Theorem wrdf 14453

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14450	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6654	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3131	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12413  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449

This theorem is referenced by:  wrdfd  14454  iswrdb  14455  wrddm  14456  wrdsymbcl  14462  wrdfn  14463  wrdffz  14470  0wrd0  14475  wrdsymb  14477  wrdnval  14480  wrdred1  14495  wrdred1hash  14496  ccatcl  14509  ccatalpha  14529  s1dm  14544  swrdcl  14581  swrdf  14586  swrdwrdsymb  14598  pfxres  14615  cats1un  14656  revcl  14696  revlen  14697  revrev  14702  repsdf2  14713  cshwf  14735  cshinj  14746  wrdco  14766  lenco  14767  revco  14769  ccatco  14770  lswco  14774  s2dm  14825  wwlktovf  14891  s7f1o  14901  ofccat  14904  chnf  18564  gsumwsubmcl  18774  gsumsgrpccat  18777  gsumwmhm  18782  frmdss2  18800  symgtrinv  19413  psgnunilem5  19435  psgnunilem2  19436  psgnunilem3  19437  efginvrel1  19669  efgsf  19670  efgsrel  19675  efgs1b  19677  efgredlemf  19682  efgredlemd  19685  efgredlemc  19686  efgredlem  19688  frgpup3lem  19718  pgpfaclem1  20024  ablfaclem2  20029  ablfaclem3  20030  ablfac2  20032  dchrptlem1  27243  dchrptlem2  27244  trgcgrg  28599  tgcgr4  28615  wrdupgr  29170  wrdumgr  29182  vdegp1ai  29622  vdegp1bi  29623  wlkres  29754  wlkp1  29765  wlkdlem1  29766  trlf1  29782  trlreslem  29783  upgrwlkdvdelem  29821  pthdlem1  29851  pthdlem2lem  29852  uspgrn2crct  29893  wlkiswwlks2lem3  29956  wlkiswwlksupgr2  29962  clwlkclwwlklem2a  30085  clwlkclwwlklem2  30087  1wlkdlem1  30224  wlk2v2e  30244  eucrctshift  30330  konigsbergssiedgw  30337  wrdres  33027  pfxf1  33034  s3f1  33039  ccatf1  33041  swrdrn3  33047  cycpmcl  33209  tocyc01  33211  cycpmco2rn  33218  cycpmrn  33236  tocyccntz  33237  cycpmconjslem2  33248  unitprodclb  33481  sseqf  34569  fiblem  34575  ofcccat  34720  signstcl  34742  signstf  34743  signstfvn  34746  signsvtn0  34747  signstres  34752  signsvtp  34760  signsvtn  34761  signsvfpn  34762  signsvfnn  34763  signshf  34765  revwlk  35338  mvrsfpw  35719  frlmfzowrdb  42871  amgm2d  44551  amgm3d  44552  amgm4d  44553  chnsubseqword  47233  chnsubseqwl  47234  chnsubseq  47235  lswn0  47801  upgrimwlklem1  48254  upgrimwlklem2  48255  upgrimwlklem3  48256  upgrimtrlslem1  48261  upgrimtrlslem2  48262  gpgprismgr4cycllem9  48460  amgmw2d  50160