Theorem wrdf 14557

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14554	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6722	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3147	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ℕ₀cn0 12526  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553

This theorem is referenced by:  iswrdb  14558  wrddm  14559  wrdsymbcl  14565  wrdfn  14566  wrdffz  14573  0wrd0  14578  wrdsymb  14580  wrdnval  14583  wrdred1  14598  wrdred1hash  14599  ccatcl  14612  ccatalpha  14631  s1dm  14646  swrdcl  14683  swrdf  14688  swrdwrdsymb  14700  pfxres  14717  cats1un  14759  revcl  14799  revlen  14800  revrev  14805  repsdf2  14816  cshwf  14838  cshinj  14849  wrdco  14870  lenco  14871  revco  14873  ccatco  14874  lswco  14878  s2dm  14929  wwlktovf  14995  s7f1o  15005  ofccat  15008  gsumwsubmcl  18850  gsumsgrpccat  18853  gsumwmhm  18858  frmdss2  18876  symgtrinv  19490  psgnunilem5  19512  psgnunilem2  19513  psgnunilem3  19514  efginvrel1  19746  efgsf  19747  efgsrel  19752  efgs1b  19754  efgredlemf  19759  efgredlemd  19762  efgredlemc  19763  efgredlem  19765  frgpup3lem  19795  pgpfaclem1  20101  ablfaclem2  20106  ablfaclem3  20107  ablfac2  20109  dchrptlem1  27308  dchrptlem2  27309  trgcgrg  28523  tgcgr4  28539  wrdupgr  29102  wrdumgr  29114  vdegp1ai  29554  vdegp1bi  29555  wlkres  29688  wlkp1  29699  wlkdlem1  29700  trlf1  29716  trlreslem  29717  upgrwlkdvdelem  29756  pthdlem1  29786  pthdlem2lem  29787  uspgrn2crct  29828  wlkiswwlks2lem3  29891  wlkiswwlksupgr2  29897  clwlkclwwlklem2a  30017  clwlkclwwlklem2  30019  1wlkdlem1  30156  wlk2v2e  30176  eucrctshift  30262  konigsbergssiedgw  30269  wrdfd  32918  wrdres  32919  pfxf1  32926  s3f1  32931  ccatf1  32933  swrdrn3  32940  cycpmcl  33136  tocyc01  33138  cycpmco2rn  33145  cycpmrn  33163  tocyccntz  33164  cycpmconjslem2  33175  unitprodclb  33417  sseqf  34394  fiblem  34400  ofcccat  34558  signstcl  34580  signstf  34581  signstfvn  34584  signsvtn0  34585  signstres  34590  signsvtp  34598  signsvtn  34599  signsvfpn  34600  signsvfnn  34601  signshf  34603  revwlk  35130  mvrsfpw  35511  frlmfzowrdb  42514  amgm2d  44211  amgm3d  44212  amgm4d  44213  lswn0  47431  amgmw2d  49323