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Theorem 2itscplem3 46856
Description: Lemma D for 2itscp 46857. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
2itscp.c 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2itscplem3.q 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscplem3.s 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
2itscplem3 (𝜑𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))

Proof of Theorem 2itscplem3
StepHypRef Expression
1 2itscplem3.s . . 3 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)))
3 2itscplem3.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)))
54oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
6 2itscp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
76recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
87sqcld 14049 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
9 2itscp.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐵𝑌)
10 2itscp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
12 2itscp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1312recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
1411, 13subcld 11512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℂ)
159, 14eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1615sqcld 14049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17 2itscp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑋𝐴)
18 2itscp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1918recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
20 2itscp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2120recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2219, 21subcld 11512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
2317, 22eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2423sqcld 14049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
2516, 24addcld 11174 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
268, 25mulcomd 11176 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)))
2716, 24, 8adddird 11180 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
285, 26, 273eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
29 2itscp.c . . . 4 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
3020, 10, 18, 12, 17, 9, 292itscplem2 46855 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
3128, 30oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
3216, 8mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
3324, 8mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
3432, 33addcld 11174 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
3511sqcld 14049 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3624, 35mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
37 2cnd 12231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
3823, 21mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
3915, 11mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
4038, 39mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
4137, 40mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
4234, 36, 41subsub4d 11543 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
4342eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
4443oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
4534, 36subcld 11512 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
4621sqcld 14049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4716, 46mulcld 11175 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
4845, 41, 47sub32d 11544 . . . 4 (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
4944, 48eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
5036, 41addcld 11174 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
5134, 50, 47subsub4d 11543 . . 3 (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))))
5232, 33, 36addsubassd 11532 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))))
5324, 8, 35subdid 11611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))))
5453eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
5554oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
5652, 55eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
5756oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
588, 35subcld 11512 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
5924, 58mulcld 11175 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
6032, 59, 47addsubd 11533 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
6116, 8, 46subdid 11611 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
6261eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
6362oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
6457, 60, 633eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
6564oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → ((((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) − ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
6649, 51, 653eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))) = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
672, 31, 663eqtrd 2780 1 (𝜑𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  2c2 12208  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  2itscp  46857
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