Theorem eluznn 13052

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13011	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12991	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  1c1 11208  ℕcn 12342  ℤ_≥cuz 12972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-z 12701  df-uz 12973

This theorem is used by:  elfzo1  13854  expmulnbnd  14386  bcval5  14469  isercolllem1  15841  isercoll  15844  o1fsum  15989  climcndslem1  16027  climcndslem2  16028  climcnds  16029  mertenslem2  16063  rpnnen2lem6  16396  rpnnen2lem7  16397  rpnnen2lem9  16399  rpnnen2lem11  16401  pcmpt2  17080  pcmptdvds  17081  prmreclem4  17106  prmreclem5  17107  prmreclem6  17108  vdwnnlem2  17183  2expltfac  17279  1stcelcls  23789  lmnn  25593  cmetcaulem  25618  causs  25628  caubl  25638  caublcls  25639  ovolunlem1a  25826  volsuplem  25885  uniioombllem3  25915  mbfi1fseqlem6  26050  aaliou3lem2  26679  birthdaylem2  27289  lgamgulmlem4  27368  lgamcvg2  27391  chtub  27548  bclbnd  27616  bposlem3  27622  bposlem4  27623  bposlem5  27624  bposlem6  27625  lgsdilem2  27669  chebbnd1lem1  27805  chebbnd1lem2  27806  chebbnd1lem3  27807  dchrisumlema  27824  dchrisumlem2  27826  dchrisumlem3  27827  dchrisum0lem1b  27851  dchrisum0lem1  27852  pntrsumbnd2  27903  pntpbnd1  27922  pntpbnd2  27923  pntlemh  27935  pntlemq  27937  pntlemr  27938  pntlemj  27939  pntlemf  27941  fltoprm  28004  minvecolem3  31487  minvecolem4  31491  h2hcau  31590  h2hlm  31591  chscllem2  32249  sinccvglem  36555  lmclim2  38829  geomcau  38830  heibor1lem  38880  rrncmslem  38903  aks4d1p1  43263  fimgmcyc  43735  divcnvg  46775  stoweidlem7  47153  stirlinglem12  47231  fourierdlem103  47355  fourierdlem104  47356