Theorem konigsbergumgr 30231

Description: The Königsberg graph 𝐺 is a multigraph. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergumgr	⊢ 𝐺 ∈ UMGraph

Proof of Theorem konigsbergumgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...3)
2		konigsberg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3		konigsberg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	konigsbergiedgw 30228	. 2 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
5		opex 5402	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
7		s7cli 14792	. . . 4 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V
8	2, 7	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9	1, 2, 3	konigsbergvtx 30226	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (0...3)
10	1, 9	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	1, 2, 3	konigsbergiedg 30227	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
12	2, 11	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
13	10, 12	wrdumgr 29075	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
14	6, 8, 13	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15	4, 14	mpbir 231	1 ⊢ 𝐺 ∈ UMGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4547  {cpr 4575  ⟨cop 4579  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007  2c2 12180  3c3 12181  ...cfz 13407  ♯chash 14237  Word cword 14420  ⟨“cs7 14753  Vtxcvtx 28974  iEdgciedg 28975  UMGraphcumgr 29059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-s4 14757  df-s5 14758  df-s6 14759  df-s7 14760  df-vtx 28976  df-iedg 28977  df-umgr 29061

This theorem is referenced by:  konigsberg  30237