2itscplem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2itscplem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 2itscplem3 50097

Description: Lemma D for 2itscp 50098. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscplem3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscplem3.s	⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
2itscplem3	⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

**Proof of Theorem 2itscplem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscplem3.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)))
3		2itscplem3.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)))
5	4	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
6		2itscp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
9		2itscp.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
10		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12		2itscp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
14	11, 13	subcld 11696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
15	9, 14	eqeltrid 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	15	sqcld 14314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17		2itscp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
18		2itscp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20		2itscp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	19, 21	subcld 11696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
23	17, 22	eqeltrid 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 14314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25	16, 24	addcld 11355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
26	8, 25	mulcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)))
27	16, 24, 8	adddird 11361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
28	5, 26, 27	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
29		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
30	20, 10, 18, 12, 17, 9, 29	2itscplem2 50096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
31	28, 30	oveq12d 7461	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
32	16, 8	mulcld 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
33	24, 8	mulcld 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 11355	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	11	sqcld 14314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 11356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
37		2cnd 12448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
38	23, 21	mulcld 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	15, 11	mulcld 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
41	37, 40	mulcld 11356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
42	34, 36, 41	subsub4d 11727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
43	42	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
44	43	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
45	34, 36	subcld 11696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
46	21	sqcld 14314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
47	16, 46	mulcld 11356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	45, 41, 47	sub32d 11728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
49	44, 48	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
50	36, 41	addcld 11355	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
51	34, 50, 47	subsub4d 11727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
52	32, 33, 36	addsubassd 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))))
53	24, 8, 35	subdid 11799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))))
54	53	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
55	54	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
56	52, 55	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
57	56	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
58	8, 35	subcld 11696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
59	24, 58	mulcld 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
60	32, 59, 47	addsubd 11717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
61	16, 8, 46	subdid 11799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
62	61	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
63	62	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
65	64	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
66	49, 51, 65	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
67	2, 31, 66	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 (class class class)co 7443 ℂcc 11225 ℝcr 11226 + caddc 11230 · cmul 11232 − cmin 11568 2c2 12424 ↑cexp 14231

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7775 ax-cnex 11283 ax-resscn 11284 ax-1cn 11285 ax-icn 11286 ax-addcl 11287 ax-addrcl 11288 ax-mulcl 11289 ax-mulrcl 11290 ax-mulcom 11291 ax-addass 11292 ax-mulass 11293 ax-distr 11294 ax-i2m1 11295 ax-1ne0 11296 ax-1rid 11297 ax-rnegex 11298 ax-rrecex 11299 ax-cnre 11300 ax-pre-lttri 11301 ax-pre-lttrn 11302 ax-pre-ltadd 11303 ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6322 df-ord 6383 df-on 6384 df-lim 6385 df-suc 6386 df-iota 6512 df-fun 6560 df-fn 6561 df-f 6562 df-f1 6563 df-fo 6564 df-f1o 6565 df-fv 6566 df-riota 7400 df-ov 7446 df-oprab 7447 df-mpo 7448 df-om 7902 df-2nd 8026 df-frecs 8327 df-wrecs 8358 df-recs 8407 df-rdg 8446 df-er 8745 df-en 9002 df-dom 9003 df-sdom 9004 df-pnf 11372 df-mnf 11373 df-xr 11374 df-ltxr 11375 df-le 11376 df-sub 11570 df-neg 11571 df-nn 12363 df-2 12432 df-n0 12634 df-z 12721 df-uz 12993 df-seq 14172 df-exp 14232

This theorem is used by: 2itscp 50098

W3C validator