Theorem wrdf 14441

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14438	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6646	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3129	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℕ₀cn0 12401  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437

This theorem is referenced by:  wrdfd  14442  iswrdb  14443  wrddm  14444  wrdsymbcl  14450  wrdfn  14451  wrdffz  14458  0wrd0  14463  wrdsymb  14465  wrdnval  14468  wrdred1  14483  wrdred1hash  14484  ccatcl  14497  ccatalpha  14517  s1dm  14532  swrdcl  14569  swrdf  14574  swrdwrdsymb  14586  pfxres  14603  cats1un  14644  revcl  14684  revlen  14685  revrev  14690  repsdf2  14701  cshwf  14723  cshinj  14734  wrdco  14754  lenco  14755  revco  14757  ccatco  14758  lswco  14762  s2dm  14813  wwlktovf  14879  s7f1o  14889  ofccat  14892  chnf  18552  gsumwsubmcl  18762  gsumsgrpccat  18765  gsumwmhm  18770  frmdss2  18788  symgtrinv  19401  psgnunilem5  19423  psgnunilem2  19424  psgnunilem3  19425  efginvrel1  19657  efgsf  19658  efgsrel  19663  efgs1b  19665  efgredlemf  19670  efgredlemd  19673  efgredlemc  19674  efgredlem  19676  frgpup3lem  19706  pgpfaclem1  20012  ablfaclem2  20017  ablfaclem3  20018  ablfac2  20020  dchrptlem1  27231  dchrptlem2  27232  trgcgrg  28587  tgcgr4  28603  wrdupgr  29158  wrdumgr  29170  vdegp1ai  29610  vdegp1bi  29611  wlkres  29742  wlkp1  29753  wlkdlem1  29754  trlf1  29770  trlreslem  29771  upgrwlkdvdelem  29809  pthdlem1  29839  pthdlem2lem  29840  uspgrn2crct  29881  wlkiswwlks2lem3  29944  wlkiswwlksupgr2  29950  clwlkclwwlklem2a  30073  clwlkclwwlklem2  30075  1wlkdlem1  30212  wlk2v2e  30232  eucrctshift  30318  konigsbergssiedgw  30325  wrdres  33017  pfxf1  33024  s3f1  33029  ccatf1  33031  swrdrn3  33037  cycpmcl  33198  tocyc01  33200  cycpmco2rn  33207  cycpmrn  33225  tocyccntz  33226  cycpmconjslem2  33237  unitprodclb  33470  sseqf  34549  fiblem  34555  ofcccat  34700  signstcl  34722  signstf  34723  signstfvn  34726  signsvtn0  34727  signstres  34732  signsvtp  34740  signsvtn  34741  signsvfpn  34742  signsvfnn  34743  signshf  34745  revwlk  35319  mvrsfpw  35700  frlmfzowrdb  42759  amgm2d  44439  amgm3d  44440  amgm4d  44441  chnsubseqword  47122  chnsubseqwl  47123  chnsubseq  47124  lswn0  47690  upgrimwlklem1  48143  upgrimwlklem2  48144  upgrimwlklem3  48145  upgrimtrlslem1  48150  upgrimtrlslem2  48151  gpgprismgr4cycllem9  48349  amgmw2d  50049