Theorem wrdf 14425

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14422	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6635	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3125	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421

This theorem is referenced by:  wrdfd  14426  iswrdb  14427  wrddm  14428  wrdsymbcl  14434  wrdfn  14435  wrdffz  14442  0wrd0  14447  wrdsymb  14449  wrdnval  14452  wrdred1  14467  wrdred1hash  14468  ccatcl  14481  ccatalpha  14501  s1dm  14516  swrdcl  14553  swrdf  14558  swrdwrdsymb  14570  pfxres  14587  cats1un  14628  revcl  14668  revlen  14669  revrev  14674  repsdf2  14685  cshwf  14707  cshinj  14718  wrdco  14738  lenco  14739  revco  14741  ccatco  14742  lswco  14746  s2dm  14797  wwlktovf  14863  s7f1o  14873  ofccat  14876  chnf  18535  gsumwsubmcl  18745  gsumsgrpccat  18748  gsumwmhm  18753  frmdss2  18771  symgtrinv  19385  psgnunilem5  19407  psgnunilem2  19408  psgnunilem3  19409  efginvrel1  19641  efgsf  19642  efgsrel  19647  efgs1b  19649  efgredlemf  19654  efgredlemd  19657  efgredlemc  19658  efgredlem  19660  frgpup3lem  19690  pgpfaclem1  19996  ablfaclem2  20001  ablfaclem3  20002  ablfac2  20004  dchrptlem1  27203  dchrptlem2  27204  trgcgrg  28494  tgcgr4  28510  wrdupgr  29064  wrdumgr  29076  vdegp1ai  29516  vdegp1bi  29517  wlkres  29648  wlkp1  29659  wlkdlem1  29660  trlf1  29676  trlreslem  29677  upgrwlkdvdelem  29715  pthdlem1  29745  pthdlem2lem  29746  uspgrn2crct  29787  wlkiswwlks2lem3  29850  wlkiswwlksupgr2  29856  clwlkclwwlklem2a  29976  clwlkclwwlklem2  29978  1wlkdlem1  30115  wlk2v2e  30135  eucrctshift  30221  konigsbergssiedgw  30228  wrdres  32914  pfxf1  32921  s3f1  32926  ccatf1  32928  swrdrn3  32934  cycpmcl  33083  tocyc01  33085  cycpmco2rn  33092  cycpmrn  33110  tocyccntz  33111  cycpmconjslem2  33122  unitprodclb  33352  sseqf  34403  fiblem  34409  ofcccat  34554  signstcl  34576  signstf  34577  signstfvn  34580  signsvtn0  34581  signstres  34586  signsvtp  34594  signsvtn  34595  signsvfpn  34596  signsvfnn  34597  signshf  34599  revwlk  35167  mvrsfpw  35548  frlmfzowrdb  42543  amgm2d  44237  amgm3d  44238  amgm4d  44239  lswn0  47481  upgrimwlklem1  47934  upgrimwlklem2  47935  upgrimwlklem3  47936  upgrimtrlslem1  47941  upgrimtrlslem2  47942  gpgprismgr4cycllem9  48140  amgmw2d  49842