Theorem wrdf 13579

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 13576	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 13523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6264	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3237	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 209	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3118  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  ℕ₀cn0 11618  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575

This theorem is referenced by:  iswrdb  13580  wrddm  13581  wrdsymbcl  13587  wrdfn  13588  wrdv  13589  wrdffz  13595  0wrd0  13600  wrdsymb  13602  wrdnval  13605  wrdred1  13620  wrdred1hash  13621  ccatcl  13634  ccatass  13648  ccatrn  13649  ccatalpha  13653  s1dm  13668  swrdcl  13705  swrd0valOLD  13707  swrdf  13712  swrdnd2  13720  swrdwrdsymb  13736  ccatswrd  13746  swrdccat1OLD  13747  swrdccat2  13748  pfxres  13758  ccatpfx  13780  cats1un  13811  revcl  13877  revlen  13878  revccat  13882  revrev  13883  repsdf2  13894  cshwf  13921  cshinj  13932  wrdco  13952  lenco  13953  revco  13955  ccatco  13956  lswco  13960  s2dm  14011  wwlktovf  14078  ofccat  14087  gsumwsubmcl  17728  gsumccat  17731  gsumwmhm  17736  frmdss2  17754  symgtrinv  18242  psgnunilem5  18264  psgnunilem5OLD  18265  psgnunilem2  18266  psgnunilem3  18267  efginvrel1  18492  efgsf  18493  efgsrel  18498  efgs1b  18500  efgredlemf  18506  efgredlemd  18509  efgredlemc  18510  efgredlem  18512  efgredlemOLD  18513  frgpup3lem  18543  pgpfaclem1  18834  ablfaclem2  18839  ablfaclem3  18840  ablfac2  18842  dchrptlem1  25402  dchrptlem2  25403  trgcgrg  25827  tgcgr4  25843  wrdupgr  26383  wrdumgr  26395  vdegp1ai  26834  vdegp1bi  26835  wlkres  26969  wlkreslemOLD  26970  wlkresOLD  26971  wlkp1  26982  wlkdlem1  26983  trlf1  26999  trlreslem  27000  trlreslemOLD  27002  upgrwlkdvdelem  27038  pthdlem1  27068  pthdlem2lem  27069  uspgrn2crct  27107  wlkiswwlks2lem3  27170  wlkiswwlksupgr2  27176  clwlkclwwlklem2a  27327  clwlkclwwlklem2  27329  1wlkdlem1  27513  wlk2v2e  27533  eucrctshift  27620  konigsbergssiedgw  27629  sseqf  31000  fiblem  31006  wrdfd  31162  wrdres  31163  ofcccat  31167  signstcl  31189  signstf  31190  signstfvn  31193  signsvtn0  31194  signsvtn0OLD  31195  signstres  31200  signsvtp  31209  signsvtn  31210  signsvfpn  31211  signsvfnn  31212  signshf  31214  mvrsfpw  31949  amgm2d  39341  amgm3d  39342  amgm4d  39343  lswn0  42268  amgmw2d  43446