Theorem wrdf 13580

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 13577	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 13524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6265	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3238	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 209	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3119  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  ℕ₀cn0 11619  ..^cfzo 12761  ♯chash 13411  Word cword 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576

This theorem is referenced by:  iswrdb  13581  wrddm  13582  wrdsymbcl  13588  wrdfn  13589  wrdv  13590  wrdffz  13596  0wrd0  13601  wrdsymb  13603  wrdnval  13606  wrdred1  13621  wrdred1hash  13622  ccatcl  13635  ccatass  13649  ccatrn  13650  ccatalpha  13654  s1dm  13669  swrdcl  13706  swrd0valOLD  13708  swrdf  13713  swrdnd2  13721  swrdwrdsymb  13737  ccatswrd  13747  swrdccat1OLD  13748  swrdccat2  13749  pfxres  13759  ccatpfx  13781  cats1un  13812  revcl  13878  revlen  13879  revccat  13883  revrev  13884  repsdf2  13895  cshwf  13922  cshinj  13933  wrdco  13953  lenco  13954  revco  13956  ccatco  13957  lswco  13961  s2dm  14012  wwlktovf  14079  ofccat  14088  gsumwsubmcl  17729  gsumccat  17732  gsumwmhm  17737  frmdss2  17755  symgtrinv  18243  psgnunilem5  18265  psgnunilem5OLD  18266  psgnunilem2  18267  psgnunilem3  18268  efginvrel1  18493  efgsf  18494  efgsrel  18499  efgs1b  18501  efgredlemf  18507  efgredlemd  18510  efgredlemc  18511  efgredlem  18513  efgredlemOLD  18514  frgpup3lem  18544  pgpfaclem1  18835  ablfaclem2  18840  ablfaclem3  18841  ablfac2  18843  dchrptlem1  25403  dchrptlem2  25404  trgcgrg  25828  tgcgr4  25844  wrdupgr  26384  wrdumgr  26396  vdegp1ai  26835  vdegp1bi  26836  wlkres  26970  wlkreslemOLD  26971  wlkresOLD  26972  wlkp1  26983  wlkdlem1  26984  trlf1  27000  trlreslem  27001  trlreslemOLD  27003  upgrwlkdvdelem  27039  pthdlem1  27069  pthdlem2lem  27070  uspgrn2crct  27108  wlkiswwlks2lem3  27171  wlkiswwlksupgr2  27177  clwlkclwwlklem2a  27328  clwlkclwwlklem2  27330  1wlkdlem1  27514  wlk2v2e  27534  eucrctshift  27621  konigsbergssiedgw  27630  sseqf  31001  fiblem  31007  wrdfd  31163  wrdres  31164  ofcccat  31168  signstcl  31190  signstf  31191  signstfvn  31194  signsvtn0  31195  signsvtn0OLD  31196  signstres  31201  signsvtp  31210  signsvtn  31211  signsvfpn  31212  signsvfnn  31213  signshf  31215  mvrsfpw  31950  amgm2d  39342  amgm3d  39343  amgm4d  39344  lswn0  42269  amgmw2d  43447