Theorem reuccatpfxs1lem 11438

Description: Lemma for reuccatpfxs1 11439. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reuccatpfxs1lem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑥,𝑈   𝑉,𝑠,𝑥   𝑊,𝑠,𝑥   𝑋,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem reuccatpfxs1lem

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ Word 𝑉))
2		fveqeq2 5679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
3	1, 2	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) ↔ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
4	3	rspcv 2917	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
6		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
9	8	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11		ccats1pfxeqrex 11407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
13		s1eq 11307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“𝑢”⟩)
14	13	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩))
15	14	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
16		eqeq2 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑆 = 𝑠 ↔ 𝑆 = 𝑢))
17	15, 16	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
18	17	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
19		eleq1 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢))
21	20	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑆 = 𝑢)
22	21	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑢 = 𝑆)
23	22	s1eqd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → ⟨“𝑢”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
24	23	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))
25	24	eqeq2d 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
26	25	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
27	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
28	27	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
29	19, 28	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
30	29	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
31	18, 30	sylan9r 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
32	31	com23 78	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
33	32	rexlimdva 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
36	12, 35	syld 45	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
37	36	com23 78	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
39	5, 38	syld 45	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
40	39	com23 78	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
41	40	3imp 1220	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278  ⟨“cs1 11303   prefix cpfx 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-lsw 11270  df-concat 11279  df-s1 11304  df-substr 11338  df-pfx 11365

This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1  11439