Theorem prmgt1 12126

Description: A prime number is an integer greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prmgt1	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)

Proof of Theorem prmgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 12125	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eluz2 9532	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑃))
3		df-2 8976	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 2 = (1 + 1))
5	4	breq1d 4013	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑃 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑃))
6		1z 9277	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		zltp1le 9305	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑃 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑃))
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (1 < 𝑃 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑃))
9	8	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑃 → 1 < 𝑃))
10	5, 9	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑃 → 1 < 𝑃))
11	10	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑃) → 1 < 𝑃)
12	11	3adant1 1015	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑃) → 1 < 𝑃)
13	2, 12	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
14	1, 13	syl 14	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7990   ≤ cle 7991  2c2 8968  ℤcz 9251  ℤ_≥cuz 9526  ℙcprime 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790  df-prm 12102

This theorem is referenced by:  isprm5  12136  coprm  12138  prmexpb  12145  vfermltl  12245  dvdsprmpweqle  12330  pcmpt  12335  lgslem4  14335