Theorem eluznn 12968

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12927	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12907	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  1c1 11126  ℕcn 12258  ℤ_≥cuz 12888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-z 12617  df-uz 12889

This theorem is used by:  elfzo1  13769  expmulnbnd  14300  bcval5  14383  isercolllem1  15753  isercoll  15756  o1fsum  15901  climcndslem1  15939  climcndslem2  15940  climcnds  15941  mertenslem2  15975  rpnnen2lem6  16308  rpnnen2lem7  16309  rpnnen2lem9  16311  rpnnen2lem11  16313  pcmpt2  16986  pcmptdvds  16987  prmreclem4  17012  prmreclem5  17013  prmreclem6  17014  vdwnnlem2  17089  2expltfac  17185  1stcelcls  23688  lmnn  25492  cmetcaulem  25517  causs  25527  caubl  25537  caublcls  25538  ovolunlem1a  25725  volsuplem  25784  uniioombllem3  25814  mbfi1fseqlem6  25949  aaliou3lem2  26580  birthdaylem2  27190  lgamgulmlem4  27269  lgamcvg2  27292  chtub  27449  bclbnd  27517  bposlem3  27523  bposlem4  27524  bposlem5  27525  bposlem6  27526  lgsdilem2  27570  chebbnd1lem1  27706  chebbnd1lem2  27707  chebbnd1lem3  27708  dchrisumlema  27725  dchrisumlem2  27727  dchrisumlem3  27728  dchrisum0lem1b  27752  dchrisum0lem1  27753  pntrsumbnd2  27804  pntpbnd1  27823  pntpbnd2  27824  pntlemh  27836  pntlemq  27838  pntlemr  27839  pntlemj  27840  pntlemf  27842  minvecolem3  31358  minvecolem4  31362  h2hcau  31461  h2hlm  31462  chscllem2  32120  sinccvglem  36252  lmclim2  38509  geomcau  38510  heibor1lem  38560  rrncmslem  38583  aks4d1p1  42943  fimgmcyc  43417  divcnvg  46458  stoweidlem7  46836  stirlinglem12  46914  fourierdlem103  47038  fourierdlem104  47039