Theorem eluznn 12853

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12812	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12788	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  1c1 11045  ℕcn 12162  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  elfzo1  13649  expmulnbnd  14176  bcval5  14259  isercolllem1  15607  isercoll  15610  o1fsum  15755  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  climcnds  15793  mertenslem2  15827  rpnnen2lem6  16163  rpnnen2lem7  16164  rpnnen2lem9  16166  rpnnen2lem11  16168  pcmpt2  16840  pcmptdvds  16841  prmreclem4  16866  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  vdwnnlem2  16943  2expltfac  17039  1stcelcls  23324  lmnn  25139  cmetcaulem  25164  causs  25174  caubl  25184  caublcls  25185  ovolunlem1a  25373  volsuplem  25432  uniioombllem3  25462  mbfi1fseqlem6  25597  aaliou3lem2  26227  birthdaylem2  26838  lgamgulmlem4  26918  lgamcvg2  26941  chtub  27099  bclbnd  27167  bposlem3  27173  bposlem4  27174  bposlem5  27175  bposlem6  27176  lgsdilem2  27220  chebbnd1lem1  27356  chebbnd1lem2  27357  chebbnd1lem3  27358  dchrisumlema  27375  dchrisumlem2  27377  dchrisumlem3  27378  dchrisum0lem1b  27402  dchrisum0lem1  27403  pntrsumbnd2  27454  pntpbnd1  27473  pntpbnd2  27474  pntlemh  27486  pntlemq  27488  pntlemr  27489  pntlemj  27490  pntlemf  27492  minvecolem3  30778  minvecolem4  30782  h2hcau  30881  h2hlm  30882  chscllem2  31540  sinccvglem  35632  lmclim2  37725  geomcau  37726  heibor1lem  37776  rrncmslem  37799  aks4d1p1  42037  fimgmcyc  42495  divcnvg  45598  stoweidlem7  45978  stirlinglem12  46056  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181