Theorem ballotfilemsle 13192

Description: The infimum of the set of zeroes of 𝐹 is a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilem.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotfilemscl.s	⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemsle	⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑘   𝑆,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑐)

Proof of Theorem ballotfilemsle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotfilem.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotfilem.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotth.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
7		ballotth.mgtn	. . . 4 ⊢ 𝑁 < 𝑀
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotfilem5 13186	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)
10		ballotfilemscl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0}
11		simplr 529	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
12		eldifi 3345	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
13	12	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑂)
14		elfzelz 10378	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑋) → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑋)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16	1, 2, 3, 4, 5, 13, 15	ballotfilemfelz 13174	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑋)) → ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) ∈ ℤ)
17		0z 9605	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
18		zdceq 9670	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐶)‘𝑘) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑋)) → DECID ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)
20	10, 11, 19	infssfzledc 10619	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘𝑗) = 0)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑋)
21	9, 20	rexlimddv 2667	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {crab 2526   ∖ cdif 3211   ∩ cin 3213  𝒫 cpw 3674   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  infcinf 7287  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460   / cdiv 8963  ℕcn 9254  ℤcz 9594  ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilemimin  13193  ballotfilemfrcn0  13217