Theorem wrdf 14553

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14550	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6722	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3144	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  ℕ₀cn0 12523  ..^cfzo 13690  ♯chash 14365  Word cword 14548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549

This theorem is referenced by:  iswrdb  14554  wrddm  14555  wrdsymbcl  14561  wrdfn  14562  wrdffz  14569  0wrd0  14574  wrdsymb  14576  wrdnval  14579  wrdred1  14594  wrdred1hash  14595  ccatcl  14608  ccatalpha  14627  s1dm  14642  swrdcl  14679  swrdf  14684  swrdwrdsymb  14696  pfxres  14713  cats1un  14755  revcl  14795  revlen  14796  revrev  14801  repsdf2  14812  cshwf  14834  cshinj  14845  wrdco  14866  lenco  14867  revco  14869  ccatco  14870  lswco  14874  s2dm  14925  wwlktovf  14991  s7f1o  15001  ofccat  15004  gsumwsubmcl  18862  gsumsgrpccat  18865  gsumwmhm  18870  frmdss2  18888  symgtrinv  19504  psgnunilem5  19526  psgnunilem2  19527  psgnunilem3  19528  efginvrel1  19760  efgsf  19761  efgsrel  19766  efgs1b  19768  efgredlemf  19773  efgredlemd  19776  efgredlemc  19777  efgredlem  19779  frgpup3lem  19809  pgpfaclem1  20115  ablfaclem2  20120  ablfaclem3  20121  ablfac2  20123  dchrptlem1  27322  dchrptlem2  27323  trgcgrg  28537  tgcgr4  28553  wrdupgr  29116  wrdumgr  29128  vdegp1ai  29568  vdegp1bi  29569  wlkres  29702  wlkp1  29713  wlkdlem1  29714  trlf1  29730  trlreslem  29731  upgrwlkdvdelem  29768  pthdlem1  29798  pthdlem2lem  29799  uspgrn2crct  29837  wlkiswwlks2lem3  29900  wlkiswwlksupgr2  29906  clwlkclwwlklem2a  30026  clwlkclwwlklem2  30028  1wlkdlem1  30165  wlk2v2e  30185  eucrctshift  30271  konigsbergssiedgw  30278  wrdfd  32902  wrdres  32903  pfxf1  32910  s3f1  32915  ccatf1  32917  swrdrn3  32924  cycpmcl  33118  tocyc01  33120  cycpmco2rn  33127  cycpmrn  33145  tocyccntz  33146  cycpmconjslem2  33157  unitprodclb  33396  sseqf  34373  fiblem  34379  ofcccat  34536  signstcl  34558  signstf  34559  signstfvn  34562  signsvtn0  34563  signstres  34568  signsvtp  34576  signsvtn  34577  signsvfpn  34578  signsvfnn  34579  signshf  34581  revwlk  35108  mvrsfpw  35490  frlmfzowrdb  42490  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  lswn0  47368  amgmw2d  49034