Theorem znf1o 14580

Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
znf1o	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 14574	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 13937	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	4	zrhrhm 14552	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6		zringbas 14525	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		znf1o.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	6, 7	rhmf 14092	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
9	2, 3, 5, 8	4syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10		znf1o.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
12	11	iftrued 3589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = 0) → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
13	10, 12	eqtrid 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑊 = ℤ)
14		ssid 3224	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
15	13, 14	eqsstrdi 3256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑊 ⊆ ℤ)
16		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
17	16	iffalsed 3592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
18	10, 17	eqtrid 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑊 = (0..^𝑁))
19		elfzoelz 10311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
20	19	ssriv 3208	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
21	18, 20	eqsstrdi 3256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑊 ⊆ ℤ)
22		nn0z 9434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		0z 9425	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		zdceq 9490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 0)
26		exmiddc 840	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
28	15, 21, 27	mpjaodan 802	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑊 ⊆ ℤ)
29	9, 28	fssresd 5478	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
30		znf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
31	30	feq1i 5442	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
32	29, 31	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊⟶𝐵)
33	30	fveq1i 5604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
34		fvres 5627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
36	33, 35	eqtrid 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
37	30	fveq1i 5604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
38		fvres 5627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
39	38	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
40	37, 39	eqtrid 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
41	36, 40	eqeq12d 2224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
42		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	28	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑊 ⊆ ℤ)
44		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
45	43, 44	sseldd 3205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
46		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
47	43, 46	sseldd 3205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
48	1, 4	zndvds 14578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
49	42, 45, 47, 48	syl3anc 1252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
50		elnn0 9339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
51		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
52	51	nnnn0d 9390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	52, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑊 ⊆ ℤ)
54		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
55	53, 54	sseldd 3205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
56		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
57	53, 56	sseldd 3205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
58		moddvds 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
59	51, 55, 57, 58	syl3anc 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
60		zq 9789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℚ)
61	55, 60	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℚ)
62		nnq 9796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℚ)
64		nnne0 9106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
65		ifnefalse 3593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
67	10, 66	eqtrid 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
69	54, 68	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
70		elfzole1 10320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
72		elfzolt2 10321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
73	69, 72	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
74		modqid 10538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
75	61, 63, 71, 73, 74	syl22anc 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
76		zq 9789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
77	57, 76	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℚ)
78	56, 68	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
79		elfzole1 10320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
81		elfzolt2 10321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
82	78, 81	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
83		modqid 10538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
84	77, 63, 80, 82, 83	syl22anc 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
85	75, 84	eqeq12d 2224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
86	59, 85	bitr3d 190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
87		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 = 0)
88	87	breq1d 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
89		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
90		0nn0 9352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
91	89, 90	eqeltrdi 2300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
92	91, 45	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
93	91, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
94	92, 93	zsubcld 9542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
95		0dvds 12288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
97	92	zcnd 9538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
98	93	zcnd 9538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
99	97, 98	subeq0ad 8435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
100	88, 96, 99	3bitrd 214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
101	86, 100	jaoian 799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
102	50, 101	sylanb 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
103	41, 49, 102	3bitrd 214	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
104	103	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
105	104	ralrimivva 2592	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
106		dff13 5865	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
107	32, 105, 106	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1→𝐵)
108		zmodfzo 10536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
109	108	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
110	67	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
111	109, 110	eleqtrrd 2289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
112		zq 9789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℚ)
114	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
115		nngt0 9103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 < 𝑁)
117		modqabs2 10547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
120	20, 109	sselid 3202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
122		moddvds 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
124	118, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
125		nnnn0 9344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
127	1, 4	zndvds 14578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
128	126, 120, 121, 127	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
129	124, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
130	129	eqcomd 2215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
131		fveq2 5603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
132	131	rspceeqv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
133	111, 130, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
134		iftrue 3587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
135	134	eleq2d 2279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
136	135	biimpar 297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
137	136, 10	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ 𝑊)
138		eqidd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
139		fveq2 5603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
140	139	rspceeqv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
141	137, 138, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
142	133, 141	jaoian 799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
143	50, 142	sylanb 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
144	37, 38	eqtrid 2254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
145	144	eqeq2d 2221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
146	145	rexbiia 2525	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
147	143, 146	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
148	147	ralrimiva 2583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
149	1, 7, 4	znzrhfo 14577	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵)
150		fofn 5526	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
151		eqeq1 2216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
152	151	rexbidv 2511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
153	152	ralrn 5746	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
154	149, 150, 153	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
155	148, 154	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
156		forn 5527	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
157	149, 156	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
158	155, 157	raleqtrdv 2716	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
159		dffo3 5755	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
160	32, 158, 159	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–onto→𝐵)
161		df-f1o 5301	. 2 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝑊–onto→𝐵))
162	107, 160, 161	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 712  DECID wdc 838   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380  ∀wral 2488  ∃wrex 2489   ⊆ wss 3177  ifcif 3582   class class class wbr 4062  ran crn 4697   ↾ cres 4698   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  –1-1→wf1 5291  –onto→wfo 5292  –1-1-onto→wf1o 5293  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  0cc0 7967   < clt 8149   ≤ cle 8150   − cmin 8285  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  ℚcq 9782  ..^cfzo 10306   mod cmo 10511   ∥ cdvds 12264  Basecbs 12998  Ringcrg 13925  CRingccrg 13926   RingHom crh 14079  ℤ_ringczring 14519  ℤRHomczrh 14540  ℤ/nℤczn 14542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-addf 8089  ax-mulf 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-tpos 6361  df-recs 6421  df-frec 6507  df-er 6650  df-ec 6652  df-qs 6656  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-cj 11319  df-abs 11476  df-dvds 12265  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-starv 13091  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-unif 13099  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-iimas 13301  df-qus 13302  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-sbg 13504  df-mulg 13623  df-subg 13673  df-nsg 13674  df-eqg 13675  df-ghm 13744  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-rng 13862  df-ur 13889  df-srg 13893  df-ring 13927  df-cring 13928  df-oppr 13997  df-dvdsr 14018  df-rhm 14081  df-subrg 14148  df-lmod 14218  df-lssm 14282  df-lsp 14316  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398  df-rsp 14399  df-2idl 14429  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-fg 14478  df-metu 14479  df-cnfld 14486  df-zring 14520  df-zrh 14543  df-zn 14545

This theorem is referenced by:  znleval  14582  znfi  14584  znhash  14585