Theorem eluznn 12829

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12788	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 12768	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  1c1 11025  ℕcn 12143  ℤ_≥cuz 12749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-z 12487  df-uz 12750

This theorem is referenced by:  elfzo1  13626  expmulnbnd  14156  bcval5  14239  isercolllem1  15586  isercoll  15589  o1fsum  15734  climcndslem1  15770  climcndslem2  15771  climcnds  15772  mertenslem2  15806  rpnnen2lem6  16142  rpnnen2lem7  16143  rpnnen2lem9  16145  rpnnen2lem11  16147  pcmpt2  16819  pcmptdvds  16820  prmreclem4  16845  prmreclem5  16846  prmreclem6  16847  vdwnnlem2  16922  2expltfac  17018  1stcelcls  23403  lmnn  25217  cmetcaulem  25242  causs  25252  caubl  25262  caublcls  25263  ovolunlem1a  25451  volsuplem  25510  uniioombllem3  25540  mbfi1fseqlem6  25675  aaliou3lem2  26305  birthdaylem2  26916  lgamgulmlem4  26996  lgamcvg2  27019  chtub  27177  bclbnd  27245  bposlem3  27251  bposlem4  27252  bposlem5  27253  bposlem6  27254  lgsdilem2  27298  chebbnd1lem1  27434  chebbnd1lem2  27435  chebbnd1lem3  27436  dchrisumlema  27453  dchrisumlem2  27455  dchrisumlem3  27456  dchrisum0lem1b  27480  dchrisum0lem1  27481  pntrsumbnd2  27532  pntpbnd1  27551  pntpbnd2  27552  pntlemh  27564  pntlemq  27566  pntlemr  27567  pntlemj  27568  pntlemf  27570  minvecolem3  30900  minvecolem4  30904  h2hcau  31003  h2hlm  31004  chscllem2  31662  sinccvglem  35815  lmclim2  37898  geomcau  37899  heibor1lem  37949  rrncmslem  37972  aks4d1p1  42269  fimgmcyc  42731  divcnvg  45815  stoweidlem7  46193  stirlinglem12  46271  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396