Theorem wrdf 14536

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14533	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14468	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6692	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3133	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532

This theorem is referenced by:  wrdfd  14537  iswrdb  14538  wrddm  14539  wrdsymbcl  14545  wrdfn  14546  wrdffz  14553  0wrd0  14558  wrdsymb  14560  wrdnval  14563  wrdred1  14578  wrdred1hash  14579  ccatcl  14592  ccatalpha  14611  s1dm  14626  swrdcl  14663  swrdf  14668  swrdwrdsymb  14680  pfxres  14697  cats1un  14739  revcl  14779  revlen  14780  revrev  14785  repsdf2  14796  cshwf  14818  cshinj  14829  wrdco  14850  lenco  14851  revco  14853  ccatco  14854  lswco  14858  s2dm  14909  wwlktovf  14975  s7f1o  14985  ofccat  14988  gsumwsubmcl  18815  gsumsgrpccat  18818  gsumwmhm  18823  frmdss2  18841  symgtrinv  19453  psgnunilem5  19475  psgnunilem2  19476  psgnunilem3  19477  efginvrel1  19709  efgsf  19710  efgsrel  19715  efgs1b  19717  efgredlemf  19722  efgredlemd  19725  efgredlemc  19726  efgredlem  19728  frgpup3lem  19758  pgpfaclem1  20064  ablfaclem2  20069  ablfaclem3  20070  ablfac2  20072  dchrptlem1  27227  dchrptlem2  27228  trgcgrg  28494  tgcgr4  28510  wrdupgr  29064  wrdumgr  29076  vdegp1ai  29516  vdegp1bi  29517  wlkres  29650  wlkp1  29661  wlkdlem1  29662  trlf1  29678  trlreslem  29679  upgrwlkdvdelem  29718  pthdlem1  29748  pthdlem2lem  29749  uspgrn2crct  29790  wlkiswwlks2lem3  29853  wlkiswwlksupgr2  29859  clwlkclwwlklem2a  29979  clwlkclwwlklem2  29981  1wlkdlem1  30118  wlk2v2e  30138  eucrctshift  30224  konigsbergssiedgw  30231  wrdres  32910  pfxf1  32917  s3f1  32922  ccatf1  32924  swrdrn3  32931  cycpmcl  33127  tocyc01  33129  cycpmco2rn  33136  cycpmrn  33154  tocyccntz  33155  cycpmconjslem2  33166  unitprodclb  33404  sseqf  34424  fiblem  34430  ofcccat  34575  signstcl  34597  signstf  34598  signstfvn  34601  signsvtn0  34602  signstres  34607  signsvtp  34615  signsvtn  34616  signsvfpn  34617  signsvfnn  34618  signshf  34620  revwlk  35147  mvrsfpw  35528  frlmfzowrdb  42527  amgm2d  44222  amgm3d  44223  amgm4d  44224  lswn0  47458  upgrimwlklem1  47910  upgrimwlklem2  47911  upgrimwlklem3  47912  upgrimtrlslem1  47917  upgrimtrlslem2  47918  gpgprismgr4cycllem9  48102  amgmw2d  49668