Theorem wrdf 14587

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14584	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6690	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3157	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  ℕ₀cn0 12532  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398  Word cword 14582

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583

This theorem is used by:  wrdfd  14588  iswrdb  14589  wrddm  14590  wrdsymbcl  14596  wrdfn  14597  wrdffz  14604  0wrd0  14609  wrdsymb  14611  wrdnval  14614  wrdred1  14629  wrdred1hash  14630  ccatcl  14643  ccatf1  14660  ccatalpha  14664  s1dm  14679  swrdcl  14717  swrdf  14722  swrdrn3  14726  swrdwrdsymb  14736  pfxres  14753  cats1un  14794  revcl  14834  revlen  14835  revrev  14840  repsdf2  14853  cshwf  14875  cshinj  14886  wrdco  14906  lenco  14907  revco  14909  ccatco  14910  lswco  14914  s2dm  14965  wwlktovf  15033  s7f1o  15043  ofccat  15046  chnf  18723  gsumwsubmcl  18952  gsumsgrpccat  18955  gsumwmhm  18960  frmdss2  18978  symgtrinv  19605  psgnunilem5  19627  psgnunilem2  19628  psgnunilem3  19629  efginvrel1  19861  efgsf  19862  efgsrel  19867  efgs1b  19869  efgredlemf  19874  efgredlemd  19877  efgredlemc  19878  efgredlem  19880  frgpup3lem  19910  pgpfaclem1  20216  ablfaclem2  20221  ablfaclem3  20222  ablfac2  20224  dchrptlem1  27508  dchrptlem2  27509  trgcgrg  28865  tgcgr4  28881  wrdupgr  29550  wrdumgr  29562  vdegp1ai  30004  vdegp1bi  30005  wlkres  30136  wlkp1  30147  wlkdlem1  30148  revwlk  30154  trlf1  30168  trlreslem  30169  upgrwlkdvdelem  30209  pthdlem1  30239  pthdlem2lem  30240  uspgrn2crct  30284  wlkiswwlks2lem3  30347  wlkiswwlksupgr2  30353  clwlkclwwlklem2a  30476  clwlkclwwlklem2  30478  1wlkdlem1  30615  wlk2v2e  30645  eucrctshift  30731  konigsbergssiedgw  30738  wrdres  33389  pfxf1  33396  s3f1  33398  cycpmcl  33564  tocyc01  33566  cycpmco2rn  33573  cycpmrn  33591  tocyccntz  33592  cycpmconjslem2  33603  unitprodclb  33830  sseqf  34911  fiblem  34917  ofcccat  35062  signstcl  35081  signstf  35082  signstfvn  35085  signsvtn0  35086  signstres  35091  signsvtp  35099  signsvtn  35100  signsvfpn  35101  signsvfnn  35102  signshf  35104  mvrsfpw  36093  frlmfzowrdb  43400  amgm2d  45046  amgm3d  45047  amgm4d  45048  chnsubseqword  47714  chnsubseqwl  47715  chnsubseq  47716  wrddin  47722  lswn0  48352  upgrimwlklem1  48821  upgrimwlklem2  48822  upgrimwlklem3  48823  upgrimtrlslem1  48828  upgrimtrlslem2  48829  gpgprismgr4cycllem9  49027  wrdf1d  50781  amgmw2d  50830