Theorem wrdf 14557

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14554	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6691	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3158	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  ℕ₀cn0 12505  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553

This theorem is referenced by:  wrdfd  14558  iswrdb  14559  wrddm  14560  wrdsymbcl  14566  wrdfn  14567  wrdffz  14574  0wrd0  14579  wrdsymb  14581  wrdnval  14584  wrdred1  14599  wrdred1hash  14600  ccatcl  14613  ccatalpha  14633  s1dm  14648  swrdcl  14685  swrdf  14690  swrdwrdsymb  14702  pfxres  14719  cats1un  14760  revcl  14800  revlen  14801  revrev  14806  repsdf2  14817  cshwf  14839  cshinj  14850  wrdco  14870  lenco  14871  revco  14873  ccatco  14874  lswco  14878  s2dm  14929  wwlktovf  14995  s7f1o  15005  ofccat  15008  chnf  18686  gsumwsubmcl  18897  gsumsgrpccat  18900  gsumwmhm  18905  frmdss2  18923  symgtrinv  19543  psgnunilem5  19565  psgnunilem2  19566  psgnunilem3  19567  efginvrel1  19799  efgsf  19800  efgsrel  19805  efgs1b  19807  efgredlemf  19812  efgredlemd  19815  efgredlemc  19816  efgredlem  19818  frgpup3lem  19848  pgpfaclem1  20154  ablfaclem2  20159  ablfaclem3  20160  ablfac2  20162  dchrptlem1  27409  dchrptlem2  27410  trgcgrg  28765  tgcgr4  28781  wrdupgr  29416  wrdumgr  29428  vdegp1ai  29867  vdegp1bi  29868  wlkres  29999  wlkp1  30010  wlkdlem1  30011  trlf1  30027  trlreslem  30028  upgrwlkdvdelem  30066  pthdlem1  30096  pthdlem2lem  30097  uspgrn2crct  30138  wlkiswwlks2lem3  30201  wlkiswwlksupgr2  30207  clwlkclwwlklem2a  30330  clwlkclwwlklem2  30332  1wlkdlem1  30469  wlk2v2e  30489  eucrctshift  30575  konigsbergssiedgw  30582  wrdres  33236  pfxf1  33243  s3f1  33248  ccatf1  33250  swrdrn3  33256  cycpmcl  33417  tocyc01  33419  cycpmco2rn  33426  cycpmrn  33444  tocyccntz  33445  cycpmconjslem2  33456  unitprodclb  33683  sseqf  34763  fiblem  34769  ofcccat  34914  signstcl  34933  signstf  34934  signstfvn  34937  signsvtn0  34938  signstres  34943  signsvtp  34951  signsvtn  34952  signsvfpn  34953  signsvfnn  34954  signshf  34956  revwlk  35598  mvrsfpw  35979  frlmfzowrdb  43259  amgm2d  44907  amgm3d  44908  amgm4d  44909  chnsubseqword  47577  chnsubseqwl  47578  chnsubseq  47579  lswn0  48176  upgrimwlklem1  48645  upgrimwlklem2  48646  upgrimwlklem3  48647  upgrimtrlslem1  48652  upgrimtrlslem2  48653  gpgprismgr4cycllem9  48851  amgmw2d  50587