Theorem wrdf 14693

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14690	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6718	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3159	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  ℕ₀cn0 12636  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689

This theorem is used by:  wrdfd  14694  iswrdb  14695  wrddm  14696  wrdsymbcl  14702  wrdfn  14703  wrdffz  14710  0wrd0  14715  wrdsymb  14717  wrdnval  14720  wrdred1  14735  wrdred1hash  14736  ccatcl  14749  ccatf1  14766  ccatalpha  14770  s1dm  14785  swrdcl  14824  swrdf  14829  swrdrn3  14833  swrdwrdsymb  14843  pfxres  14860  cats1un  14901  revcl  14941  revlen  14942  revrev  14947  repsdf2  14960  cshwf  14982  cshinj  14993  wrdco  15013  lenco  15014  revco  15016  ccatco  15017  lswco  15021  s2dm  15072  wwlktovf  15141  s7f1o  15151  ofccat  15154  chnf  18835  gsumwsubmcl  19065  gsumsgrpccat  19068  gsumwmhm  19073  frmdss2  19091  symgtrinv  19719  psgnunilem5  19741  psgnunilem2  19742  psgnunilem3  19743  efginvrel1  19975  efgsf  19976  efgsrel  19981  efgs1b  19983  efgredlemf  19988  efgredlemd  19991  efgredlemc  19992  efgredlem  19994  frgpup3lem  20024  pgpfaclem1  20330  ablfaclem2  20335  ablfaclem3  20336  ablfac2  20338  dchrptlem1  27624  dchrptlem2  27625  trgcgrg  29011  tgcgr4  29027  wrdupgr  29696  wrdumgr  29708  vdegp1ai  30150  vdegp1bi  30151  wlkres  30282  wlkp1  30293  wlkdlem1  30294  revwlk  30300  trlf1  30314  trlreslem  30315  upgrwlkdvdelem  30355  pthdlem1  30385  pthdlem2lem  30386  uspgrn2crct  30430  wlkiswwlks2lem3  30493  wlkiswwlksupgr2  30499  clwlkclwwlklem2a  30622  clwlkclwwlklem2  30624  1wlkdlem1  30761  wlk2v2e  30791  eucrctshift  30877  konigsbergssiedgw  30884  wrdres  33575  pfxf1  33582  s3f1  33584  cycpmcl  33753  tocyc01  33755  cycpmco2rn  33762  cycpmrn  33780  tocyccntz  33781  cycpmconjslem2  33792  unitprodclb  34028  sseqf  35107  fiblem  35113  ofcccat  35258  signstcl  35277  signstf  35278  signstfvn  35281  signsvtn0  35282  signstres  35287  signsvtp  35295  signsvtn  35296  signsvfpn  35297  signsvfnn  35298  signshf  35300  mvrsfpw  36451  frlmfzowrdb  43775  amgm2d  45401  amgm3d  45402  amgm4d  45403  chnsubseqword  48103  chnsubseqwl  48104  chnsubseq  48105  wrddin  48111  lswn0  48741  upgrimwlklem1  49210  upgrimwlklem2  49211  upgrimwlklem3  49212  upgrimtrlslem1  49217  upgrimtrlslem2  49218  gpgprismgr4cycllem9  49416  wrdf1d  51252  amgmw2d  51301