Theorem eluznn 12983

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12922	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  1c1 11185  ℕcn 12293  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  elfzo1  13766  expmulnbnd  14284  bcval5  14367  isercolllem1  15713  isercoll  15716  o1fsum  15861  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  climcnds  15899  mertenslem2  15933  rpnnen2lem6  16267  rpnnen2lem7  16268  rpnnen2lem9  16270  rpnnen2lem11  16272  pcmpt2  16940  pcmptdvds  16941  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  prmreclem6  16968  vdwnnlem2  17043  2expltfac  17140  1stcelcls  23490  lmnn  25316  cmetcaulem  25341  causs  25351  caubl  25361  caublcls  25362  ovolunlem1a  25550  volsuplem  25609  uniioombllem3  25639  mbfi1fseqlem6  25775  aaliou3lem2  26403  birthdaylem2  27013  lgamgulmlem4  27093  lgamcvg2  27116  chtub  27274  bclbnd  27342  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem6  27351  lgsdilem2  27395  chebbnd1lem1  27531  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1lem3  27533  dchrisumlema  27550  dchrisumlem2  27552  dchrisumlem3  27553  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  pntrsumbnd2  27629  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntlemh  27661  pntlemq  27663  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  minvecolem3  30908  minvecolem4  30912  h2hcau  31011  h2hlm  31012  chscllem2  31670  sinccvglem  35640  lmclim2  37718  geomcau  37719  heibor1lem  37769  rrncmslem  37792  aks4d1p1  42033  fimgmcyc  42489  divcnvg  45548  stoweidlem7  45928  stirlinglem12  46006  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131