MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdf 14231
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 14228 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3 fnfzo0hash 14171 . . . . . 6 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
43oveq2d 7300 . . . . 5 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
54feq2d 6595 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
62, 5mpbird 256 . . 3 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
76rexlimiva 3211 . 2 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
81, 7sylbi 216 1 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  wrex 3066  wf 6433  cfv 6437  (class class class)co 7284  0cc0 10880  0cn0 12242  ..^cfzo 13391  chash 14053  Word cword 14226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-hash 14054  df-word 14227
This theorem is referenced by:  iswrdb  14232  wrddm  14233  wrdsymbcl  14239  wrdfn  14240  wrdffz  14247  0wrd0  14252  wrdsymb  14254  wrdnval  14257  wrdred1  14272  wrdred1hash  14273  ccatcl  14286  ccatalpha  14307  s1dm  14322  swrdcl  14367  swrdf  14372  swrdwrdsymb  14384  pfxres  14401  cats1un  14443  revcl  14483  revlen  14484  revrev  14489  repsdf2  14500  cshwf  14522  cshinj  14533  wrdco  14553  lenco  14554  revco  14556  ccatco  14557  lswco  14561  s2dm  14612  wwlktovf  14680  ofccat  14689  gsumwsubmcl  18484  gsumsgrpccat  18487  gsumccatOLD  18488  gsumwmhm  18493  frmdss2  18511  symgtrinv  19089  psgnunilem5  19111  psgnunilem2  19112  psgnunilem3  19113  efginvrel1  19343  efgsf  19344  efgsrel  19349  efgs1b  19351  efgredlemf  19356  efgredlemd  19359  efgredlemc  19360  efgredlem  19362  frgpup3lem  19392  pgpfaclem1  19693  ablfaclem2  19698  ablfaclem3  19699  ablfac2  19701  dchrptlem1  26421  dchrptlem2  26422  trgcgrg  26885  tgcgr4  26901  wrdupgr  27464  wrdumgr  27476  vdegp1ai  27912  vdegp1bi  27913  wlkres  28047  wlkp1  28058  wlkdlem1  28059  trlf1  28075  trlreslem  28076  upgrwlkdvdelem  28113  pthdlem1  28143  pthdlem2lem  28144  uspgrn2crct  28182  wlkiswwlks2lem3  28245  wlkiswwlksupgr2  28251  clwlkclwwlklem2a  28371  clwlkclwwlklem2  28373  1wlkdlem1  28510  wlk2v2e  28530  eucrctshift  28616  konigsbergssiedgw  28623  wrdfd  31219  wrdres  31220  pfxf1  31225  s3f1  31230  ccatf1  31232  swrdrn3  31236  cycpmcl  31392  tocyc01  31394  cycpmco2rn  31401  cycpmrn  31419  tocyccntz  31420  cycpmconjslem2  31431  sseqf  32368  fiblem  32374  ofcccat  32531  signstcl  32553  signstf  32554  signstfvn  32557  signsvtn0  32558  signstres  32563  signsvtp  32571  signsvtn  32572  signsvfpn  32573  signsvfnn  32574  signshf  32576  revwlk  33095  mvrsfpw  33477  frlmfzowrdb  40242  amgm2d  41816  amgm3d  41817  amgm4d  41818  lswn0  44907  amgmw2d  46519
  Copyright terms: Public domain W3C validator