Theorem sqmuld 14060

Description: Distribution of squaring over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulexpd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))

Proof of Theorem sqmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulexpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		sqmul 14021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℂcc 10999   · cmul 11006  2c2 12175  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14145  sqrtmul  15161  sqreulem  15262  bhmafibid1cn  15368  bhmafibid2cn  15369  bhmafibid1  15370  pythagtriplem1  16723  prmreclem1  16823  ipcau2  25156  csbren  25321  chordthmlem4  26767  heron  26770  quad2  26771  dquart  26785  cxp2limlem  26908  basellem8  27020  lgsdir  27265  2sqlem3  27353  2sqlem4  27354  2sqlem8  27359  2sqblem  27364  2sqmod  27369  axsegconlem9  28898  ax5seglem1  28901  ax5seglem2  28902  ax5seglem3  28904  pythagreim  32721  quad3d  32725  rrndstprj2  37871  3cubeslem2  42718  3cubeslem3r  42720  pellexlem6  42867  pell1234qrne0  42886  pell1234qrreccl  42887  pell1234qrmulcl  42888  pell14qrgt0  42892  pell14qrdich  42902  rmxyneg  42953  sqrtcval  43674  wallispi2lem1  46109  stirlinglem3  46114  stirlinglem10  46121  itscnhlc0yqe  48791  itschlc0yqe  48792  itsclc0yqsollem1  48794  itsclc0xyqsolr  48801  itsclquadb  48808  2itscplem1  48810  2itscplem2  48811  itscnhlinecirc02plem1  48814