MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdf 13859
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 13856 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3 fnfzo0hash 13801 . . . . . 6 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
43oveq2d 7167 . . . . 5 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
54feq2d 6496 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
62, 5mpbird 258 . . 3 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
76rexlimiva 3285 . 2 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
81, 7sylbi 218 1 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  wrex 3143  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  0cn0 11889  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855
This theorem is referenced by:  iswrdb  13860  wrddm  13861  wrdsymbcl  13868  wrdfn  13869  wrdvOLD  13871  wrdffz  13878  0wrd0  13883  wrdsymb  13886  wrdnval  13889  wrdred1  13905  wrdred1hash  13906  ccatcl  13919  ccatalpha  13940  s1dm  13955  swrdcl  14000  swrdf  14005  swrdwrdsymb  14017  pfxres  14034  cats1un  14076  revcl  14116  revlen  14117  revrev  14122  repsdf2  14133  cshwf  14155  cshinj  14166  wrdco  14186  lenco  14187  revco  14189  ccatco  14190  lswco  14194  s2dm  14245  wwlktovf  14313  ofccat  14322  gsumwsubmcl  17986  gsumsgrpccat  17989  gsumccatOLD  17990  gsumwmhm  17995  frmdss2  18013  symgtrinv  18522  psgnunilem5  18544  psgnunilem2  18545  psgnunilem3  18546  efginvrel1  18776  efgsf  18777  efgsrel  18782  efgs1b  18784  efgredlemf  18789  efgredlemd  18792  efgredlemc  18793  efgredlem  18795  frgpup3lem  18825  pgpfaclem1  19125  ablfaclem2  19130  ablfaclem3  19131  ablfac2  19133  dchrptlem1  25754  dchrptlem2  25755  trgcgrg  26215  tgcgr4  26231  wrdupgr  26784  wrdumgr  26796  vdegp1ai  27232  vdegp1bi  27233  wlkres  27366  wlkp1  27377  wlkdlem1  27378  trlf1  27394  trlreslem  27395  upgrwlkdvdelem  27431  pthdlem1  27461  pthdlem2lem  27462  uspgrn2crct  27500  wlkiswwlks2lem3  27563  wlkiswwlksupgr2  27569  clwlkclwwlklem2a  27690  clwlkclwwlklem2  27692  1wlkdlem1  27830  wlk2v2e  27850  eucrctshift  27936  konigsbergssiedgw  27943  wrdfd  30526  wrdres  30527  pfxf1  30532  s3f1  30537  ccatf1  30539  swrdrn3  30543  cycpmcl  30672  tocyc01  30674  cycpmco2rn  30681  cycpmrn  30699  tocyccntz  30700  cycpmconjslem2  30711  sseqf  31536  fiblem  31542  ofcccat  31699  signstcl  31721  signstf  31722  signstfvn  31725  signsvtn0  31726  signstres  31731  signsvtp  31739  signsvtn  31740  signsvfpn  31741  signsvfnn  31742  signshf  31744  revwlk  32255  mvrsfpw  32637  frlmfzowrdb  39006  amgm2d  40413  amgm3d  40414  amgm4d  40415  lswn0  43432  amgmw2d  44733
  Copyright terms: Public domain W3C validator