Theorem eluznn 12818

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12777	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12757	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  1c1 11014  ℕcn 12132  ℤ_≥cuz 12738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-z 12476  df-uz 12739

This theorem is referenced by:  elfzo1  13614  expmulnbnd  14144  bcval5  14227  isercolllem1  15574  isercoll  15577  o1fsum  15722  climcndslem1  15758  climcndslem2  15759  climcnds  15760  mertenslem2  15794  rpnnen2lem6  16130  rpnnen2lem7  16131  rpnnen2lem9  16133  rpnnen2lem11  16135  pcmpt2  16807  pcmptdvds  16808  prmreclem4  16833  prmreclem5  16834  prmreclem6  16835  vdwnnlem2  16910  2expltfac  17006  1stcelcls  23377  lmnn  25191  cmetcaulem  25216  causs  25226  caubl  25236  caublcls  25237  ovolunlem1a  25425  volsuplem  25484  uniioombllem3  25514  mbfi1fseqlem6  25649  aaliou3lem2  26279  birthdaylem2  26890  lgamgulmlem4  26970  lgamcvg2  26993  chtub  27151  bclbnd  27219  bposlem3  27225  bposlem4  27226  bposlem5  27227  bposlem6  27228  lgsdilem2  27272  chebbnd1lem1  27408  chebbnd1lem2  27409  chebbnd1lem3  27410  dchrisumlema  27427  dchrisumlem2  27429  dchrisumlem3  27430  dchrisum0lem1b  27454  dchrisum0lem1  27455  pntrsumbnd2  27506  pntpbnd1  27525  pntpbnd2  27526  pntlemh  27538  pntlemq  27540  pntlemr  27541  pntlemj  27542  pntlemf  27544  minvecolem3  30858  minvecolem4  30862  h2hcau  30961  h2hlm  30962  chscllem2  31620  sinccvglem  35737  lmclim2  37818  geomcau  37819  heibor1lem  37869  rrncmslem  37892  aks4d1p1  42189  fimgmcyc  42652  divcnvg  45751  stoweidlem7  46129  stirlinglem12  46207  fourierdlem103  46331  fourierdlem104  46332