Theorem wrdf 14524

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14521	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6669	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3154	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 219	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066  ℕ₀cn0 12474  ..^cfzo 13652  ♯chash 14336  Word cword 14519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-hash 14337  df-word 14520

This theorem is referenced by:  wrdfd  14525  iswrdb  14526  wrddm  14527  wrdsymbcl  14533  wrdfn  14534  wrdffz  14541  0wrd0  14546  wrdsymb  14548  wrdnval  14551  wrdred1  14566  wrdred1hash  14567  ccatcl  14580  ccatalpha  14600  s1dm  14615  swrdcl  14652  swrdf  14657  swrdwrdsymb  14669  pfxres  14686  cats1un  14727  revcl  14767  revlen  14768  revrev  14773  repsdf2  14784  cshwf  14806  cshinj  14817  wrdco  14837  lenco  14838  revco  14840  ccatco  14841  lswco  14845  s2dm  14896  wwlktovf  14962  s7f1o  14972  ofccat  14975  chnf  18651  gsumwsubmcl  18861  gsumsgrpccat  18864  gsumwmhm  18869  frmdss2  18887  symgtrinv  19502  psgnunilem5  19524  psgnunilem2  19525  psgnunilem3  19526  efginvrel1  19758  efgsf  19759  efgsrel  19764  efgs1b  19766  efgredlemf  19771  efgredlemd  19774  efgredlemc  19775  efgredlem  19777  frgpup3lem  19807  pgpfaclem1  20113  ablfaclem2  20118  ablfaclem3  20119  ablfac2  20121  dchrptlem1  27315  dchrptlem2  27316  trgcgrg  28671  tgcgr4  28687  wrdupgr  29242  wrdumgr  29254  vdegp1ai  29693  vdegp1bi  29694  wlkres  29825  wlkp1  29836  wlkdlem1  29837  trlf1  29853  trlreslem  29854  upgrwlkdvdelem  29892  pthdlem1  29922  pthdlem2lem  29923  uspgrn2crct  29964  wlkiswwlks2lem3  30027  wlkiswwlksupgr2  30033  clwlkclwwlklem2a  30156  clwlkclwwlklem2  30158  1wlkdlem1  30295  wlk2v2e  30315  eucrctshift  30401  konigsbergssiedgw  30408  wrdres  33073  pfxf1  33080  s3f1  33085  ccatf1  33087  swrdrn3  33093  cycpmcl  33256  tocyc01  33258  cycpmco2rn  33265  cycpmrn  33283  tocyccntz  33284  cycpmconjslem2  33295  unitprodclb  33535  sseqf  34649  fiblem  34655  ofcccat  34800  signstcl  34819  signstf  34820  signstfvn  34823  signsvtn0  34824  signstres  34829  signsvtp  34837  signsvtn  34838  signsvfpn  34839  signsvfnn  34840  signshf  34842  revwlk  35435  mvrsfpw  35816  frlmfzowrdb  43086  amgm2d  44734  amgm3d  44735  amgm4d  44736  chnsubseqword  47414  chnsubseqwl  47415  chnsubseq  47416  lswn0  48010  upgrimwlklem1  48479  upgrimwlklem2  48480  upgrimwlklem3  48481  upgrimtrlslem1  48486  upgrimtrlslem2  48487  gpgprismgr4cycllem9  48685  amgmw2d  50385