Theorem eluznn 12862

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12821	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12801	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  1c1 11033  ℕcn 12168  ℤ_≥cuz 12782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-z 12519  df-uz 12783

This theorem is referenced by:  elfzo1  13661  expmulnbnd  14191  bcval5  14274  isercolllem1  15621  isercoll  15624  o1fsum  15770  climcndslem1  15808  climcndslem2  15809  climcnds  15810  mertenslem2  15844  rpnnen2lem6  16180  rpnnen2lem7  16181  rpnnen2lem9  16183  rpnnen2lem11  16185  pcmpt2  16858  pcmptdvds  16859  prmreclem4  16884  prmreclem5  16885  prmreclem6  16886  vdwnnlem2  16961  2expltfac  17057  1stcelcls  23439  lmnn  25243  cmetcaulem  25268  causs  25278  caubl  25288  caublcls  25289  ovolunlem1a  25476  volsuplem  25535  uniioombllem3  25565  mbfi1fseqlem6  25700  aaliou3lem2  26323  birthdaylem2  26932  lgamgulmlem4  27012  lgamcvg2  27035  chtub  27192  bclbnd  27260  bposlem3  27266  bposlem4  27267  bposlem5  27268  bposlem6  27269  lgsdilem2  27313  chebbnd1lem1  27449  chebbnd1lem2  27450  chebbnd1lem3  27451  dchrisumlema  27468  dchrisumlem2  27470  dchrisumlem3  27471  dchrisum0lem1b  27495  dchrisum0lem1  27496  pntrsumbnd2  27547  pntpbnd1  27566  pntpbnd2  27567  pntlemh  27579  pntlemq  27581  pntlemr  27582  pntlemj  27583  pntlemf  27585  minvecolem3  30965  minvecolem4  30969  h2hcau  31068  h2hlm  31069  chscllem2  31727  sinccvglem  35873  lmclim2  38096  geomcau  38097  heibor1lem  38147  rrncmslem  38170  aks4d1p1  42532  fimgmcyc  42996  divcnvg  46078  stoweidlem7  46456  stirlinglem12  46534  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659