Theorem iswrdi 14689

Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdi	⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdi

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7451	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (0..^𝑙) = (0..^𝐿))
2	1	feq2d 6715	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆))
3	2	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
4		0nn0 12648	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		fzo0n0 13878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
6		nnnn0 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7	5, 6	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
8	7	necon1bi 2987	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = ∅)
9		fzo0 13845	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = (0..^0))
11	10	feq2d 6715	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
12	11	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
13		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
14	13	feq2d 6715	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 0 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
15	14	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
16	4, 12, 15	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
17	3, 16	pm2.61ian 824	. 2 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
18		iswrd 14687	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
19	17, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  ∅c0 4281  ⟶wf 6554  (class class class)co 7443  0cc0 11227  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ..^cfzo 13815  Word cword 14685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-word 14686

This theorem is used by:  iswrdb  14692  snopiswrd  14695  iswrdsymb  14703  iswrddm0  14710  ffz0iswrd  14713  wrdnval  14717  wrdred1  14732  ccatcl  14746  swrdcl  14821  revcl  14938  repsw  14954  repsdf2  14957  cshf1  14989  wrdco  15010  wrdlen2i  15122  s3rex  15130  pmtrdifwrdellem1  19725  psgnunilem5  19738  ablfaclem2  20332  ablfac2  20335  elcgrabasi  29405  wrdupgr  29693  wrdumgr  29705  crctcshtrl  30442  wlkiswwlks2lem5  30492  wlkiswwlksupgr2  30496  clwlkclwwlklem2a  30619  upgriseupth  30838  wrdres  33572  wrdpmcl  33575  ccatws1f1o  33584  ccatws1f1olast  33585  wrdpmtrlast  33724  cycpmconjslem1  33785  1arithidomlem1  34137  1arithidomlem2  34138  1arithidom  34139  subiwrd  35087  sseqp1  35097  ofcccat  35245  signstf  35265  signshwrd  35288  lpadlem1  35379  frlmfzowrd  43762  frlmvscadiccat  43766  grtriclwlk3  49248  prelrrx2bd  50031