Theorem volsuplem 25823

Description: Lemma for volsup 25824. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volsuplem	⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
5	4	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘))))
7		fveq2 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8	7	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
9	8	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10		fveq2 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16		fveq2 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
17		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19	18	rspccva 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
20	15, 19	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22		sstr2 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
23	21, 22	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
24	23	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
25	24	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
26	3, 6, 9, 12, 14, 25	uzind4 12988	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
27	26	com12 33	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
28	27	impr 460	1 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  1c1 11158   + caddc 11160  ℕcn 12290  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921

This theorem is used by:  volsup  25824