Theorem gsumsplit1r 13305

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum. This corresponds to the (inductive) definition of a (finite) product in [Lang] p. 4, first formula. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit1r.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit1r.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumsplit1r.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit1r.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsumsplit1r.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit1r	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit1r

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit1r.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit1r.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumsplit1r.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumsplit1r.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 9724	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		gsumsplit1r.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 6, 7	gsumval2 13304	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
9		gsumsplit1r.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13	9, 12	fzfigd 10598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
14	7, 13	fexd 5827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		fvexg 5608	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
17	14, 15, 16	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
19		plusgslid 13019	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	slotex 12934	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) ∈ V)
21	3, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
22	2, 21	eqeltrid 2293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
23		vex 2776	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
25		ovexg 5991	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
26	15, 22, 24, 25	mp3an2i 1355	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
28	4, 18, 27	seq3p1 10632	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
29		fzssp1 10209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
30	29	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
31	7, 30	fssresd 5464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
32	1, 2, 3, 4, 31	gsumval2 13304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁))
33	9	uzidd 9683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		resexg 5008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
35	14, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
36		fvexg 5608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
37	35, 15, 36	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) ∈ V)
39	9, 38, 27	seq3-1 10629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
40		eluzfz1 10173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
41	4, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
42	41	fvresd 5614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
43	39, 42	eqtrd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
44		fzp1ss 10215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
45	9, 44	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
46	45	sselda 3197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
47	46	fvresd 5614	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
48	33, 43, 38, 18, 27, 4, 47	seq3fveq2 10642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
49	32, 48	eqtr2d 2240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))))
50	49	oveq1d 5972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
51	8, 28, 50	3eqtrd 2243	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170   ↾ cres 4685  ⟶wf 5276  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Fincfn 6840  1c1 7946   + caddc 7948  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668  ...cfz 10150  seqcseq 10614  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984   Σ_g cgsu 13164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-seqfrec 10615  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-igsum 13166

This theorem is referenced by:  gsumfzconst  13752  gsumfzfsumlemm  14424