Theorem eluznn 12919

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12878	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12858	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  1c1 11074  ℕcn 12210  ℤ_≥cuz 12839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-z 12569  df-uz 12840

This theorem is referenced by:  elfzo1  13718  expmulnbnd  14248  bcval5  14331  isercolllem1  15692  isercoll  15695  o1fsum  15841  climcndslem1  15879  climcndslem2  15880  climcnds  15881  mertenslem2  15915  rpnnen2lem6  16251  rpnnen2lem7  16252  rpnnen2lem9  16254  rpnnen2lem11  16256  pcmpt2  16929  pcmptdvds  16930  prmreclem4  16955  prmreclem5  16956  prmreclem6  16957  vdwnnlem2  17032  2expltfac  17128  1stcelcls  23521  lmnn  25325  cmetcaulem  25350  causs  25360  caubl  25370  caublcls  25371  ovolunlem1a  25558  volsuplem  25617  uniioombllem3  25647  mbfi1fseqlem6  25782  aaliou3lem2  26407  birthdaylem2  27017  lgamgulmlem4  27096  lgamcvg2  27119  chtub  27276  bclbnd  27344  bposlem3  27350  bposlem4  27351  bposlem5  27352  bposlem6  27353  lgsdilem2  27397  chebbnd1lem1  27533  chebbnd1lem2  27534  chebbnd1lem3  27535  dchrisumlema  27552  dchrisumlem2  27554  dchrisumlem3  27555  dchrisum0lem1b  27579  dchrisum0lem1  27580  pntrsumbnd2  27631  pntpbnd1  27650  pntpbnd2  27651  pntlemh  27663  pntlemq  27665  pntlemr  27666  pntlemj  27667  pntlemf  27669  minvecolem3  31079  minvecolem4  31083  h2hcau  31182  h2hlm  31183  chscllem2  31841  sinccvglem  36022  lmclim2  38257  geomcau  38258  heibor1lem  38308  rrncmslem  38331  aks4d1p1  42693  fimgmcyc  43152  divcnvg  46203  stoweidlem7  46581  stirlinglem12  46659  fourierdlem103  46783  fourierdlem104  46784