Theorem eluznn 13045

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13004	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12984	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  1c1 11201  ℕcn 12335  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  elfzo1  13847  expmulnbnd  14379  bcval5  14462  isercolllem1  15832  isercoll  15835  o1fsum  15980  climcndslem1  16018  climcndslem2  16019  climcnds  16020  mertenslem2  16054  rpnnen2lem6  16387  rpnnen2lem7  16388  rpnnen2lem9  16390  rpnnen2lem11  16392  pcmpt2  17071  pcmptdvds  17072  prmreclem4  17097  prmreclem5  17098  prmreclem6  17099  vdwnnlem2  17174  2expltfac  17270  1stcelcls  23780  lmnn  25584  cmetcaulem  25609  causs  25619  caubl  25629  caublcls  25630  ovolunlem1a  25817  volsuplem  25876  uniioombllem3  25906  mbfi1fseqlem6  26041  aaliou3lem2  26670  birthdaylem2  27280  lgamgulmlem4  27359  lgamcvg2  27382  chtub  27539  bclbnd  27607  bposlem3  27613  bposlem4  27614  bposlem5  27615  bposlem6  27616  lgsdilem2  27660  chebbnd1lem1  27796  chebbnd1lem2  27797  chebbnd1lem3  27798  dchrisumlema  27815  dchrisumlem2  27817  dchrisumlem3  27818  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  pntrsumbnd2  27894  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntlemh  27926  pntlemq  27928  pntlemr  27929  pntlemj  27930  pntlemf  27932  fltoprm  27995  minvecolem3  31478  minvecolem4  31482  h2hcau  31581  h2hlm  31582  chscllem2  32240  sinccvglem  36437  lmclim2  38692  geomcau  38693  heibor1lem  38743  rrncmslem  38766  aks4d1p1  43126  fimgmcyc  43598  divcnvg  46638  stoweidlem7  47016  stirlinglem12  47094  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219