Theorem eluznn 12843

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12802	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12782	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  1c1 11039  ℕcn 12157  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  elfzo1  13640  expmulnbnd  14170  bcval5  14253  isercolllem1  15600  isercoll  15603  o1fsum  15748  climcndslem1  15784  climcndslem2  15785  climcnds  15786  mertenslem2  15820  rpnnen2lem6  16156  rpnnen2lem7  16157  rpnnen2lem9  16159  rpnnen2lem11  16161  pcmpt2  16833  pcmptdvds  16834  prmreclem4  16859  prmreclem5  16860  prmreclem6  16861  vdwnnlem2  16936  2expltfac  17032  1stcelcls  23417  lmnn  25231  cmetcaulem  25256  causs  25266  caubl  25276  caublcls  25277  ovolunlem1a  25465  volsuplem  25524  uniioombllem3  25554  mbfi1fseqlem6  25689  aaliou3lem2  26319  birthdaylem2  26930  lgamgulmlem4  27010  lgamcvg2  27033  chtub  27191  bclbnd  27259  bposlem3  27265  bposlem4  27266  bposlem5  27267  bposlem6  27268  lgsdilem2  27312  chebbnd1lem1  27448  chebbnd1lem2  27449  chebbnd1lem3  27450  dchrisumlema  27467  dchrisumlem2  27469  dchrisumlem3  27470  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  pntrsumbnd2  27546  pntpbnd1  27565  pntpbnd2  27566  pntlemh  27578  pntlemq  27580  pntlemr  27581  pntlemj  27582  pntlemf  27584  minvecolem3  30964  minvecolem4  30968  h2hcau  31067  h2hlm  31068  chscllem2  31726  sinccvglem  35888  lmclim2  38009  geomcau  38010  heibor1lem  38060  rrncmslem  38083  aks4d1p1  42446  fimgmcyc  42904  divcnvg  45987  stoweidlem7  46365  stirlinglem12  46443  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568