Theorem bposlem3 16313

Description: Lemma for bpos . Since the binomial coefficient does not have any primes in the range ( 2 N / 3 , N ] or ( 2 N , +oo ) by bposlem2 16312 and prmfac1 12956, respectively, and it does not have any in the range ( N , 2 N ] by hypothesis, the product of the primes up through 2 N / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem3	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem bposlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . 5 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> n e. Prime )
3		5nn 9480	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. NN
4		bpos.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
5		eluznn 10016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
6	3, 4, 5	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
7	6	nnnn0d 9631	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
8		fzctr 10557	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
9		bccl2 11228	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
12	2, 11	pccld 13108	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
13	12	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
15		bpos.4	. . . . . . . . 9 |- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
16		2nn 9477	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
17		nnmulcl 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
18	16, 6, 17	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
19	18	nnzd 9778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
20		3nn 9478	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
21		znq 10040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 3 e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ )
22	19, 20, 21	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ )
23	22	flqcld 10731	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ZZ )
24	15, 23	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
25		3re 9387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. RR
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 3 e. RR )
27		5re 9392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 5 e. RR
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 e. RR )
29	6	nnred 9326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
30		3lt5 9492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 < 5
31	25, 27, 30	ltleii 8435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 <_ 5
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 3 <_ 5 )
33		eluzle 9950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
34	4, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 <_ N )
35	26, 28, 29, 32, 34	letrd 8457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 3 <_ N )
36		2re 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
37		2pos 9404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
39		lemul2 9195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 3 <_ N <-> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
40	25, 38, 39	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> ( 3 <_ N <-> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
41	29, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 3 <_ N <-> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
42	35, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) )
43	18	nnred 9326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
44		3pos 9407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 3
45	25, 44	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
46		lemuldiv 9219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
47	36, 45, 46	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) e. RR -> ( ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
49	42, 48	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
50		2z 9683	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
51		flqge 10736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> 2 <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
52	22, 50, 51	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> 2 <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
53	49, 52	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
54	53, 15	breqtrrdi 4173	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 <_ K )
55	50	eluz1i 9945	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. ZZ /\ 2 <_ K ) )
56	24, 54, 55	sylanbrc 421	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
57		eluz2nn 9982	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
58	56, 57	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN )
59	58	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> K e. NN )
60		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
61		oveq1 6095	. . . . 5 |- ( n = p -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
62	1, 14, 59, 60, 61	pcmpt 13151	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) )
63		iftrue 3645	. . . . . 6 |- ( p <_ K -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
64	63	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ p <_ K ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
65		iffalse 3648	. . . . . . 7 |- ( -. p <_ K -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = 0 )
66	65	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = 0 )
67		prmz 12914	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
68		zltnle 9701	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( K < p <-> -. p <_ K ) )
69	24, 67, 68	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( K < p <-> -. p <_ K ) )
70	69	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> K < p )
71	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> N e. NN )
72		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p e. Prime )
73	36	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> 2 e. RR )
74	24	zred 9779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. RR )
75	74	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> K e. RR )
76	67	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p e. ZZ )
77	76	zred 9779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p e. RR )
78	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> 2 <_ K )
79		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> K < p )
80	73, 75, 77, 78, 79	lelttrd 8458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> 2 < p )
81	15, 79	eqbrtrrid 4167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) < p )
82	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ )
83		flqlt 10738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ /\ p e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < p <-> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) < p ) )
84	82, 76, 83	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < p <-> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) < p ) )
85	81, 84	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < p )
86		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> p <_ N )
87	71, 72, 80, 85, 86	bposlem2 16312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( K < p /\ p <_ N ) ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
88	87	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( p <_ N -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
89		rspe 2599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
90	89	adantll 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
91		bpos.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
92	91	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
93	90, 92	pm2.21dd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
94	93	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ N < p ) -> ( p <_ ( 2 x. N ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
95	10	nnzd 9778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ )
96	7	faccld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
97	96, 96	nnmulcld 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. NN )
98	97	nnzd 9778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. ZZ )
99		dvdsmul1 12605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ /\ ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
100	95, 98, 99	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
101		bcctr 16302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) = ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
102	7, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) = ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
103	102	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) = ( ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) )
104	18	nnnn0d 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
105	104	faccld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. NN )
106	105	nncnd 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. CC )
107	97	nncnd 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) e. CC )
108	97	nnap0d 9359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) # 0 )
109	106, 107, 108	divcanap1d 9129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( 2 x. N ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) = ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
110	103, 109	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ! ` N ) x. ( ! ` N ) ) ) = ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
111	100, 110	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
112	111	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) )
113	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. ZZ )
114	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ )
115	105	nnzd 9778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. ZZ )
117		dvdstr 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. ZZ /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. ZZ /\ ( ! ` ( 2 x. N ) ) e. ZZ ) -> ( ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) -> p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) -> p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) )
119	112, 118	mpan2d 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) -> p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) )
120		prmfac1 12956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ p e. Prime /\ p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) ) -> p <_ ( 2 x. N ) )
121	120	3expia 1236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) -> p <_ ( 2 x. N ) ) )
122	104, 121	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ! ` ( 2 x. N ) ) -> p <_ ( 2 x. N ) ) )
123	119, 122	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( 2 x. N ) _C N ) -> p <_ ( 2 x. N ) ) )
124	123	con3d 640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. p <_ ( 2 x. N ) -> -. p || ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
125		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
126		pceq0 13130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 <-> -. p || ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
127	125, 10, 126	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 <-> -. p || ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
128	124, 127	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. p <_ ( 2 x. N ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ N < p ) -> ( -. p <_ ( 2 x. N ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
130		zdcle 9732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> DECID p <_ ( 2 x. N ) )
131	67, 19, 130	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> DECID p <_ ( 2 x. N ) )
132		exmiddc 848	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID p <_ ( 2 x. N ) -> ( p <_ ( 2 x. N ) \/ -. p <_ ( 2 x. N ) ) )
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p <_ ( 2 x. N ) \/ -. p <_ ( 2 x. N ) ) )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ N < p ) -> ( p <_ ( 2 x. N ) \/ -. p <_ ( 2 x. N ) ) )
135	94, 129, 134	mpjaod 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ N < p ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
136	135	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( N < p -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( N < p -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 ) )
138	6	nnzd 9778	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
139		zlelttric 9700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( p <_ N \/ N < p ) )
140	67, 138, 139	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p <_ N \/ N < p ) )
141	140	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( p <_ N \/ N < p ) )
142	88, 137, 141	mpjaod 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ K < p ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
143	70, 142	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )
144	66, 143	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ K ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
145		zdcle 9732	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID p <_ K )
146	67, 24, 145	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> DECID p <_ K )
147		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID p <_ K -> ( p <_ K \/ -. p <_ K ) )
148	146, 147	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p <_ K \/ -. p <_ K ) )
149	64, 144, 148	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> if ( p <_ K , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
150	62, 149	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
151	150	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
152	1, 13	pcmptcl 13150	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
153	152	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
154	153, 58	ffvelcdmd 5847	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. NN )
155	154	nnnn0d 9631	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. NN0 )
156	10	nnnn0d 9631	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
157		pc11 13139	. . 3 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. NN0 /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
158	155, 156, 157	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
159	151, 158	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   ifcif 3638   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   5c5 9367   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   QQcq 10035   ...cfz 10428   |_cfl 10720   seqcseq 10905   ^cexp 10996   !cfa 11185   _C cbc 11207   || cdvds 12579   Primecprime 12910   pCnt cpc 13092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-n0 9575  df-xnn0 9642  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-prm 12911  df-pc 13093

This theorem is used by:  bposlem6  16316