Theorem vdwapid1 17182

Description: The first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapid1	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))

Proof of Theorem vdwapid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4179	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
2		snssg 4744	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)) ↔ {𝐴} ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))))
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)) ↔ {𝐴} ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))))
4	1, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
5		nncn 12370	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11285	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		npcan 11593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
10	9	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
11	10	oveqd 7460	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
12		nnm1nn0 12674	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
13		vdwapun 17181	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
14	12, 13	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
15	11, 14	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
16	4, 15	eleqtrrd 2867	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228   + caddc 11230   − cmin 11568  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  APcvdwa 17172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-vdwap 17175

This theorem is used by:  vdwmc2  17186  vdwlem5  17192  vdwlem6  17193  vdwlem8  17195  vdwlem9  17196  vdwlem11  17198