MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluznn 12312
Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in . (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluznn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn
StepHypRef Expression
1 nnuz 12275 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21uztrn2 12256 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  cfv 6354  1c1 10532  cn 11632  cuz 12237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-z 11976  df-uz 12238
This theorem is referenced by:  elfzo1  13082  expmulnbnd  13591  bcval5  13673  isercolllem1  15016  isercoll  15019  o1fsum  15163  climcndslem1  15199  climcndslem2  15200  climcnds  15201  mertenslem2  15236  rpnnen2lem6  15567  rpnnen2lem7  15568  rpnnen2lem9  15570  rpnnen2lem11  15572  pcmpt2  16224  pcmptdvds  16225  prmreclem4  16250  prmreclem5  16251  prmreclem6  16252  vdwnnlem2  16327  2expltfac  16421  1stcelcls  22004  lmnn  23800  cmetcaulem  23825  causs  23835  caubl  23845  caublcls  23846  ovolunlem1a  24031  volsuplem  24090  uniioombllem3  24120  mbfi1fseqlem6  24255  aaliou3lem2  24866  birthdaylem2  25463  lgamgulmlem4  25542  lgamcvg2  25565  chtub  25721  bclbnd  25789  bposlem3  25795  bposlem4  25796  bposlem5  25797  bposlem6  25798  lgsdilem2  25842  chebbnd1lem1  25978  chebbnd1lem2  25979  chebbnd1lem3  25980  dchrisumlema  25997  dchrisumlem2  25999  dchrisumlem3  26000  dchrisum0lem1b  26024  dchrisum0lem1  26025  pntrsumbnd2  26076  pntpbnd1  26095  pntpbnd2  26096  pntlemh  26108  pntlemq  26110  pntlemr  26111  pntlemj  26112  pntlemf  26114  minvecolem3  28586  minvecolem4  28590  h2hcau  28689  h2hlm  28690  chscllem2  29348  sinccvglem  32818  lmclim2  34920  geomcau  34921  heibor1lem  34974  rrncmslem  34997  divcnvg  41792  stoweidlem7  42177  stirlinglem12  42255  fourierdlem103  42379  fourierdlem104  42380
  Copyright terms: Public domain W3C validator