MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluznn 12797
Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in . (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluznn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn
StepHypRef Expression
1 nnuz 12760 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21uztrn2 12740 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  cfv 6493  1c1 11010  cn 12111  cuz 12721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-z 12458  df-uz 12722
This theorem is referenced by:  elfzo1  13576  expmulnbnd  14089  bcval5  14171  isercolllem1  15508  isercoll  15511  o1fsum  15657  climcndslem1  15693  climcndslem2  15694  climcnds  15695  mertenslem2  15729  rpnnen2lem6  16060  rpnnen2lem7  16061  rpnnen2lem9  16063  rpnnen2lem11  16065  pcmpt2  16724  pcmptdvds  16725  prmreclem4  16750  prmreclem5  16751  prmreclem6  16752  vdwnnlem2  16827  2expltfac  16924  1stcelcls  22763  lmnn  24578  cmetcaulem  24603  causs  24613  caubl  24623  caublcls  24624  ovolunlem1a  24811  volsuplem  24870  uniioombllem3  24900  mbfi1fseqlem6  25036  aaliou3lem2  25654  birthdaylem2  26253  lgamgulmlem4  26332  lgamcvg2  26355  chtub  26511  bclbnd  26579  bposlem3  26585  bposlem4  26586  bposlem5  26587  bposlem6  26588  lgsdilem2  26632  chebbnd1lem1  26768  chebbnd1lem2  26769  chebbnd1lem3  26770  dchrisumlema  26787  dchrisumlem2  26789  dchrisumlem3  26790  dchrisum0lem1b  26814  dchrisum0lem1  26815  pntrsumbnd2  26866  pntpbnd1  26885  pntpbnd2  26886  pntlemh  26898  pntlemq  26900  pntlemr  26901  pntlemj  26902  pntlemf  26904  minvecolem3  29646  minvecolem4  29650  h2hcau  29749  h2hlm  29750  chscllem2  30408  sinccvglem  34065  lmclim2  36148  geomcau  36149  heibor1lem  36199  rrncmslem  36222  aks4d1p1  40464  divcnvg  43762  stoweidlem7  44142  stirlinglem12  44220  fourierdlem103  44344  fourierdlem104  44345
  Copyright terms: Public domain W3C validator