2itscplem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2itscplem3 46014

Description: Lemma D for 2itscp 46015. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscplem3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscplem3.s	⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
2itscplem3	⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

**Proof of Theorem 2itscplem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscplem3.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)))
3		2itscplem3.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)))
5	4	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
6		2itscp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 13790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
9		2itscp.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
10		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12		2itscp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
13	12	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
14	11, 13	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
15	9, 14	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	15	sqcld 13790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17		2itscp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
18		2itscp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20		2itscp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	19, 21	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
23	17, 22	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 13790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25	16, 24	addcld 10925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
26	8, 25	mulcomd 10927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)))
27	16, 24, 8	adddird 10931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
28	5, 26, 27	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
29		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
30	20, 10, 18, 12, 17, 9, 29	2itscplem2 46013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
31	28, 30	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
32	16, 8	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
33	24, 8	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	11	sqcld 13790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
37		2cnd 11981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
38	23, 21	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	15, 11	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
41	37, 40	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
42	34, 36, 41	subsub4d 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
43	42	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
44	43	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
45	34, 36	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
46	21	sqcld 13790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
47	16, 46	mulcld 10926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	45, 41, 47	sub32d 11294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
49	44, 48	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
50	36, 41	addcld 10925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
51	34, 50, 47	subsub4d 11293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
52	32, 33, 36	addsubassd 11282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))))
53	24, 8, 35	subdid 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))))
54	53	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
55	54	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
56	52, 55	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
57	56	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
58	8, 35	subcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
59	24, 58	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
60	32, 59, 47	addsubd 11283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
61	16, 8, 46	subdid 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
62	61	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
63	62	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
65	64	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
66	49, 51, 65	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
67	2, 31, 66	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 ℝcr 10801 + caddc 10805 · cmul 10807 − cmin 11135 2c2 11958 ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-nn 11904 df-2 11966 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-seq 13650 df-exp 13711

This theorem is referenced by: 2itscp 46015

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