Theorem eluznn 12819

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12778	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12754	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  1c1 11010  ℕcn 12128  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  elfzo1  13615  expmulnbnd  14142  bcval5  14225  isercolllem1  15572  isercoll  15575  o1fsum  15720  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  mertenslem2  15792  rpnnen2lem6  16128  rpnnen2lem7  16129  rpnnen2lem9  16131  rpnnen2lem11  16133  pcmpt2  16805  pcmptdvds  16806  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  vdwnnlem2  16908  2expltfac  17004  1stcelcls  23346  lmnn  25161  cmetcaulem  25186  causs  25196  caubl  25206  caublcls  25207  ovolunlem1a  25395  volsuplem  25454  uniioombllem3  25484  mbfi1fseqlem6  25619  aaliou3lem2  26249  birthdaylem2  26860  lgamgulmlem4  26940  lgamcvg2  26963  chtub  27121  bclbnd  27189  bposlem3  27195  bposlem4  27196  bposlem5  27197  bposlem6  27198  lgsdilem2  27242  chebbnd1lem1  27378  chebbnd1lem2  27379  chebbnd1lem3  27380  dchrisumlema  27397  dchrisumlem2  27399  dchrisumlem3  27400  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  pntrsumbnd2  27476  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntlemh  27508  pntlemq  27510  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemf  27514  minvecolem3  30820  minvecolem4  30824  h2hcau  30923  h2hlm  30924  chscllem2  31582  sinccvglem  35645  lmclim2  37738  geomcau  37739  heibor1lem  37789  rrncmslem  37812  aks4d1p1  42049  fimgmcyc  42507  divcnvg  45608  stoweidlem7  45988  stirlinglem12  46066  fourierdlem103  46190  fourierdlem104  46191