Theorem eluznn 13085

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13044	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 13024	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  1c1 11240  ℕcn 12375  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  elfzo1  13887  expmulnbnd  14420  bcval5  14503  isercolllem1  15876  isercoll  15879  o1fsum  16024  climcndslem1  16062  climcndslem2  16063  climcnds  16064  mertenslem2  16098  rpnnen2lem6  16431  rpnnen2lem7  16432  rpnnen2lem9  16434  rpnnen2lem11  16436  pcmpt2  17115  pcmptdvds  17116  prmreclem4  17141  prmreclem5  17142  prmreclem6  17143  vdwnnlem2  17218  2expltfac  17314  1stcelcls  23835  lmnn  25639  cmetcaulem  25664  causs  25674  caubl  25684  caublcls  25685  ovolunlem1a  25872  volsuplem  25931  uniioombllem3  25961  mbfi1fseqlem6  26096  aaliou3lem2  26727  birthdaylem2  27337  lgamgulmlem4  27416  lgamcvg2  27439  chtub  27596  bclbnd  27664  bposlem3  27670  bposlem4  27671  bposlem5  27672  bposlem6  27673  lgsdilem2  27717  chebbnd1lem1  27853  chebbnd1lem2  27854  chebbnd1lem3  27855  dchrisumlema  27872  dchrisumlem2  27874  dchrisumlem3  27875  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  pntrsumbnd2  27951  pntpbnd1  27970  pntpbnd2  27971  pntlemh  27983  pntlemq  27985  pntlemr  27986  pntlemj  27987  pntlemf  27989  fltoprm  28052  minvecolem3  31535  minvecolem4  31539  h2hcau  31638  h2hlm  31639  chscllem2  32297  sinccvglem  36645  lmclim2  38958  geomcau  38959  heibor1lem  39009  rrncmslem  39032  aks4d1p1  43392  fimgmcyc  43864  divcnvg  46912  stoweidlem7  47290  stirlinglem12  47368  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493