Theorem vdwap1 16946

Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwap1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})

Proof of Theorem vdwap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e0p1 12750	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
2	1	fveq2i 6900	. . . 4 ⊢ (AP‘1) = (AP‘(0 + 1))
3	2	oveqi 7433	. . 3 ⊢ (𝐴(AP‘1)𝐷) = (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷)
4		0nn0 12518	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		vdwapun 16943	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
6	4, 5	mp3an1 1445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
7	3, 6	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
8		nnaddcl 12266	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
9		vdwap0 16945	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
10	8, 9	sylancom 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
11	10	uneq2d 4162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = ({𝐴} ∪ ∅))
12		un0 4391	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = {𝐴})
14	7, 13	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3945  ∅c0 4323  {csn 4629  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12503  APcvdwa 16934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-vdwap 16937

This theorem is referenced by:  vdwlem12  16961  vdwlem13  16962