Theorem eluznn 12958

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12919	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12895	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  1c1 11154  ℕcn 12264  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  elfzo1  13749  expmulnbnd  14271  bcval5  14354  isercolllem1  15698  isercoll  15701  o1fsum  15846  climcndslem1  15882  climcndslem2  15883  climcnds  15884  mertenslem2  15918  rpnnen2lem6  16252  rpnnen2lem7  16253  rpnnen2lem9  16255  rpnnen2lem11  16257  pcmpt2  16927  pcmptdvds  16928  prmreclem4  16953  prmreclem5  16954  prmreclem6  16955  vdwnnlem2  17030  2expltfac  17127  1stcelcls  23485  lmnn  25311  cmetcaulem  25336  causs  25346  caubl  25356  caublcls  25357  ovolunlem1a  25545  volsuplem  25604  uniioombllem3  25634  mbfi1fseqlem6  25770  aaliou3lem2  26400  birthdaylem2  27010  lgamgulmlem4  27090  lgamcvg2  27113  chtub  27271  bclbnd  27339  bposlem3  27345  bposlem4  27346  bposlem5  27347  bposlem6  27348  lgsdilem2  27392  chebbnd1lem1  27528  chebbnd1lem2  27529  chebbnd1lem3  27530  dchrisumlema  27547  dchrisumlem2  27549  dchrisumlem3  27550  dchrisum0lem1b  27574  dchrisum0lem1  27575  pntrsumbnd2  27626  pntpbnd1  27645  pntpbnd2  27646  pntlemh  27658  pntlemq  27660  pntlemr  27661  pntlemj  27662  pntlemf  27664  minvecolem3  30905  minvecolem4  30909  h2hcau  31008  h2hlm  31009  chscllem2  31667  sinccvglem  35657  lmclim2  37745  geomcau  37746  heibor1lem  37796  rrncmslem  37819  aks4d1p1  42058  fimgmcyc  42521  divcnvg  45583  stoweidlem7  45963  stirlinglem12  46041  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166