Theorem vdwap1 17041

Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwap1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})

Proof of Theorem vdwap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12762	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (AP‘1) = (AP‘(0 + 1))
3	2	oveqi 7423	. . 3 ⊢ (𝐴(AP‘1)𝐷) = (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷)
4		0nn0 12523	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		vdwapun 17038	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
6	4, 5	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
7	3, 6	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
8		nnaddcl 12260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
9		vdwap0 17040	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
10	8, 9	sylancom 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
11	10	uneq2d 4122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = ({𝐴} ∪ ∅))
12		un0 4351	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = {𝐴})
14	7, 13	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903  ∅c0 4286  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  APcvdwa 17029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-vdwap 17032

This theorem is used by:  vdwlem12  17056  vdwlem13  17057