Theorem wrdf 14478

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14475	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6646	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3133	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 218	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  ℕ₀cn0 12435  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290  Word cword 14473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474

This theorem is referenced by:  wrdfd  14479  iswrdb  14480  wrddm  14481  wrdsymbcl  14487  wrdfn  14488  wrdffz  14495  0wrd0  14500  wrdsymb  14502  wrdnval  14505  wrdred1  14520  wrdred1hash  14521  ccatcl  14534  ccatalpha  14554  s1dm  14569  swrdcl  14606  swrdf  14611  swrdwrdsymb  14623  pfxres  14640  cats1un  14681  revcl  14721  revlen  14722  revrev  14727  repsdf2  14738  cshwf  14760  cshinj  14771  wrdco  14791  lenco  14792  revco  14794  ccatco  14795  lswco  14799  s2dm  14850  wwlktovf  14916  s7f1o  14926  ofccat  14929  chnf  18593  gsumwsubmcl  18803  gsumsgrpccat  18806  gsumwmhm  18811  frmdss2  18829  symgtrinv  19445  psgnunilem5  19467  psgnunilem2  19468  psgnunilem3  19469  efginvrel1  19701  efgsf  19702  efgsrel  19707  efgs1b  19709  efgredlemf  19714  efgredlemd  19717  efgredlemc  19718  efgredlem  19720  frgpup3lem  19750  pgpfaclem1  20056  ablfaclem2  20061  ablfaclem3  20062  ablfac2  20064  dchrptlem1  27252  dchrptlem2  27253  trgcgrg  28608  tgcgr4  28624  wrdupgr  29179  wrdumgr  29191  vdegp1ai  29630  vdegp1bi  29631  wlkres  29762  wlkp1  29773  wlkdlem1  29774  trlf1  29790  trlreslem  29791  upgrwlkdvdelem  29829  pthdlem1  29859  pthdlem2lem  29860  uspgrn2crct  29901  wlkiswwlks2lem3  29964  wlkiswwlksupgr2  29970  clwlkclwwlklem2a  30093  clwlkclwwlklem2  30095  1wlkdlem1  30232  wlk2v2e  30252  eucrctshift  30338  konigsbergssiedgw  30345  wrdres  33021  pfxf1  33028  s3f1  33033  ccatf1  33035  swrdrn3  33041  cycpmcl  33204  tocyc01  33206  cycpmco2rn  33213  cycpmrn  33231  tocyccntz  33232  cycpmconjslem2  33243  unitprodclb  33479  sseqf  34583  fiblem  34589  ofcccat  34734  signstcl  34756  signstf  34757  signstfvn  34760  signsvtn0  34761  signstres  34766  signsvtp  34774  signsvtn  34775  signsvfpn  34776  signsvfnn  34777  signshf  34779  revwlk  35360  mvrsfpw  35741  frlmfzowrdb  43001  amgm2d  44649  amgm3d  44650  amgm4d  44651  chnsubseqword  47330  chnsubseqwl  47331  chnsubseq  47332  lswn0  47926  upgrimwlklem1  48395  upgrimwlklem2  48396  upgrimwlklem3  48397  upgrimtrlslem1  48402  upgrimtrlslem2  48403  gpgprismgr4cycllem9  48601  amgmw2d  50301