Theorem eluznn 12877

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12836	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12812	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  1c1 11069  ℕcn 12186  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  elfzo1  13673  expmulnbnd  14200  bcval5  14283  isercolllem1  15631  isercoll  15634  o1fsum  15779  climcndslem1  15815  climcndslem2  15816  climcnds  15817  mertenslem2  15851  rpnnen2lem6  16187  rpnnen2lem7  16188  rpnnen2lem9  16190  rpnnen2lem11  16192  pcmpt2  16864  pcmptdvds  16865  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  vdwnnlem2  16967  2expltfac  17063  1stcelcls  23348  lmnn  25163  cmetcaulem  25188  causs  25198  caubl  25208  caublcls  25209  ovolunlem1a  25397  volsuplem  25456  uniioombllem3  25486  mbfi1fseqlem6  25621  aaliou3lem2  26251  birthdaylem2  26862  lgamgulmlem4  26942  lgamcvg2  26965  chtub  27123  bclbnd  27191  bposlem3  27197  bposlem4  27198  bposlem5  27199  bposlem6  27200  lgsdilem2  27244  chebbnd1lem1  27380  chebbnd1lem2  27381  chebbnd1lem3  27382  dchrisumlema  27399  dchrisumlem2  27401  dchrisumlem3  27402  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  pntrsumbnd2  27478  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemh  27510  pntlemq  27512  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  minvecolem3  30805  minvecolem4  30809  h2hcau  30908  h2hlm  30909  chscllem2  31567  sinccvglem  35659  lmclim2  37752  geomcau  37753  heibor1lem  37803  rrncmslem  37826  aks4d1p1  42064  fimgmcyc  42522  divcnvg  45625  stoweidlem7  46005  stirlinglem12  46083  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208