Theorem iswrdi 14544

Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdi	⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdi

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (0..^𝑙) = (0..^𝐿))
2	1	feq2d 6679	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆))
3	2	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
4		0nn0 12510	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		fzo0n0 13736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
6		nnnn0 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7	5, 6	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
8	7	necon1bi 2988	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = ∅)
9		fzo0 13703	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtr4di 2818	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = (0..^0))
11	10	feq2d 6679	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
12	11	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
13		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
14	13	feq2d 6679	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 0 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
15	14	rspcev 3584	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
16	4, 12, 15	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
17	3, 16	pm2.61ian 823	. 2 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
18		iswrd 14542	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
19	17, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  ∅c0 4288  ⟶wf 6521  (class class class)co 7400  0cc0 11088  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ..^cfzo 13673  Word cword 14540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-word 14541

This theorem is referenced by:  iswrdb  14547  snopiswrd  14550  iswrdsymb  14558  iswrddm0  14565  ffz0iswrd  14568  wrdnval  14572  wrdred1  14587  ccatcl  14601  swrdcl  14673  revcl  14788  repsw  14802  repsdf2  14805  cshf1  14837  wrdco  14858  wrdlen2i  14969  pmtrdifwrdellem1  19542  psgnunilem5  19555  ablfaclem2  20149  ablfac2  20152  wrdupgr  29344  wrdumgr  29356  crctcshtrl  30081  wlkiswwlks2lem5  30131  wlkiswwlksupgr2  30135  clwlkclwwlklem2a  30258  upgriseupth  30467  wrdres  33168  wrdpmcl  33171  ccatws1f1o  33184  ccatws1f1olast  33185  wrdpmtrlast  33326  cycpmconjslem1  33387  1arithidomlem1  33742  1arithidomlem2  33743  1arithidom  33744  subiwrd  34692  sseqp1  34702  ofcccat  34850  signstf  34870  signshwrd  34893  lpadlem1  34984  frlmfzowrd  43136  frlmvscadiccat  43140  grtriclwlk3  48565