Theorem eluznn 12937

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12896	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12876	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  1c1 11096  ℕcn 12228  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-z 12587  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  elfzo1  13737  expmulnbnd  14267  bcval5  14350  isercolllem1  15712  isercoll  15715  o1fsum  15861  climcndslem1  15899  climcndslem2  15900  climcnds  15901  mertenslem2  15935  rpnnen2lem6  16270  rpnnen2lem7  16271  rpnnen2lem9  16273  rpnnen2lem11  16275  pcmpt2  16948  pcmptdvds  16949  prmreclem4  16974  prmreclem5  16975  prmreclem6  16976  vdwnnlem2  17051  2expltfac  17147  1stcelcls  23618  lmnn  25422  cmetcaulem  25447  causs  25457  caubl  25467  caublcls  25468  ovolunlem1a  25655  volsuplem  25714  uniioombllem3  25744  mbfi1fseqlem6  25879  aaliou3lem2  26506  birthdaylem2  27117  lgamgulmlem4  27196  lgamcvg2  27219  chtub  27376  bclbnd  27444  bposlem3  27450  bposlem4  27451  bposlem5  27452  bposlem6  27453  lgsdilem2  27497  chebbnd1lem1  27633  chebbnd1lem2  27634  chebbnd1lem3  27635  dchrisumlema  27652  dchrisumlem2  27654  dchrisumlem3  27655  dchrisum0lem1b  27679  dchrisum0lem1  27680  pntrsumbnd2  27731  pntpbnd1  27750  pntpbnd2  27751  pntlemh  27763  pntlemq  27765  pntlemr  27766  pntlemj  27767  pntlemf  27769  minvecolem3  31228  minvecolem4  31232  h2hcau  31331  h2hlm  31332  chscllem2  31990  sinccvglem  36164  lmclim2  38409  geomcau  38410  heibor1lem  38460  rrncmslem  38483  aks4d1p1  42843  fimgmcyc  43302  divcnvg  46343  stoweidlem7  46721  stirlinglem12  46799  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924