Theorem volsuplem 25439

Description: Lemma for volsup 25440. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volsuplem	⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
5	4	sseq2d 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘))))
7		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8	7	sseq2d 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3999	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn 12906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
17		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 4010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19	18	rspccva 3605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
20	15, 19	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22		sstr2 3984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
23	21, 22	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
24	23	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
25	24	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
26	3, 6, 9, 12, 14, 25	uzind4 12894	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
27	26	com12 32	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
28	27	impr 454	1 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  volsup  25440