Theorem eluznn 12868

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12827	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12807	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  1c1 11039  ℕcn 12174  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  elfzo1  13667  expmulnbnd  14197  bcval5  14280  isercolllem1  15627  isercoll  15630  o1fsum  15776  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  climcnds  15816  mertenslem2  15850  rpnnen2lem6  16186  rpnnen2lem7  16187  rpnnen2lem9  16189  rpnnen2lem11  16191  pcmpt2  16864  pcmptdvds  16865  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  vdwnnlem2  16967  2expltfac  17063  1stcelcls  23426  lmnn  25230  cmetcaulem  25255  causs  25265  caubl  25275  caublcls  25276  ovolunlem1a  25463  volsuplem  25522  uniioombllem3  25552  mbfi1fseqlem6  25687  aaliou3lem2  26309  birthdaylem2  26916  lgamgulmlem4  26995  lgamcvg2  27018  chtub  27175  bclbnd  27243  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  bposlem6  27252  lgsdilem2  27296  chebbnd1lem1  27432  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  dchrisumlema  27451  dchrisumlem2  27453  dchrisumlem3  27454  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  pntrsumbnd2  27530  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntlemh  27562  pntlemq  27564  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  minvecolem3  30947  minvecolem4  30951  h2hcau  31050  h2hlm  31051  chscllem2  31709  sinccvglem  35854  lmclim2  38079  geomcau  38080  heibor1lem  38130  rrncmslem  38153  aks4d1p1  42515  fimgmcyc  42979  divcnvg  46057  stoweidlem7  46435  stirlinglem12  46513  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638