Theorem eluznn 12306

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12269	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12250	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  1c1 10527  ℕcn 11625  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  elfzo1  13082  expmulnbnd  13592  bcval5  13674  isercolllem1  15013  isercoll  15016  o1fsum  15160  climcndslem1  15196  climcndslem2  15197  climcnds  15198  mertenslem2  15233  rpnnen2lem6  15564  rpnnen2lem7  15565  rpnnen2lem9  15567  rpnnen2lem11  15569  pcmpt2  16219  pcmptdvds  16220  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  prmreclem6  16247  vdwnnlem2  16322  2expltfac  16418  1stcelcls  22066  lmnn  23867  cmetcaulem  23892  causs  23902  caubl  23912  caublcls  23913  ovolunlem1a  24100  volsuplem  24159  uniioombllem3  24189  mbfi1fseqlem6  24324  aaliou3lem2  24939  birthdaylem2  25538  lgamgulmlem4  25617  lgamcvg2  25640  chtub  25796  bclbnd  25864  bposlem3  25870  bposlem4  25871  bposlem5  25872  bposlem6  25873  lgsdilem2  25917  chebbnd1lem1  26053  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  dchrisumlema  26072  dchrisumlem2  26074  dchrisumlem3  26075  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  pntrsumbnd2  26151  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntlemh  26183  pntlemq  26185  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  minvecolem3  28659  minvecolem4  28663  h2hcau  28762  h2hlm  28763  chscllem2  29421  sinccvglem  33028  lmclim2  35196  geomcau  35197  heibor1lem  35247  rrncmslem  35270  divcnvg  42269  stoweidlem7  42649  stirlinglem12  42727  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852