MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdumgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdumgr 26332
Description: The property of being an undirected multigraph, expressing the edges as "words". (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isumgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isumgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wrdumgr ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem wrdumgr
StepHypRef Expression
1 isumgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isumgr.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2isumgrs 26331 . . 3 (𝐺𝑈 → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
43adantr 473 . 2 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
5 wrdf 13539 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Word 𝑋𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑋)
65adantl 474 . . . . 5 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑋)
76fdmd 6265 . . . 4 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸)))
87feq2d 6242 . . 3 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
9 iswrdi 13538 . . . 4 (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
10 wrdf 13539 . . . 4 (𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
119, 10impbii 201 . . 3 (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
128, 11syl6bb 279 . 2 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
134, 12bitrd 271 1 ((𝐺𝑈𝐸 ∈ Word 𝑋) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3093  𝒫 cpw 4349  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  2c2 11368  ..^cfzo 12720  chash 13370  Word cword 13534  Vtxcvtx 26231  iEdgciedg 26232  UMGraphcumgr 26316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-umgr 26318
This theorem is referenced by:  konigsbergumgr  27598
  Copyright terms: Public domain W3C validator