ (𝑦(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	ralrimiva 3185	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ (𝑦(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
7		oveq1 7166	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(,)+∞) = (𝑦(,)+∞))
8	7	rexeqdv 3419	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ (𝑥(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍 ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑦(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍))
9	8	cbvralvw 3452	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ (𝑦(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
10	6, 9	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  +∞cpnf 10675  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  (,)cioo 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-ioo 12745  df-fl 13165  df-ceil 13166

This theorem is referenced by:  uzubico2  41852