Theorem vdwapid1 16944

Description: The first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapid1	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))

Proof of Theorem vdwapid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4114	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
2		snssg 4722	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)) ↔ {𝐴} ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))))
3	2	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)) ↔ {𝐴} ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))))
4	1, 3	mpbiri 259	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
5		nncn 12180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
6	5	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11094	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		npcan 11400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9	6, 7, 8	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
10	9	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
11	10	oveqd 7380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
12		nnm1nn0 12476	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
13		vdwapun 16943	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
14	12, 13	syl3an1 1169	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
15	11, 14	eqtr3d 2777	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
16	4, 15	eleqtrrd 2843	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   + caddc 11039   − cmin 11375  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  APcvdwa 16934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-vdwap 16937

This theorem is referenced by:  vdwmc2  16948  vdwlem5  16954  vdwlem6  16955  vdwlem8  16957  vdwlem9  16958  vdwlem11  16960