Theorem wrdf 14429

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14426	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6642	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3126	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  ℕ₀cn0 12390  ..^cfzo 13558  ♯chash 14241  Word cword 14424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242  df-word 14425

This theorem is referenced by:  wrdfd  14430  iswrdb  14431  wrddm  14432  wrdsymbcl  14438  wrdfn  14439  wrdffz  14446  0wrd0  14451  wrdsymb  14453  wrdnval  14456  wrdred1  14471  wrdred1hash  14472  ccatcl  14485  ccatalpha  14505  s1dm  14520  swrdcl  14557  swrdf  14562  swrdwrdsymb  14574  pfxres  14591  cats1un  14632  revcl  14672  revlen  14673  revrev  14678  repsdf2  14689  cshwf  14711  cshinj  14722  wrdco  14742  lenco  14743  revco  14745  ccatco  14746  lswco  14750  s2dm  14801  wwlktovf  14867  s7f1o  14877  ofccat  14880  chnf  18539  gsumwsubmcl  18749  gsumsgrpccat  18752  gsumwmhm  18757  frmdss2  18775  symgtrinv  19388  psgnunilem5  19410  psgnunilem2  19411  psgnunilem3  19412  efginvrel1  19644  efgsf  19645  efgsrel  19650  efgs1b  19652  efgredlemf  19657  efgredlemd  19660  efgredlemc  19661  efgredlem  19663  frgpup3lem  19693  pgpfaclem1  19999  ablfaclem2  20004  ablfaclem3  20005  ablfac2  20007  dchrptlem1  27205  dchrptlem2  27206  trgcgrg  28496  tgcgr4  28512  wrdupgr  29067  wrdumgr  29079  vdegp1ai  29519  vdegp1bi  29520  wlkres  29651  wlkp1  29662  wlkdlem1  29663  trlf1  29679  trlreslem  29680  upgrwlkdvdelem  29718  pthdlem1  29748  pthdlem2lem  29749  uspgrn2crct  29790  wlkiswwlks2lem3  29853  wlkiswwlksupgr2  29859  clwlkclwwlklem2a  29982  clwlkclwwlklem2  29984  1wlkdlem1  30121  wlk2v2e  30141  eucrctshift  30227  konigsbergssiedgw  30234  wrdres  32925  pfxf1  32932  s3f1  32937  ccatf1  32939  swrdrn3  32945  cycpmcl  33094  tocyc01  33096  cycpmco2rn  33103  cycpmrn  33121  tocyccntz  33122  cycpmconjslem2  33133  unitprodclb  33363  sseqf  34428  fiblem  34434  ofcccat  34579  signstcl  34601  signstf  34602  signstfvn  34605  signsvtn0  34606  signstres  34611  signsvtp  34619  signsvtn  34620  signsvfpn  34621  signsvfnn  34622  signshf  34624  revwlk  35192  mvrsfpw  35573  frlmfzowrdb  42625  amgm2d  44318  amgm3d  44319  amgm4d  44320  chnsubseqword  47003  chnsubseqwl  47004  chnsubseq  47005  lswn0  47571  upgrimwlklem1  48024  upgrimwlklem2  48025  upgrimwlklem3  48026  upgrimtrlslem1  48031  upgrimtrlslem2  48032  gpgprismgr4cycllem9  48230  amgmw2d  49932