Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem3 46956
Description: Lemma D for 2itscp 46957. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2itscp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2itscp.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2itscp.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2itscp.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
2itscp.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
2itscp.c ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
2itscp.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2itscplem3.q ๐‘„ = ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))
2itscplem3.s ๐‘† = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
2itscplem3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))

Proof of Theorem 2itscplem3
StepHypRef Expression
1 2itscplem3.s . . 3 ๐‘† = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
21a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
3 2itscplem3.q . . . . . 6 ๐‘„ = ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))
43a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
54oveq2d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) = ((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
6 2itscp.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
76recnd 11191 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
87sqcld 14058 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9 2itscp.e . . . . . . . 8 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
10 2itscp.b . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110recnd 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 2itscp.y . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
1312recnd 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
1411, 13subcld 11520 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
159, 14eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1615sqcld 14058 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17 2itscp.d . . . . . . . 8 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
18 2itscp.x . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1918recnd 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
20 2itscp.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2120recnd 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2219, 21subcld 11520 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2317, 22eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2423sqcld 14058 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2516, 24addcld 11182 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
268, 25mulcomd 11184 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)))
2716, 24, 8adddird 11188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
285, 26, 273eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
29 2itscp.c . . . 4 ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
3020, 10, 18, 12, 17, 9, 292itscplem2 46955 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
3128, 30oveq12d 7379 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))))
3216, 8mulcld 11183 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3324, 8mulcld 11183 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3432, 33addcld 11182 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
3511sqcld 14058 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3624, 35mulcld 11183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
37 2cnd 12239 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3823, 21mulcld 11183 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3915, 11mulcld 11183 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4038, 39mulcld 11183 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4137, 40mulcld 11183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
4234, 36, 41subsub4d 11551 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))))
4342eqcomd 2739 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) = (((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
4443oveq1d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = ((((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
4534, 36subcld 11520 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
4621sqcld 14058 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4716, 46mulcld 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
4845, 41, 47sub32d 11552 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = ((((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
4944, 48eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = ((((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
5036, 41addcld 11182 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
5134, 50, 47subsub4d 11551 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))))
5232, 33, 36addsubassd 11540 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + (((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
5324, 8, 35subdid 11619 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = (((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
5453eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
5554oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + (((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
5652, 55eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
5756oveq1d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
588, 35subcld 11520 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5924, 58mulcld 11183 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
6032, 59, 47addsubd 11541 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
6116, 8, 46subdid 11619 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
6261eqcomd 2739 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = ((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
6362oveq1d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) = (((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
6457, 60, 633eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) = (((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
6564oveq1d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
6649, 51, 653eqtr3d 2781 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
672, 31, 663eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  2c2 12216  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  2itscp  46957
  Copyright terms: Public domain W3C validator