Theorem hashtpglem 11281

Description: Lemma for hashtpg 11282. This is one of the three not-equal conclusions required for the reverse direction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashtpglem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
hashtpglem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
hashtpglem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
hashtpglem.3	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)

Assertion

Ref	Expression
hashtpglem	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem hashtpglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashtpglem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
3		2re 9357	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		2lt3 9458	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
5	3, 4	ltneii 8416	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 3
6	5	neii 2422	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 3
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
8	7	tpeq3d 3801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
9		tpidm23 3811	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐵} = {𝐴, 𝐵}
10	8, 9	eqtr3di 2286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
11	10	fveq2d 5697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵}))
12	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
13		1re 8319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		1lt3 9459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 3
15	13, 14	ltneii 8416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 3
16	15	neii 2422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 = 3
17	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
18		dfsn2 3722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
19		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
20	19	preq2d 3794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
21	18, 20	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = {𝐴, 𝐵})
22	17, 21	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴})
23	22	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = (♯‘{𝐴}))
24		hashtpglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
25		hashsng 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (♯‘{𝐴}) = 1)
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
27	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
28	23, 27	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 1)
29	28	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3 ↔ 1 = 3))
30	16, 29	mtbiri 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
31	12, 30	pm2.65da 671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
32	31	neqned 2427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)
33		hashtpglem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
34		hashprg 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
35	24, 33, 34	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
37	32, 36	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
38	11, 37	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 2)
39	38	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3 ↔ 2 = 3))
40	6, 39	mtbiri 686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ¬ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
41	2, 40	pm2.65da 671	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
42	41	neqned 2427	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {csn 3708  {cpr 3709  {ctp 3710  ‘cfv 5375  1c1 8174  2c2 9338  3c3 9339  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-ihash 11198

This theorem is referenced by:  hashtpg  11282