MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xrge0 13121
Description: An extended nonnegative integer is an extended nonnegative real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xrge0 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xnn0xrge0
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12191 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 12126 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10910 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ*)
4 nn0ge0 12142 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
5 elxrge0 13072 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
63, 4, 5sylanbrc 586 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7 0xr 10907 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
8 pnfxr 10914 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
9 0lepnf 12751 . . . . 5 0 ≤ +∞
10 ubicc2 13080 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
117, 8, 9, 10mp3an 1463 . . . 4 +∞ ∈ (0[,]+∞)
12 eleq1 2827 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ +∞ ∈ (0[,]+∞)))
1311, 12mpbiri 261 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
146, 13jaoi 857 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
151, 14sylbi 220 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 847   = wceq 1543  wcel 2112   class class class wbr 5069  (class class class)co 7234  0cc0 10756  +∞cpnf 10891  *cxr 10893  cle 10895  0cn0 12117  0*cxnn0 12189  [,]cicc 12965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10812  ax-resscn 10813  ax-1cn 10814  ax-icn 10815  ax-addcl 10816  ax-addrcl 10817  ax-mulcl 10818  ax-mulrcl 10819  ax-mulcom 10820  ax-addass 10821  ax-mulass 10822  ax-distr 10823  ax-i2m1 10824  ax-1ne0 10825  ax-1rid 10826  ax-rnegex 10827  ax-rrecex 10828  ax-cnre 10829  ax-pre-lttri 10830  ax-pre-lttrn 10831  ax-pre-ltadd 10832  ax-pre-mulgt0 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-pnf 10896  df-mnf 10897  df-xr 10898  df-ltxr 10899  df-le 10900  df-sub 11091  df-neg 11092  df-nn 11858  df-n0 12118  df-xnn0 12190  df-icc 12969
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator