Theorem wrdf 14509

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14506	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6713	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3144	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 216	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  ℕ₀cn0 12510  ..^cfzo 13667  ♯chash 14329  Word cword 14504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505

This theorem is referenced by:  iswrdb  14510  wrddm  14511  wrdsymbcl  14517  wrdfn  14518  wrdffz  14525  0wrd0  14530  wrdsymb  14532  wrdnval  14535  wrdred1  14550  wrdred1hash  14551  ccatcl  14564  ccatalpha  14583  s1dm  14598  swrdcl  14635  swrdf  14640  swrdwrdsymb  14652  pfxres  14669  cats1un  14711  revcl  14751  revlen  14752  revrev  14757  repsdf2  14768  cshwf  14790  cshinj  14801  wrdco  14822  lenco  14823  revco  14825  ccatco  14826  lswco  14830  s2dm  14881  wwlktovf  14947  ofccat  14956  gsumwsubmcl  18796  gsumsgrpccat  18799  gsumwmhm  18804  frmdss2  18822  symgtrinv  19434  psgnunilem5  19456  psgnunilem2  19457  psgnunilem3  19458  efginvrel1  19690  efgsf  19691  efgsrel  19696  efgs1b  19698  efgredlemf  19703  efgredlemd  19706  efgredlemc  19707  efgredlem  19709  frgpup3lem  19739  pgpfaclem1  20045  ablfaclem2  20050  ablfaclem3  20051  ablfac2  20053  dchrptlem1  27217  dchrptlem2  27218  trgcgrg  28339  tgcgr4  28355  wrdupgr  28918  wrdumgr  28930  vdegp1ai  29370  vdegp1bi  29371  wlkres  29504  wlkp1  29515  wlkdlem1  29516  trlf1  29532  trlreslem  29533  upgrwlkdvdelem  29570  pthdlem1  29600  pthdlem2lem  29601  uspgrn2crct  29639  wlkiswwlks2lem3  29702  wlkiswwlksupgr2  29708  clwlkclwwlklem2a  29828  clwlkclwwlklem2  29830  1wlkdlem1  29967  wlk2v2e  29987  eucrctshift  30073  konigsbergssiedgw  30080  wrdfd  32680  wrdres  32681  pfxf1  32686  s3f1  32691  ccatf1  32693  swrdrn3  32697  cycpmcl  32858  tocyc01  32860  cycpmco2rn  32867  cycpmrn  32885  tocyccntz  32886  cycpmconjslem2  32897  sseqf  34045  fiblem  34051  ofcccat  34208  signstcl  34230  signstf  34231  signstfvn  34234  signsvtn0  34235  signstres  34240  signsvtp  34248  signsvtn  34249  signsvfpn  34250  signsvfnn  34251  signshf  34253  revwlk  34767  mvrsfpw  35149  frlmfzowrdb  41775  amgm2d  43659  amgm3d  43660  amgm4d  43661  lswn0  46813  amgmw2d  48315