Theorem wrdf 14667

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14664	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6694	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  ℕ₀cn0 12610  ..^cfzo 13792  ♯chash 14478  Word cword 14662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663

This theorem is used by:  wrdfd  14668  iswrdb  14669  wrddm  14670  wrdsymbcl  14676  wrdfn  14677  wrdffz  14684  0wrd0  14689  wrdsymb  14691  wrdnval  14694  wrdred1  14709  wrdred1hash  14710  ccatcl  14723  ccatf1  14740  ccatalpha  14744  s1dm  14759  swrdcl  14798  swrdf  14803  swrdrn3  14807  swrdwrdsymb  14817  pfxres  14834  cats1un  14875  revcl  14915  revlen  14916  revrev  14921  repsdf2  14934  cshwf  14956  cshinj  14967  wrdco  14987  lenco  14988  revco  14990  ccatco  14991  lswco  14995  s2dm  15046  wwlktovf  15115  s7f1o  15125  ofccat  15128  chnf  18809  gsumwsubmcl  19039  gsumsgrpccat  19042  gsumwmhm  19047  frmdss2  19065  symgtrinv  19692  psgnunilem5  19714  psgnunilem2  19715  psgnunilem3  19716  efginvrel1  19948  efgsf  19949  efgsrel  19954  efgs1b  19956  efgredlemf  19961  efgredlemd  19964  efgredlemc  19965  efgredlem  19967  frgpup3lem  19997  pgpfaclem1  20303  ablfaclem2  20308  ablfaclem3  20309  ablfac2  20311  dchrptlem1  27597  dchrptlem2  27598  trgcgrg  28984  tgcgr4  29000  wrdupgr  29669  wrdumgr  29681  vdegp1ai  30123  vdegp1bi  30124  wlkres  30255  wlkp1  30266  wlkdlem1  30267  revwlk  30273  trlf1  30287  trlreslem  30288  upgrwlkdvdelem  30328  pthdlem1  30358  pthdlem2lem  30359  uspgrn2crct  30403  wlkiswwlks2lem3  30466  wlkiswwlksupgr2  30472  clwlkclwwlklem2a  30595  clwlkclwwlklem2  30597  1wlkdlem1  30734  wlk2v2e  30764  eucrctshift  30850  konigsbergssiedgw  30857  wrdres  33549  pfxf1  33556  s3f1  33558  cycpmcl  33724  tocyc01  33726  cycpmco2rn  33733  cycpmrn  33751  tocyccntz  33752  cycpmconjslem2  33763  unitprodclb  33991  sseqf  35071  fiblem  35077  ofcccat  35222  signstcl  35241  signstf  35242  signstfvn  35245  signsvtn0  35246  signstres  35251  signsvtp  35259  signsvtn  35260  signsvfpn  35261  signsvfnn  35262  signshf  35264  mvrsfpw  36358  frlmfzowrdb  43665  amgm2d  45292  amgm3d  45293  amgm4d  45294  chnsubseqword  47982  chnsubseqwl  47983  chnsubseq  47984  wrddin  47990  lswn0  48620  upgrimwlklem1  49089  upgrimwlklem2  49090  upgrimwlklem3  49091  upgrimtrlslem1  49096  upgrimtrlslem2  49097  gpgprismgr4cycllem9  49295  wrdf1d  51109  amgmw2d  51158