Theorem iswrdi 14582

Description: A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdi	⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdi

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (0..^𝑙) = (0..^𝐿))
2	1	feq2d 6686	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆))
3	2	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
4		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		fzo0n0 13772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
6		nnnn0 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7	5, 6	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
8	7	necon1bi 2983	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = ∅)
9		fzo0 13739	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
10	8, 9	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (0..^𝐿) = (0..^0))
11	10	feq2d 6686	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
12	11	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
13		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
14	13	feq2d 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 0 → (𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
15	14	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
16	4, 12, 15	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
17	3, 16	pm2.61ian 824	. 2 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
18		iswrd 14580	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
19	17, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4279  ⟶wf 6529  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ..^cfzo 13709  Word cword 14578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-word 14579

This theorem is used by:  iswrdb  14585  snopiswrd  14588  iswrdsymb  14596  iswrddm0  14603  ffz0iswrd  14606  wrdnval  14610  wrdred1  14625  ccatcl  14639  swrdcl  14713  revcl  14830  repsw  14846  repsdf2  14849  cshf1  14881  wrdco  14902  wrdlen2i  15013  s3rex  15021  pmtrdifwrdellem1  19608  psgnunilem5  19621  ablfaclem2  20215  ablfac2  20218  elcgrabasi  29254  wrdupgr  29542  wrdumgr  29554  crctcshtrl  30291  wlkiswwlks2lem5  30341  wlkiswwlksupgr2  30345  clwlkclwwlklem2a  30468  upgriseupth  30687  wrdres  33381  wrdpmcl  33384  ccatws1f1o  33393  ccatws1f1olast  33394  wrdpmtrlast  33533  cycpmconjslem1  33594  1arithidomlem1  33945  1arithidomlem2  33946  1arithidom  33947  subiwrd  34896  sseqp1  34906  ofcccat  35054  signstf  35074  signshwrd  35097  lpadlem1  35188  frlmfzowrd  43390  frlmvscadiccat  43394  grtriclwlk3  48861