Theorem volsuplem 25483

Description: Lemma for volsup 25484. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volsuplem	⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volsuplem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
5	4	sseq2d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘))))
7		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8	7	sseq2d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3952	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn 12816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
16		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
17		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 3963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19	18	rspccva 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
20	15, 19	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
21	20	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22		sstr2 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
23	21, 22	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
24	23	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
25	24	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑘)) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
26	3, 6, 9, 12, 14, 25	uzind4 12804	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
27	26	com12 32	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
28	27	impr 454	1 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009  ℕcn 12125  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  volsup  25484