Theorem eluznn 12321

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12284	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12265	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  1c1 10540  ℕcn 11640  ℤ_≥cuz 12246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-z 11985  df-uz 12247

This theorem is referenced by:  elfzo1  13090  expmulnbnd  13599  bcval5  13681  isercolllem1  15023  isercoll  15026  o1fsum  15170  climcndslem1  15206  climcndslem2  15207  climcnds  15208  mertenslem2  15243  rpnnen2lem6  15574  rpnnen2lem7  15575  rpnnen2lem9  15577  rpnnen2lem11  15579  pcmpt2  16231  pcmptdvds  16232  prmreclem4  16257  prmreclem5  16258  prmreclem6  16259  vdwnnlem2  16334  2expltfac  16428  1stcelcls  22071  lmnn  23868  cmetcaulem  23893  causs  23903  caubl  23913  caublcls  23914  ovolunlem1a  24099  volsuplem  24158  uniioombllem3  24188  mbfi1fseqlem6  24323  aaliou3lem2  24934  birthdaylem2  25532  lgamgulmlem4  25611  lgamcvg2  25634  chtub  25790  bclbnd  25858  bposlem3  25864  bposlem4  25865  bposlem5  25866  bposlem6  25867  lgsdilem2  25911  chebbnd1lem1  26047  chebbnd1lem2  26048  chebbnd1lem3  26049  dchrisumlema  26066  dchrisumlem2  26068  dchrisumlem3  26069  dchrisum0lem1b  26093  dchrisum0lem1  26094  pntrsumbnd2  26145  pntpbnd1  26164  pntpbnd2  26165  pntlemh  26177  pntlemq  26179  pntlemr  26180  pntlemj  26181  pntlemf  26183  minvecolem3  28655  minvecolem4  28659  h2hcau  28758  h2hlm  28759  chscllem2  29417  sinccvglem  32917  lmclim2  35035  geomcau  35036  heibor1lem  35089  rrncmslem  35112  divcnvg  41915  stoweidlem7  42299  stirlinglem12  42377  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502