Theorem iswrdi 14416

Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdi	⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdi

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (0..^𝑙) = (0..^𝐿))
2	1	feq2d 6631	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆))
3	2	rspcev 3575	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
4		0nn0 12388	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		fzo0n0 13608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
6		nnnn0 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7	5, 6	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
8	7	necon1bi 2954	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = ∅)
9		fzo0 13575	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtr4di 2783	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = (0..^0))
11	10	feq2d 6631	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
12	11	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
13		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
14	13	feq2d 6631	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 0 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
15	14	rspcev 3575	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
16	4, 12, 15	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
17	3, 16	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
18		iswrd 14414	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
19	17, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  ∅c0 4281  ⟶wf 6473  (class class class)co 7341  0cc0 10998  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  ..^cfzo 13546  Word cword 14412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-word 14413

This theorem is referenced by:  iswrdb  14419  snopiswrd  14422  iswrdsymb  14430  iswrddm0  14437  ffz0iswrd  14440  wrdnval  14444  wrdred1  14459  ccatcl  14473  swrdcl  14545  revcl  14660  repsw  14674  repsdf2  14677  cshf1  14709  wrdco  14730  wrdlen2i  14841  pmtrdifwrdellem1  19386  psgnunilem5  19399  ablfaclem2  19993  ablfac2  19996  wrdupgr  29056  wrdumgr  29068  crctcshtrl  29794  wlkiswwlks2lem5  29844  wlkiswwlksupgr2  29848  clwlkclwwlklem2a  29968  upgriseupth  30177  wrdres  32906  wrdpmcl  32909  ccatws1f1o  32922  ccatws1f1olast  32923  wrdpmtrlast  33052  cycpmconjslem1  33113  1arithidomlem1  33490  1arithidomlem2  33491  1arithidom  33492  subiwrd  34388  sseqp1  34398  ofcccat  34546  signstf  34569  signshwrd  34592  lpadlem1  34680  frlmfzowrd  42514  frlmvscadiccat  42518  grtriclwlk3  47955