Theorem eluznn 12003

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11967	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 11948	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  1c1 10225  ℕcn 11312  ℤ_≥cuz 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-z 11667  df-uz 11931

This theorem is referenced by:  elfzo1  12773  expmulnbnd  13250  bcval5  13358  isercolllem1  14736  isercoll  14739  o1fsum  14883  climcndslem1  14919  climcndslem2  14920  climcnds  14921  mertenslem2  14954  rpnnen2lem6  15284  rpnnen2lem7  15285  rpnnen2lem9  15287  rpnnen2lem11  15289  pcmpt2  15930  pcmptdvds  15931  prmreclem4  15956  prmreclem5  15957  prmreclem6  15958  vdwnnlem2  16033  2expltfac  16127  1stcelcls  21593  lmnn  23389  cmetcaulem  23414  causs  23424  caubl  23434  caublcls  23435  ovolunlem1a  23604  volsuplem  23663  uniioombllem3  23693  mbfi1fseqlem6  23828  aaliou3lem2  24439  birthdaylem2  25031  lgamgulmlem4  25110  lgamcvg2  25133  chtub  25289  bclbnd  25357  bposlem3  25363  bposlem4  25364  bposlem5  25365  bposlem6  25366  lgsdilem2  25410  chebbnd1lem1  25510  chebbnd1lem2  25511  chebbnd1lem3  25512  dchrisumlema  25529  dchrisumlem2  25531  dchrisumlem3  25532  dchrisum0lem1b  25556  dchrisum0lem1  25557  pntrsumbnd2  25608  pntpbnd1  25627  pntpbnd2  25628  pntlemh  25640  pntlemq  25642  pntlemr  25643  pntlemj  25644  pntlemf  25646  minvecolem3  28257  minvecolem4  28261  h2hcau  28361  h2hlm  28362  chscllem2  29022  sinccvglem  32081  lmclim2  34041  geomcau  34042  heibor1lem  34095  rrncmslem  34118  divcnvg  40603  stoweidlem7  40967  stirlinglem12  41045  fourierdlem103  41169  fourierdlem104  41170