Theorem eluznn 12658

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12621	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12601	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  1c1 10872  ℕcn 11973  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  elfzo1  13437  expmulnbnd  13950  bcval5  14032  isercolllem1  15376  isercoll  15379  o1fsum  15525  climcndslem1  15561  climcndslem2  15562  climcnds  15563  mertenslem2  15597  rpnnen2lem6  15928  rpnnen2lem7  15929  rpnnen2lem9  15931  rpnnen2lem11  15933  pcmpt2  16594  pcmptdvds  16595  prmreclem4  16620  prmreclem5  16621  prmreclem6  16622  vdwnnlem2  16697  2expltfac  16794  1stcelcls  22612  lmnn  24427  cmetcaulem  24452  causs  24462  caubl  24472  caublcls  24473  ovolunlem1a  24660  volsuplem  24719  uniioombllem3  24749  mbfi1fseqlem6  24885  aaliou3lem2  25503  birthdaylem2  26102  lgamgulmlem4  26181  lgamcvg2  26204  chtub  26360  bclbnd  26428  bposlem3  26434  bposlem4  26435  bposlem5  26436  bposlem6  26437  lgsdilem2  26481  chebbnd1lem1  26617  chebbnd1lem2  26618  chebbnd1lem3  26619  dchrisumlema  26636  dchrisumlem2  26638  dchrisumlem3  26639  dchrisum0lem1b  26663  dchrisum0lem1  26664  pntrsumbnd2  26715  pntpbnd1  26734  pntpbnd2  26735  pntlemh  26747  pntlemq  26749  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemf  26753  minvecolem3  29238  minvecolem4  29242  h2hcau  29341  h2hlm  29342  chscllem2  30000  sinccvglem  33630  lmclim2  35916  geomcau  35917  heibor1lem  35967  rrncmslem  35990  aks4d1p1  40084  divcnvg  43168  stoweidlem7  43548  stirlinglem12  43626  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751