2itscplem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2itscplem3 48701

Description: Lemma D for 2itscp 48702. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscplem3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscplem3.s	⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
2itscplem3	⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

**Proof of Theorem 2itscplem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscplem3.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)))
3		2itscplem3.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)))
5	4	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
6		2itscp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
9		2itscp.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
10		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12		2itscp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
14	11, 13	subcld 11620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
15	9, 14	eqeltrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	15	sqcld 14184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17		2itscp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
18		2itscp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20		2itscp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	19, 21	subcld 11620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
23	17, 22	eqeltrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 14184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25	16, 24	addcld 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
26	8, 25	mulcomd 11282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)))
27	16, 24, 8	adddird 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
28	5, 26, 27	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
29		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
30	20, 10, 18, 12, 17, 9, 29	2itscplem2 48700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
31	28, 30	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
32	16, 8	mulcld 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
33	24, 8	mulcld 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	11	sqcld 14184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
37		2cnd 12344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
38	23, 21	mulcld 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	15, 11	mulcld 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
41	37, 40	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
42	34, 36, 41	subsub4d 11651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
43	42	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
44	43	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
45	34, 36	subcld 11620	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
46	21	sqcld 14184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
47	16, 46	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	45, 41, 47	sub32d 11652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
49	44, 48	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
50	36, 41	addcld 11280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
51	34, 50, 47	subsub4d 11651	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
52	32, 33, 36	addsubassd 11640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))))
53	24, 8, 35	subdid 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))))
54	53	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
55	54	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
56	52, 55	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
57	56	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
58	8, 35	subcld 11620	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
59	24, 58	mulcld 11281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
60	32, 59, 47	addsubd 11641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
61	16, 8, 46	subdid 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
62	61	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
63	62	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
65	64	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
66	49, 51, 65	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
67	2, 31, 66	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 + caddc 11158 · cmul 11160 − cmin 11492 2c2 12321 ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-nn 12267 df-2 12329 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-seq 14043 df-exp 14103

This theorem is referenced by: 2itscp 48702

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