Theorem eluznn 12942

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12901	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12881	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  1c1 11101  ℕcn 12233  ℤ_≥cuz 12862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-z 12592  df-uz 12863

This theorem is referenced by:  elfzo1  13741  expmulnbnd  14271  bcval5  14354  isercolllem1  15716  isercoll  15719  o1fsum  15865  climcndslem1  15903  climcndslem2  15904  climcnds  15905  mertenslem2  15939  rpnnen2lem6  16275  rpnnen2lem7  16276  rpnnen2lem9  16278  rpnnen2lem11  16280  pcmpt2  16953  pcmptdvds  16954  prmreclem4  16979  prmreclem5  16980  prmreclem6  16981  vdwnnlem2  17056  2expltfac  17152  1stcelcls  23587  lmnn  25391  cmetcaulem  25416  causs  25426  caubl  25436  caublcls  25437  ovolunlem1a  25624  volsuplem  25683  uniioombllem3  25713  mbfi1fseqlem6  25848  aaliou3lem2  26473  birthdaylem2  27083  lgamgulmlem4  27162  lgamcvg2  27185  chtub  27342  bclbnd  27410  bposlem3  27416  bposlem4  27417  bposlem5  27418  bposlem6  27419  lgsdilem2  27463  chebbnd1lem1  27599  chebbnd1lem2  27600  chebbnd1lem3  27601  dchrisumlema  27618  dchrisumlem2  27620  dchrisumlem3  27621  dchrisum0lem1b  27645  dchrisum0lem1  27646  pntrsumbnd2  27697  pntpbnd1  27716  pntpbnd2  27717  pntlemh  27729  pntlemq  27731  pntlemr  27732  pntlemj  27733  pntlemf  27735  minvecolem3  31169  minvecolem4  31173  h2hcau  31272  h2hlm  31273  chscllem2  31931  sinccvglem  36097  lmclim2  38332  geomcau  38333  heibor1lem  38383  rrncmslem  38406  aks4d1p1  42768  fimgmcyc  43229  divcnvg  46270  stoweidlem7  46648  stirlinglem12  46726  fourierdlem103  46850  fourierdlem104  46851