Theorem wrdf 14543

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14540	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6679	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3158	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  ℕ₀cn0 12492  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539

This theorem is referenced by:  wrdfd  14544  iswrdb  14545  wrddm  14546  wrdsymbcl  14552  wrdfn  14553  wrdffz  14560  0wrd0  14565  wrdsymb  14567  wrdnval  14570  wrdred1  14585  wrdred1hash  14586  ccatcl  14599  ccatalpha  14619  s1dm  14634  swrdcl  14671  swrdf  14676  swrdwrdsymb  14688  pfxres  14705  cats1un  14746  revcl  14786  revlen  14787  revrev  14792  repsdf2  14803  cshwf  14825  cshinj  14836  wrdco  14856  lenco  14857  revco  14859  ccatco  14860  lswco  14864  s2dm  14915  wwlktovf  14981  s7f1o  14991  ofccat  14994  chnf  18673  gsumwsubmcl  18884  gsumsgrpccat  18887  gsumwmhm  18892  frmdss2  18910  symgtrinv  19530  psgnunilem5  19552  psgnunilem2  19553  psgnunilem3  19554  efginvrel1  19786  efgsf  19787  efgsrel  19792  efgs1b  19794  efgredlemf  19799  efgredlemd  19802  efgredlemc  19803  efgredlem  19805  frgpup3lem  19835  pgpfaclem1  20141  ablfaclem2  20146  ablfaclem3  20147  ablfac2  20149  dchrptlem1  27382  dchrptlem2  27383  trgcgrg  28738  tgcgr4  28754  wrdupgr  29340  wrdumgr  29352  vdegp1ai  29791  vdegp1bi  29792  wlkres  29923  wlkp1  29934  wlkdlem1  29935  trlf1  29951  trlreslem  29952  upgrwlkdvdelem  29990  pthdlem1  30020  pthdlem2lem  30021  uspgrn2crct  30062  wlkiswwlks2lem3  30125  wlkiswwlksupgr2  30131  clwlkclwwlklem2a  30254  clwlkclwwlklem2  30256  1wlkdlem1  30393  wlk2v2e  30413  eucrctshift  30499  konigsbergssiedgw  30506  wrdres  33163  pfxf1  33170  s3f1  33175  ccatf1  33177  swrdrn3  33183  cycpmcl  33344  tocyc01  33346  cycpmco2rn  33353  cycpmrn  33371  tocyccntz  33372  cycpmconjslem2  33383  unitprodclb  33613  sseqf  34694  fiblem  34700  ofcccat  34845  signstcl  34864  signstf  34865  signstfvn  34868  signsvtn0  34869  signstres  34874  signsvtp  34882  signsvtn  34883  signsvfpn  34884  signsvfnn  34885  signshf  34887  revwlk  35483  mvrsfpw  35864  frlmfzowrdb  43133  amgm2d  44781  amgm3d  44782  amgm4d  44783  chnsubseqword  47453  chnsubseqwl  47454  chnsubseq  47455  lswn0  48049  upgrimwlklem1  48518  upgrimwlklem2  48519  upgrimwlklem3  48520  upgrimtrlslem1  48525  upgrimtrlslem2  48526  gpgprismgr4cycllem9  48724  amgmw2d  50434