Theorem sqmuld 14193

Description: Distribution of squaring over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulexpd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))

Proof of Theorem sqmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulexpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		sqmul 14154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11097   · cmul 11104  2c2 12294  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14278  sqrtmul  15309  sqreulem  15410  bhmafibid1cn  15516  bhmafibid2cn  15517  bhmafibid1  15518  pythagtriplem1  16875  prmreclem1  16975  ipcau2  25361  csbren  25526  chordthmlem4  26965  heron  26968  quad2  26969  dquart  26983  cxp2limlem  27105  basellem8  27217  lgsdir  27461  2sqlem3  27549  2sqlem4  27550  2sqlem8  27555  2sqblem  27560  2sqmod  27565  axsegconlem9  29215  ax5seglem1  29218  ax5seglem2  29219  ax5seglem3  29221  pythagreim  33030  quad3d  33034  rrndstprj2  38369  3cubeslem2  43307  3cubeslem3r  43309  pellexlem6  43452  pell1234qrne0  43471  pell1234qrreccl  43472  pell1234qrmulcl  43473  pell14qrgt0  43477  pell14qrdich  43487  rmxyneg  43538  sqrtcval  44258  wallispi2lem1  46676  stirlinglem3  46681  stirlinglem10  46688  itscnhlc0yqe  49423  itschlc0yqe  49424  itsclc0yqsollem1  49426  itsclc0xyqsolr  49433  itsclquadb  49440  2itscplem1  49442  2itscplem2  49443  itscnhlinecirc02plem1  49446