Theorem wrdf 14483

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14480	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6672	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3126	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12442  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479

This theorem is referenced by:  wrdfd  14484  iswrdb  14485  wrddm  14486  wrdsymbcl  14492  wrdfn  14493  wrdffz  14500  0wrd0  14505  wrdsymb  14507  wrdnval  14510  wrdred1  14525  wrdred1hash  14526  ccatcl  14539  ccatalpha  14558  s1dm  14573  swrdcl  14610  swrdf  14615  swrdwrdsymb  14627  pfxres  14644  cats1un  14686  revcl  14726  revlen  14727  revrev  14732  repsdf2  14743  cshwf  14765  cshinj  14776  wrdco  14797  lenco  14798  revco  14800  ccatco  14801  lswco  14805  s2dm  14856  wwlktovf  14922  s7f1o  14932  ofccat  14935  gsumwsubmcl  18764  gsumsgrpccat  18767  gsumwmhm  18772  frmdss2  18790  symgtrinv  19402  psgnunilem5  19424  psgnunilem2  19425  psgnunilem3  19426  efginvrel1  19658  efgsf  19659  efgsrel  19664  efgs1b  19666  efgredlemf  19671  efgredlemd  19674  efgredlemc  19675  efgredlem  19677  frgpup3lem  19707  pgpfaclem1  20013  ablfaclem2  20018  ablfaclem3  20019  ablfac2  20021  dchrptlem1  27175  dchrptlem2  27176  trgcgrg  28442  tgcgr4  28458  wrdupgr  29012  wrdumgr  29024  vdegp1ai  29464  vdegp1bi  29465  wlkres  29598  wlkp1  29609  wlkdlem1  29610  trlf1  29626  trlreslem  29627  upgrwlkdvdelem  29666  pthdlem1  29696  pthdlem2lem  29697  uspgrn2crct  29738  wlkiswwlks2lem3  29801  wlkiswwlksupgr2  29807  clwlkclwwlklem2a  29927  clwlkclwwlklem2  29929  1wlkdlem1  30066  wlk2v2e  30086  eucrctshift  30172  konigsbergssiedgw  30179  wrdres  32856  pfxf1  32863  s3f1  32868  ccatf1  32870  swrdrn3  32877  cycpmcl  33073  tocyc01  33075  cycpmco2rn  33082  cycpmrn  33100  tocyccntz  33101  cycpmconjslem2  33112  unitprodclb  33360  sseqf  34383  fiblem  34389  ofcccat  34534  signstcl  34556  signstf  34557  signstfvn  34560  signsvtn0  34561  signstres  34566  signsvtp  34574  signsvtn  34575  signsvfpn  34576  signsvfnn  34577  signshf  34579  revwlk  35112  mvrsfpw  35493  frlmfzowrdb  42492  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  lswn0  47445  upgrimwlklem1  47897  upgrimwlklem2  47898  upgrimwlklem3  47899  upgrimtrlslem1  47904  upgrimtrlslem2  47905  gpgprismgr4cycllem9  48093  amgmw2d  49793