MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volsuplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volsuplem 25604
Description: Lemma for volsup 25605. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
volsuplem ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Distinct variable group:   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
21sseq2d 4028 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
32imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))))
4 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
54sseq2d 4028 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘)))
65imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘))))
7 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
87sseq2d 4028 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
98imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1110sseq2d 4028 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
1211imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))))
13 ssid 4018 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)
14132a1i 12 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
15 eluznn 12958 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
17 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1816, 17sseq12d 4029 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
1918rspccva 3621 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
2015, 19sylan2 593 . . . . . . . 8 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
2120anassrs 467 . . . . . . 7 (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22 sstr2 4002 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → ((𝐹𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2321, 22syl5com 31 . . . . . 6 (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
2423expcom 413 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
2524a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
263, 6, 9, 12, 14, 25uzind4 12946 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2726com12 32 . 2 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2827impr 454 1 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  cn 12264  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  volsup  25605
  Copyright terms: Public domain W3C validator