Theorem vdwap1 16915

Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwap1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})

Proof of Theorem vdwap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12718	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (AP‘1) = (AP‘(0 + 1))
3	2	oveqi 7415	. . 3 ⊢ (𝐴(AP‘1)𝐷) = (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷)
4		0nn0 12486	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		vdwapun 16912	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
6	4, 5	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
7	3, 6	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
8		nnaddcl 12234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
9		vdwap0 16914	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
10	8, 9	sylancom 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
11	10	uneq2d 4156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = ({𝐴} ∪ ∅))
12		un0 4383	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = {𝐴})
14	7, 13	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3939  ∅c0 4315  {csn 4621  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  APcvdwa 16903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-vdwap 16906

This theorem is referenced by:  vdwlem12  16930  vdwlem13  16931