Theorem eluznn 12884

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12843	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12819	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  1c1 11076  ℕcn 12193  ℤ_≥cuz 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by:  elfzo1  13680  expmulnbnd  14207  bcval5  14290  isercolllem1  15638  isercoll  15641  o1fsum  15786  climcndslem1  15822  climcndslem2  15823  climcnds  15824  mertenslem2  15858  rpnnen2lem6  16194  rpnnen2lem7  16195  rpnnen2lem9  16197  rpnnen2lem11  16199  pcmpt2  16871  pcmptdvds  16872  prmreclem4  16897  prmreclem5  16898  prmreclem6  16899  vdwnnlem2  16974  2expltfac  17070  1stcelcls  23355  lmnn  25170  cmetcaulem  25195  causs  25205  caubl  25215  caublcls  25216  ovolunlem1a  25404  volsuplem  25463  uniioombllem3  25493  mbfi1fseqlem6  25628  aaliou3lem2  26258  birthdaylem2  26869  lgamgulmlem4  26949  lgamcvg2  26972  chtub  27130  bclbnd  27198  bposlem3  27204  bposlem4  27205  bposlem5  27206  bposlem6  27207  lgsdilem2  27251  chebbnd1lem1  27387  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1lem3  27389  dchrisumlema  27406  dchrisumlem2  27408  dchrisumlem3  27409  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  pntrsumbnd2  27485  pntpbnd1  27504  pntpbnd2  27505  pntlemh  27517  pntlemq  27519  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemf  27523  minvecolem3  30812  minvecolem4  30816  h2hcau  30915  h2hlm  30916  chscllem2  31574  sinccvglem  35666  lmclim2  37759  geomcau  37760  heibor1lem  37810  rrncmslem  37833  aks4d1p1  42071  fimgmcyc  42529  divcnvg  45632  stoweidlem7  46012  stirlinglem12  46090  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215