Theorem wrdf 14534

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14531	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6691	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3133	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  ℕ₀cn0 12499  ..^cfzo 13669  ♯chash 14346  Word cword 14529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14347  df-word 14530

This theorem is referenced by:  wrdfd  14535  iswrdb  14536  wrddm  14537  wrdsymbcl  14543  wrdfn  14544  wrdffz  14551  0wrd0  14556  wrdsymb  14558  wrdnval  14561  wrdred1  14576  wrdred1hash  14577  ccatcl  14590  ccatalpha  14609  s1dm  14624  swrdcl  14661  swrdf  14666  swrdwrdsymb  14678  pfxres  14695  cats1un  14737  revcl  14777  revlen  14778  revrev  14783  repsdf2  14794  cshwf  14816  cshinj  14827  wrdco  14848  lenco  14849  revco  14851  ccatco  14852  lswco  14856  s2dm  14907  wwlktovf  14973  s7f1o  14983  ofccat  14986  gsumwsubmcl  18813  gsumsgrpccat  18816  gsumwmhm  18821  frmdss2  18839  symgtrinv  19451  psgnunilem5  19473  psgnunilem2  19474  psgnunilem3  19475  efginvrel1  19707  efgsf  19708  efgsrel  19713  efgs1b  19715  efgredlemf  19720  efgredlemd  19723  efgredlemc  19724  efgredlem  19726  frgpup3lem  19756  pgpfaclem1  20062  ablfaclem2  20067  ablfaclem3  20068  ablfac2  20070  dchrptlem1  27225  dchrptlem2  27226  trgcgrg  28440  tgcgr4  28456  wrdupgr  29010  wrdumgr  29022  vdegp1ai  29462  vdegp1bi  29463  wlkres  29596  wlkp1  29607  wlkdlem1  29608  trlf1  29624  trlreslem  29625  upgrwlkdvdelem  29664  pthdlem1  29694  pthdlem2lem  29695  uspgrn2crct  29736  wlkiswwlks2lem3  29799  wlkiswwlksupgr2  29805  clwlkclwwlklem2a  29925  clwlkclwwlklem2  29927  1wlkdlem1  30064  wlk2v2e  30084  eucrctshift  30170  konigsbergssiedgw  30177  wrdres  32856  pfxf1  32863  s3f1  32868  ccatf1  32870  swrdrn3  32877  cycpmcl  33073  tocyc01  33075  cycpmco2rn  33082  cycpmrn  33100  tocyccntz  33101  cycpmconjslem2  33112  unitprodclb  33350  sseqf  34370  fiblem  34376  ofcccat  34521  signstcl  34543  signstf  34544  signstfvn  34547  signsvtn0  34548  signstres  34553  signsvtp  34561  signsvtn  34562  signsvfpn  34563  signsvfnn  34564  signshf  34566  revwlk  35093  mvrsfpw  35474  frlmfzowrdb  42474  amgm2d  44169  amgm3d  44170  amgm4d  44171  lswn0  47406  upgrimwlklem1  47858  upgrimwlklem2  47859  upgrimwlklem3  47860  upgrimtrlslem1  47865  upgrimtrlslem2  47866  gpgprismgr4cycllem9  48050  amgmw2d  49563