Theorem wrdf 14567

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14564	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6733	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3153	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563

This theorem is referenced by:  iswrdb  14568  wrddm  14569  wrdsymbcl  14575  wrdfn  14576  wrdffz  14583  0wrd0  14588  wrdsymb  14590  wrdnval  14593  wrdred1  14608  wrdred1hash  14609  ccatcl  14622  ccatalpha  14641  s1dm  14656  swrdcl  14693  swrdf  14698  swrdwrdsymb  14710  pfxres  14727  cats1un  14769  revcl  14809  revlen  14810  revrev  14815  repsdf2  14826  cshwf  14848  cshinj  14859  wrdco  14880  lenco  14881  revco  14883  ccatco  14884  lswco  14888  s2dm  14939  wwlktovf  15005  s7f1o  15015  ofccat  15018  gsumwsubmcl  18872  gsumsgrpccat  18875  gsumwmhm  18880  frmdss2  18898  symgtrinv  19514  psgnunilem5  19536  psgnunilem2  19537  psgnunilem3  19538  efginvrel1  19770  efgsf  19771  efgsrel  19776  efgs1b  19778  efgredlemf  19783  efgredlemd  19786  efgredlemc  19787  efgredlem  19789  frgpup3lem  19819  pgpfaclem1  20125  ablfaclem2  20130  ablfaclem3  20131  ablfac2  20133  dchrptlem1  27326  dchrptlem2  27327  trgcgrg  28541  tgcgr4  28557  wrdupgr  29120  wrdumgr  29132  vdegp1ai  29572  vdegp1bi  29573  wlkres  29706  wlkp1  29717  wlkdlem1  29718  trlf1  29734  trlreslem  29735  upgrwlkdvdelem  29772  pthdlem1  29802  pthdlem2lem  29803  uspgrn2crct  29841  wlkiswwlks2lem3  29904  wlkiswwlksupgr2  29910  clwlkclwwlklem2a  30030  clwlkclwwlklem2  30032  1wlkdlem1  30169  wlk2v2e  30189  eucrctshift  30275  konigsbergssiedgw  30282  wrdfd  32900  wrdres  32901  pfxf1  32908  s3f1  32913  ccatf1  32915  swrdrn3  32922  cycpmcl  33109  tocyc01  33111  cycpmco2rn  33118  cycpmrn  33136  tocyccntz  33137  cycpmconjslem2  33148  unitprodclb  33382  sseqf  34357  fiblem  34363  ofcccat  34520  signstcl  34542  signstf  34543  signstfvn  34546  signsvtn0  34547  signstres  34552  signsvtp  34560  signsvtn  34561  signsvfpn  34562  signsvfnn  34563  signshf  34565  revwlk  35092  mvrsfpw  35474  frlmfzowrdb  42459  amgm2d  44160  amgm3d  44161  amgm4d  44162  lswn0  47318  amgmw2d  48898