Theorem gsumsplit1r 13426

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum. This corresponds to the (inductive) definition of a (finite) product in [Lang] p. 4, first formula. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit1r.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit1r.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumsplit1r.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit1r.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsumsplit1r.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit1r	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit1r

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit1r.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit1r.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumsplit1r.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumsplit1r.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 9774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		gsumsplit1r.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 6, 7	gsumval2 13425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
9		gsumsplit1r.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13	9, 12	fzfigd 10648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
14	7, 13	fexd 5868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		fvexg 5645	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
17	14, 15, 16	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
19		plusgslid 13140	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	slotex 13054	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) ∈ V)
21	3, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
22	2, 21	eqeltrid 2316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
23		vex 2802	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
25		ovexg 6034	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
26	15, 22, 24, 25	mp3an2i 1376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
28	4, 18, 27	seq3p1 10682	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
29		fzssp1 10259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
30	29	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
31	7, 30	fssresd 5501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
32	1, 2, 3, 4, 31	gsumval2 13425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁))
33	9	uzidd 9733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		resexg 5044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
35	14, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
36		fvexg 5645	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
37	35, 15, 36	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
39	9, 38, 27	seq3-1 10679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
40		eluzfz1 10223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
41	4, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
42	41	fvresd 5651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
43	39, 42	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
44		fzp1ss 10265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
45	9, 44	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
46	45	sselda 3224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
47	46	fvresd 5651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
48	33, 43, 38, 18, 27, 4, 47	seq3fveq2 10692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
49	32, 48	eqtr2d 2263	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))))
50	49	oveq1d 6015	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
51	8, 28, 50	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   ↾ cres 4720  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Fincfn 6885  1c1 7996   + caddc 7998  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ...cfz 10200  seqcseq 10664  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105   Σ_g cgsu 13285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-igsum 13287

This theorem is referenced by:  gsumfzconst  13873  gsumfzfsumlemm  14545