Theorem eluznn 12939

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12900	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12876	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  1c1 11135  ℕcn 12245  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  elfzo1  13734  expmulnbnd  14258  bcval5  14341  isercolllem1  15686  isercoll  15689  o1fsum  15834  climcndslem1  15870  climcndslem2  15871  climcnds  15872  mertenslem2  15906  rpnnen2lem6  16242  rpnnen2lem7  16243  rpnnen2lem9  16245  rpnnen2lem11  16247  pcmpt2  16918  pcmptdvds  16919  prmreclem4  16944  prmreclem5  16945  prmreclem6  16946  vdwnnlem2  17021  2expltfac  17117  1stcelcls  23404  lmnn  25220  cmetcaulem  25245  causs  25255  caubl  25265  caublcls  25266  ovolunlem1a  25454  volsuplem  25513  uniioombllem3  25543  mbfi1fseqlem6  25678  aaliou3lem2  26308  birthdaylem2  26919  lgamgulmlem4  26999  lgamcvg2  27022  chtub  27180  bclbnd  27248  bposlem3  27254  bposlem4  27255  bposlem5  27256  bposlem6  27257  lgsdilem2  27301  chebbnd1lem1  27437  chebbnd1lem2  27438  chebbnd1lem3  27439  dchrisumlema  27456  dchrisumlem2  27458  dchrisumlem3  27459  dchrisum0lem1b  27483  dchrisum0lem1  27484  pntrsumbnd2  27535  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntlemh  27567  pntlemq  27569  pntlemr  27570  pntlemj  27571  pntlemf  27573  minvecolem3  30862  minvecolem4  30866  h2hcau  30965  h2hlm  30966  chscllem2  31624  sinccvglem  35699  lmclim2  37787  geomcau  37788  heibor1lem  37838  rrncmslem  37861  aks4d1p1  42094  fimgmcyc  42524  divcnvg  45623  stoweidlem7  46003  stirlinglem12  46081  fourierdlem103  46205  fourierdlem104  46206