Theorem eluznn 12960

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12919	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12899	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  1c1 11118  ℕcn 12250  ℤ_≥cuz 12880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-z 12609  df-uz 12881

This theorem is used by:  elfzo1  13760  expmulnbnd  14291  bcval5  14374  isercolllem1  15742  isercoll  15745  o1fsum  15890  climcndslem1  15928  climcndslem2  15929  climcnds  15930  mertenslem2  15964  rpnnen2lem6  16299  rpnnen2lem7  16300  rpnnen2lem9  16302  rpnnen2lem11  16304  pcmpt2  16977  pcmptdvds  16978  prmreclem4  17003  prmreclem5  17004  prmreclem6  17005  vdwnnlem2  17080  2expltfac  17176  1stcelcls  23671  lmnn  25475  cmetcaulem  25500  causs  25510  caubl  25520  caublcls  25521  ovolunlem1a  25708  volsuplem  25767  uniioombllem3  25797  mbfi1fseqlem6  25932  aaliou3lem2  26559  birthdaylem2  27170  lgamgulmlem4  27249  lgamcvg2  27272  chtub  27429  bclbnd  27497  bposlem3  27503  bposlem4  27504  bposlem5  27505  bposlem6  27506  lgsdilem2  27550  chebbnd1lem1  27686  chebbnd1lem2  27687  chebbnd1lem3  27688  dchrisumlema  27705  dchrisumlem2  27707  dchrisumlem3  27708  dchrisum0lem1b  27732  dchrisum0lem1  27733  pntrsumbnd2  27784  pntpbnd1  27803  pntpbnd2  27804  pntlemh  27816  pntlemq  27818  pntlemr  27819  pntlemj  27820  pntlemf  27822  minvecolem3  31301  minvecolem4  31305  h2hcau  31404  h2hlm  31405  chscllem2  32063  sinccvglem  36203  lmclim2  38469  geomcau  38470  heibor1lem  38520  rrncmslem  38543  aks4d1p1  42903  fimgmcyc  43362  divcnvg  46403  stoweidlem7  46781  stirlinglem12  46859  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984