MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwap1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwap1 16014
Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwap1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})

Proof of Theorem vdwap1
StepHypRef Expression
1 1e0p1 11826 . . . . 5 1 = (0 + 1)
21fveq2i 6414 . . . 4 (AP‘1) = (AP‘(0 + 1))
32oveqi 6891 . . 3 (𝐴(AP‘1)𝐷) = (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷)
4 0nn0 11597 . . . 4 0 ∈ ℕ0
5 vdwapun 16011 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
64, 5mp3an1 1573 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(0 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
73, 6syl5eq 2845 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)))
8 nnaddcl 11336 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
9 vdwap0 16013 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
108, 9sylancom 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷) = ∅)
1110uneq2d 3965 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = ({𝐴} ∪ ∅))
12 un0 4163 . . 3 ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
1311, 12syl6eq 2849 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘0)𝐷)) = {𝐴})
147, 13eqtrd 2833 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘1)𝐷) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cun 3767  c0 4115  {csn 4368  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227  cn 11312  0cn0 11580  APcvdwa 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-vdwap 16005
This theorem is referenced by:  vdwlem12  16029  vdwlem13  16030
  Copyright terms: Public domain W3C validator