Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem1 47464
Description: Lemma 1 for 2itscp 47467. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2itscp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2itscp.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2itscp.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2itscp.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
2itscp.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
2itscplem1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) = (((๐ท ยท ๐ด) โˆ’ (๐ธ ยท ๐ต))โ†‘2))

Proof of Theorem 2itscplem1
StepHypRef Expression
1 2itscp.e . . . . . . 7 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
2 2itscp.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
32recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 2itscp.y . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
54recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
63, 5subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
71, 6eqeltrid 2838 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
87sqcld 14109 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
93sqcld 14109 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
11 2itscp.d . . . . . . 7 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
12 2itscp.x . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1312recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
14 2itscp.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1514recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1613, 15subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1711, 16eqeltrid 2838 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1817sqcld 14109 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1915sqcld 14109 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2018, 19mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
21 2cnd 12290 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2217, 15mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
237, 3mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2422, 23mulcld 11234 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2521, 24mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2610, 20, 25addsubassd 11591 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))))
2720, 25subcld 11571 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
2810, 27addcomd 11416 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
2917, 15sqmuld 14123 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
3029eqcomd 2739 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = ((๐ท ยท ๐ด)โ†‘2))
3130oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) = (((๐ท ยท ๐ด)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
327, 3sqmuld 14123 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
3332eqcomd 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ธ ยท ๐ต)โ†‘2))
3431, 33oveq12d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((((๐ท ยท ๐ด)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธ ยท ๐ต)โ†‘2)))
3526, 28, 343eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) = ((((๐ท ยท ๐ด)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธ ยท ๐ต)โ†‘2)))
36 binom2sub 14183 . . 3 (((๐ท ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ท ยท ๐ด) โˆ’ (๐ธ ยท ๐ต))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ด)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธ ยท ๐ต)โ†‘2)))
3722, 23, 36syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ด) โˆ’ (๐ธ ยท ๐ต))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ด)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธ ยท ๐ต)โ†‘2)))
3835, 37eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) = (((๐ท ยท ๐ด) โˆ’ (๐ธ ยท ๐ต))โ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  2c2 12267  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  2itscp  47467
  Copyright terms: Public domain W3C validator