Theorem eluznn 12831

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12790	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12770	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  1c1 11027  ℕcn 12145  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  elfzo1  13628  expmulnbnd  14158  bcval5  14241  isercolllem1  15588  isercoll  15591  o1fsum  15736  climcndslem1  15772  climcndslem2  15773  climcnds  15774  mertenslem2  15808  rpnnen2lem6  16144  rpnnen2lem7  16145  rpnnen2lem9  16147  rpnnen2lem11  16149  pcmpt2  16821  pcmptdvds  16822  prmreclem4  16847  prmreclem5  16848  prmreclem6  16849  vdwnnlem2  16924  2expltfac  17020  1stcelcls  23405  lmnn  25219  cmetcaulem  25244  causs  25254  caubl  25264  caublcls  25265  ovolunlem1a  25453  volsuplem  25512  uniioombllem3  25542  mbfi1fseqlem6  25677  aaliou3lem2  26307  birthdaylem2  26918  lgamgulmlem4  26998  lgamcvg2  27021  chtub  27179  bclbnd  27247  bposlem3  27253  bposlem4  27254  bposlem5  27255  bposlem6  27256  lgsdilem2  27300  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem2  27437  chebbnd1lem3  27438  dchrisumlema  27455  dchrisumlem2  27457  dchrisumlem3  27458  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  pntrsumbnd2  27534  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntlemh  27566  pntlemq  27568  pntlemr  27569  pntlemj  27570  pntlemf  27572  minvecolem3  30951  minvecolem4  30955  h2hcau  31054  h2hlm  31055  chscllem2  31713  sinccvglem  35866  lmclim2  37959  geomcau  37960  heibor1lem  38010  rrncmslem  38033  aks4d1p1  42330  fimgmcyc  42789  divcnvg  45873  stoweidlem7  46251  stirlinglem12  46329  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454