Theorem wrdf 14469

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14466	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6704	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3148	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 216	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ℕ₀cn0 12472  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Word cword 14464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465

This theorem is referenced by:  iswrdb  14470  wrddm  14471  wrdsymbcl  14477  wrdfn  14478  wrdffz  14485  0wrd0  14490  wrdsymb  14492  wrdnval  14495  wrdred1  14510  wrdred1hash  14511  ccatcl  14524  ccatalpha  14543  s1dm  14558  swrdcl  14595  swrdf  14600  swrdwrdsymb  14612  pfxres  14629  cats1un  14671  revcl  14711  revlen  14712  revrev  14717  repsdf2  14728  cshwf  14750  cshinj  14761  wrdco  14782  lenco  14783  revco  14785  ccatco  14786  lswco  14790  s2dm  14841  wwlktovf  14907  ofccat  14916  gsumwsubmcl  18718  gsumsgrpccat  18721  gsumwmhm  18726  frmdss2  18744  symgtrinv  19340  psgnunilem5  19362  psgnunilem2  19363  psgnunilem3  19364  efginvrel1  19596  efgsf  19597  efgsrel  19602  efgs1b  19604  efgredlemf  19609  efgredlemd  19612  efgredlemc  19613  efgredlem  19615  frgpup3lem  19645  pgpfaclem1  19951  ablfaclem2  19956  ablfaclem3  19957  ablfac2  19959  dchrptlem1  26767  dchrptlem2  26768  trgcgrg  27766  tgcgr4  27782  wrdupgr  28345  wrdumgr  28357  vdegp1ai  28793  vdegp1bi  28794  wlkres  28927  wlkp1  28938  wlkdlem1  28939  trlf1  28955  trlreslem  28956  upgrwlkdvdelem  28993  pthdlem1  29023  pthdlem2lem  29024  uspgrn2crct  29062  wlkiswwlks2lem3  29125  wlkiswwlksupgr2  29131  clwlkclwwlklem2a  29251  clwlkclwwlklem2  29253  1wlkdlem1  29390  wlk2v2e  29410  eucrctshift  29496  konigsbergssiedgw  29503  wrdfd  32102  wrdres  32103  pfxf1  32108  s3f1  32113  ccatf1  32115  swrdrn3  32119  cycpmcl  32275  tocyc01  32277  cycpmco2rn  32284  cycpmrn  32302  tocyccntz  32303  cycpmconjslem2  32314  sseqf  33391  fiblem  33397  ofcccat  33554  signstcl  33576  signstf  33577  signstfvn  33580  signsvtn0  33581  signstres  33586  signsvtp  33594  signsvtn  33595  signsvfpn  33596  signsvfnn  33597  signshf  33599  revwlk  34115  mvrsfpw  34497  frlmfzowrdb  41078  amgm2d  42950  amgm3d  42951  amgm4d  42952  lswn0  46112  amgmw2d  47851