Theorem wrdf 14443

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14440	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6640	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3122	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ℕ₀cn0 12402  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439

This theorem is referenced by:  wrdfd  14444  iswrdb  14445  wrddm  14446  wrdsymbcl  14452  wrdfn  14453  wrdffz  14460  0wrd0  14465  wrdsymb  14467  wrdnval  14470  wrdred1  14485  wrdred1hash  14486  ccatcl  14499  ccatalpha  14518  s1dm  14533  swrdcl  14570  swrdf  14575  swrdwrdsymb  14587  pfxres  14604  cats1un  14645  revcl  14685  revlen  14686  revrev  14691  repsdf2  14702  cshwf  14724  cshinj  14735  wrdco  14756  lenco  14757  revco  14759  ccatco  14760  lswco  14764  s2dm  14815  wwlktovf  14881  s7f1o  14891  ofccat  14894  gsumwsubmcl  18729  gsumsgrpccat  18732  gsumwmhm  18737  frmdss2  18755  symgtrinv  19369  psgnunilem5  19391  psgnunilem2  19392  psgnunilem3  19393  efginvrel1  19625  efgsf  19626  efgsrel  19631  efgs1b  19633  efgredlemf  19638  efgredlemd  19641  efgredlemc  19642  efgredlem  19644  frgpup3lem  19674  pgpfaclem1  19980  ablfaclem2  19985  ablfaclem3  19986  ablfac2  19988  dchrptlem1  27191  dchrptlem2  27192  trgcgrg  28478  tgcgr4  28494  wrdupgr  29048  wrdumgr  29060  vdegp1ai  29500  vdegp1bi  29501  wlkres  29632  wlkp1  29643  wlkdlem1  29644  trlf1  29660  trlreslem  29661  upgrwlkdvdelem  29699  pthdlem1  29729  pthdlem2lem  29730  uspgrn2crct  29771  wlkiswwlks2lem3  29834  wlkiswwlksupgr2  29840  clwlkclwwlklem2a  29960  clwlkclwwlklem2  29962  1wlkdlem1  30099  wlk2v2e  30119  eucrctshift  30205  konigsbergssiedgw  30212  wrdres  32889  pfxf1  32896  s3f1  32901  ccatf1  32903  swrdrn3  32910  cycpmcl  33071  tocyc01  33073  cycpmco2rn  33080  cycpmrn  33098  tocyccntz  33099  cycpmconjslem2  33110  unitprodclb  33339  sseqf  34362  fiblem  34368  ofcccat  34513  signstcl  34535  signstf  34536  signstfvn  34539  signsvtn0  34540  signstres  34545  signsvtp  34553  signsvtn  34554  signsvfpn  34555  signsvfnn  34556  signshf  34558  revwlk  35100  mvrsfpw  35481  frlmfzowrdb  42480  amgm2d  44174  amgm3d  44175  amgm4d  44176  lswn0  47432  upgrimwlklem1  47885  upgrimwlklem2  47886  upgrimwlklem3  47887  upgrimtrlslem1  47892  upgrimtrlslem2  47893  gpgprismgr4cycllem9  48091  amgmw2d  49793