Theorem wrdf 14480

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14477	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6652	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3130	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476

This theorem is referenced by:  wrdfd  14481  iswrdb  14482  wrddm  14483  wrdsymbcl  14489  wrdfn  14490  wrdffz  14497  0wrd0  14502  wrdsymb  14504  wrdnval  14507  wrdred1  14522  wrdred1hash  14523  ccatcl  14536  ccatalpha  14556  s1dm  14571  swrdcl  14608  swrdf  14613  swrdwrdsymb  14625  pfxres  14642  cats1un  14683  revcl  14723  revlen  14724  revrev  14729  repsdf2  14740  cshwf  14762  cshinj  14773  wrdco  14793  lenco  14794  revco  14796  ccatco  14797  lswco  14801  s2dm  14852  wwlktovf  14918  s7f1o  14928  ofccat  14931  chnf  18595  gsumwsubmcl  18805  gsumsgrpccat  18808  gsumwmhm  18813  frmdss2  18831  symgtrinv  19447  psgnunilem5  19469  psgnunilem2  19470  psgnunilem3  19471  efginvrel1  19703  efgsf  19704  efgsrel  19709  efgs1b  19711  efgredlemf  19716  efgredlemd  19719  efgredlemc  19720  efgredlem  19722  frgpup3lem  19752  pgpfaclem1  20058  ablfaclem2  20063  ablfaclem3  20064  ablfac2  20066  dchrptlem1  27227  dchrptlem2  27228  trgcgrg  28583  tgcgr4  28599  wrdupgr  29154  wrdumgr  29166  vdegp1ai  29605  vdegp1bi  29606  wlkres  29737  wlkp1  29748  wlkdlem1  29749  trlf1  29765  trlreslem  29766  upgrwlkdvdelem  29804  pthdlem1  29834  pthdlem2lem  29835  uspgrn2crct  29876  wlkiswwlks2lem3  29939  wlkiswwlksupgr2  29945  clwlkclwwlklem2a  30068  clwlkclwwlklem2  30070  1wlkdlem1  30207  wlk2v2e  30227  eucrctshift  30313  konigsbergssiedgw  30320  wrdres  32995  pfxf1  33002  s3f1  33007  ccatf1  33009  swrdrn3  33015  cycpmcl  33177  tocyc01  33179  cycpmco2rn  33186  cycpmrn  33204  tocyccntz  33205  cycpmconjslem2  33216  unitprodclb  33449  sseqf  34536  fiblem  34542  ofcccat  34687  signstcl  34709  signstf  34710  signstfvn  34713  signsvtn0  34714  signstres  34719  signsvtp  34727  signsvtn  34728  signsvfpn  34729  signsvfnn  34730  signshf  34732  revwlk  35307  mvrsfpw  35688  frlmfzowrdb  42949  amgm2d  44625  amgm3d  44626  amgm4d  44627  chnsubseqword  47308  chnsubseqwl  47309  chnsubseq  47310  lswn0  47904  upgrimwlklem1  48373  upgrimwlklem2  48374  upgrimwlklem3  48375  upgrimtrlslem1  48380  upgrimtrlslem2  48381  gpgprismgr4cycllem9  48579  amgmw2d  50279