Theorem pwbdvdseulemle 12965

Description: Lemma for pwbdvdseu 12966. Powers of a base which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwbdvdseulemle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pwbdvdseulemle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
pwbdvdseulemle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
pwbdvdseulemle.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
pwbdvdseulemle.2a	⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁)
pwbdvdseulemle.n2b	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pwbdvdseulemle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pwbdvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwbdvdseulemle.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9626	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		pwbdvdseulemle.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9626	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		pwbdvdseulemle.n2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6		pwbdvdseulemle.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 9321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑃 ∈ ℂ)
9	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10		peano2nn0 9608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
12	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
13		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
14		nn0ltp1le 9712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
15	3, 12, 14	syl2an2r 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
16	13, 15	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
17		nn0sub2 9723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
18	11, 12, 16, 17	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
19	8, 18, 11	expaddd 11128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((𝑃↑(𝐵 + 1)) · (𝑃↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
20	11	nn0cnd 9627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
21	12	nn0cnd 9627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	pncan3d 8642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
23	22	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (𝑃↑𝐴))
24		pwbdvdseulemle.2a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁)
25	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁)
26	23, 25	eqbrtrd 4152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
27	19, 26	eqbrtrrd 4154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝑃↑(𝐵 + 1)) · (𝑃↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
28	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
29	28, 11	nnexpcld 11148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 9772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
31	28, 18	nnexpcld 11148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
32	31	nnzd 9772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
33		pwbdvdseulemle.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
35	34	nnzd 9772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		muldvds1 12602	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑃↑(𝐵 + 1)) · (𝑃↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (𝑃↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((𝑃↑(𝐵 + 1)) · (𝑃↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (𝑃↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
38	27, 37	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑃↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
39	5, 38	mtand 675	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
40	2, 4, 39	nltled 8449	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185   < clt 8361   ≤ cle 8362   − cmin 8499  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ↑cexp 10990   ∥ cdvds 12573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-dvds 12574

This theorem is used by:  pwbdvdseu  12966