Theorem eluznn 12954

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12917	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12893	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  1c1 11159  ℕcn 12264  ℤ_≥cuz 12874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-z 12611  df-uz 12875

This theorem is referenced by:  elfzo1  13736  expmulnbnd  14252  bcval5  14335  isercolllem1  15669  isercoll  15672  o1fsum  15817  climcndslem1  15853  climcndslem2  15854  climcnds  15855  mertenslem2  15889  rpnnen2lem6  16221  rpnnen2lem7  16222  rpnnen2lem9  16224  rpnnen2lem11  16226  pcmpt2  16895  pcmptdvds  16896  prmreclem4  16921  prmreclem5  16922  prmreclem6  16923  vdwnnlem2  16998  2expltfac  17095  1stcelcls  23456  lmnn  25282  cmetcaulem  25307  causs  25317  caubl  25327  caublcls  25328  ovolunlem1a  25516  volsuplem  25575  uniioombllem3  25605  mbfi1fseqlem6  25741  aaliou3lem2  26371  birthdaylem2  26980  lgamgulmlem4  27060  lgamcvg2  27083  chtub  27241  bclbnd  27309  bposlem3  27315  bposlem4  27316  bposlem5  27317  bposlem6  27318  lgsdilem2  27362  chebbnd1lem1  27498  chebbnd1lem2  27499  chebbnd1lem3  27500  dchrisumlema  27517  dchrisumlem2  27519  dchrisumlem3  27520  dchrisum0lem1b  27544  dchrisum0lem1  27545  pntrsumbnd2  27596  pntpbnd1  27615  pntpbnd2  27616  pntlemh  27628  pntlemq  27630  pntlemr  27631  pntlemj  27632  pntlemf  27634  minvecolem3  30809  minvecolem4  30813  h2hcau  30912  h2hlm  30913  chscllem2  31571  sinccvglem  35500  lmclim2  37459  geomcau  37460  heibor1lem  37510  rrncmslem  37533  aks4d1p1  41775  divcnvg  45248  stoweidlem7  45628  stirlinglem12  45706  fourierdlem103  45830  fourierdlem104  45831