Theorem eluznn 12941

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12900	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12880	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  1c1 11100  ℕcn 12232  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-z 12591  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  elfzo1  13740  expmulnbnd  14270  bcval5  14353  isercolllem1  15715  isercoll  15718  o1fsum  15864  climcndslem1  15902  climcndslem2  15903  climcnds  15904  mertenslem2  15938  rpnnen2lem6  16274  rpnnen2lem7  16275  rpnnen2lem9  16277  rpnnen2lem11  16279  pcmpt2  16952  pcmptdvds  16953  prmreclem4  16978  prmreclem5  16979  prmreclem6  16980  vdwnnlem2  17055  2expltfac  17151  1stcelcls  23586  lmnn  25390  cmetcaulem  25415  causs  25425  caubl  25435  caublcls  25436  ovolunlem1a  25623  volsuplem  25682  uniioombllem3  25712  mbfi1fseqlem6  25847  aaliou3lem2  26472  birthdaylem2  27082  lgamgulmlem4  27161  lgamcvg2  27184  chtub  27341  bclbnd  27409  bposlem3  27415  bposlem4  27416  bposlem5  27417  bposlem6  27418  lgsdilem2  27462  chebbnd1lem1  27598  chebbnd1lem2  27599  chebbnd1lem3  27600  dchrisumlema  27617  dchrisumlem2  27619  dchrisumlem3  27620  dchrisum0lem1b  27644  dchrisum0lem1  27645  pntrsumbnd2  27696  pntpbnd1  27715  pntpbnd2  27716  pntlemh  27728  pntlemq  27730  pntlemr  27731  pntlemj  27732  pntlemf  27734  minvecolem3  31168  minvecolem4  31172  h2hcau  31271  h2hlm  31272  chscllem2  31930  sinccvglem  36062  lmclim2  38296  geomcau  38297  heibor1lem  38347  rrncmslem  38370  aks4d1p1  42732  fimgmcyc  43193  divcnvg  46234  stoweidlem7  46612  stirlinglem12  46690  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815