Theorem xnn0xrge0 13551

Description: An extended nonnegative integer is an extended nonnegative real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xrge0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xnn0xrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 12531	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		nn0ge0 12547	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
5		elxrge0 13502	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7		0xr 11274	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11281	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		0lepnf 13176	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
10		ubicc2 13510	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
11	7, 8, 9, 10	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
12		eleq1 2854	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ +∞ ∈ (0[,]+∞)))
13	11, 12	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
14	6, 13	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
15	1, 14	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  ℝ^*cxr 11260   ≤ cle 11262  ℕ₀cn0 12522  ℕ₀^*cxnn0 12595  [,]cicc 13393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-icc 13397

This theorem is used by:  fldextrspundglemul  34100