Theorem volsuplem 25725

Description: Lemma for volsup 25726. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volsuplem	⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
5	4	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘))))
7		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8	7	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
9	8	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3958	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
17		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19	18	rspccva 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
20	15, 19	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	anassrs 472	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22		sstr2 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
23	21, 22	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
24	23	expcom 418	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
25	24	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
26	3, 6, 9, 12, 14, 25	uzind4 12936	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
27	26	com12 33	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
28	27	impr 459	1 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109  ℕcn 12239  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869

This theorem is used by:  volsup  25726