Theorem xnn0xrge0 13467

Description: An extended nonnegative integer is an extended nonnegative real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xrge0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xnn0xrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 12451	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		nn0ge0 12467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
5		elxrge0 13418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7		0xr 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11228	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		0lepnf 13093	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
10		ubicc2 13426	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
11	7, 8, 9, 10	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
12		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ +∞ ∈ (0[,]+∞)))
13	11, 12	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
14	6, 13	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
15	1, 14	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  ℕ₀^*cxnn0 12515  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  fldextrspundglemul  33674