2itscplem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2itscplem3 49268

Description: Lemma D for 2itscp 49269. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscplem3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscplem3.s	⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
2itscplem3	⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

**Proof of Theorem 2itscplem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscplem3.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)))
3		2itscplem3.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)))
5	4	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
6		2itscp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
9		2itscp.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
10		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12		2itscp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
14	11, 13	subcld 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
15	9, 14	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	15	sqcld 14097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17		2itscp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
18		2itscp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20		2itscp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	19, 21	subcld 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
23	17, 22	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 14097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25	16, 24	addcld 11155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
26	8, 25	mulcomd 11157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)))
27	16, 24, 8	adddird 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
28	5, 26, 27	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
29		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
30	20, 10, 18, 12, 17, 9, 29	2itscplem2 49267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
31	28, 30	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
32	16, 8	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
33	24, 8	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 11155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	11	sqcld 14097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
37		2cnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
38	23, 21	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	15, 11	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
41	37, 40	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
42	34, 36, 41	subsub4d 11527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
43	42	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
44	43	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
45	34, 36	subcld 11496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
46	21	sqcld 14097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
47	16, 46	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
48	45, 41, 47	sub32d 11528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
49	44, 48	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
50	36, 41	addcld 11155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
51	34, 50, 47	subsub4d 11527	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
52	32, 33, 36	addsubassd 11516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))))
53	24, 8, 35	subdid 11597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))))
54	53	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
55	54	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
56	52, 55	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
57	56	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
58	8, 35	subcld 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
59	24, 58	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
60	32, 59, 47	addsubd 11517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
61	16, 8, 46	subdid 11597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
62	61	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
63	62	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
65	64	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
66	49, 51, 65	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
67	2, 31, 66	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 ℝcr 11028 + caddc 11032 · cmul 11034 − cmin 11368 2c2 12227 ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-nn 12166 df-2 12235 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-seq 13955 df-exp 14015

This theorem is referenced by: 2itscp 49269

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