MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdf 13972
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 13969 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2 simpr 488 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3 fnfzo0hash 13912 . . . . . 6 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
43oveq2d 7198 . . . . 5 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
54feq2d 6500 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
62, 5mpbird 260 . . 3 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
76rexlimiva 3192 . 2 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
81, 7sylbi 220 1 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114  wrex 3055  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  0cc0 10627  0cn0 11988  ..^cfzo 13136  chash 13794  Word cword 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-hash 13795  df-word 13968
This theorem is referenced by:  iswrdb  13973  wrddm  13974  wrdsymbcl  13980  wrdfn  13981  wrdffz  13988  0wrd0  13993  wrdsymb  13995  wrdnval  13998  wrdred1  14013  wrdred1hash  14014  ccatcl  14027  ccatalpha  14048  s1dm  14063  swrdcl  14108  swrdf  14113  swrdwrdsymb  14125  pfxres  14142  cats1un  14184  revcl  14224  revlen  14225  revrev  14230  repsdf2  14241  cshwf  14263  cshinj  14274  wrdco  14294  lenco  14295  revco  14297  ccatco  14298  lswco  14302  s2dm  14353  wwlktovf  14421  ofccat  14430  gsumwsubmcl  18129  gsumsgrpccat  18132  gsumccatOLD  18133  gsumwmhm  18138  frmdss2  18156  symgtrinv  18730  psgnunilem5  18752  psgnunilem2  18753  psgnunilem3  18754  efginvrel1  18984  efgsf  18985  efgsrel  18990  efgs1b  18992  efgredlemf  18997  efgredlemd  19000  efgredlemc  19001  efgredlem  19003  frgpup3lem  19033  pgpfaclem1  19334  ablfaclem2  19339  ablfaclem3  19340  ablfac2  19342  dchrptlem1  26012  dchrptlem2  26013  trgcgrg  26473  tgcgr4  26489  wrdupgr  27042  wrdumgr  27054  vdegp1ai  27490  vdegp1bi  27491  wlkres  27624  wlkp1  27635  wlkdlem1  27636  trlf1  27652  trlreslem  27653  upgrwlkdvdelem  27689  pthdlem1  27719  pthdlem2lem  27720  uspgrn2crct  27758  wlkiswwlks2lem3  27821  wlkiswwlksupgr2  27827  clwlkclwwlklem2a  27947  clwlkclwwlklem2  27949  1wlkdlem1  28086  wlk2v2e  28106  eucrctshift  28192  konigsbergssiedgw  28199  wrdfd  30797  wrdres  30798  pfxf1  30803  s3f1  30808  ccatf1  30810  swrdrn3  30814  cycpmcl  30972  tocyc01  30974  cycpmco2rn  30981  cycpmrn  30999  tocyccntz  31000  cycpmconjslem2  31011  sseqf  31941  fiblem  31947  ofcccat  32104  signstcl  32126  signstf  32127  signstfvn  32130  signsvtn0  32131  signstres  32136  signsvtp  32144  signsvtn  32145  signsvfpn  32146  signsvfnn  32147  signshf  32149  revwlk  32669  mvrsfpw  33051  frlmfzowrdb  39857  amgm2d  41396  amgm3d  41397  amgm4d  41398  lswn0  44477  amgmw2d  46008
  Copyright terms: Public domain W3C validator