Theorem 2itscplem1 49266

Description: Lemma 1 for 2itscp 49269. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
2itscplem1	⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Proof of Theorem 2itscplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2		2itscp.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		2itscp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
7	1, 6	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
9	3	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11		2itscp.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
12		2itscp.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14		2itscp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	subcld 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
17	11, 16	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
18	17	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
19	15	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
21		2cnd 12250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	17, 15	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 3	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
26	10, 20, 25	addsubassd 11516	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
27	20, 25	subcld 11496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
28	10, 27	addcomd 11339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))))
29	17, 15	sqmuld 14111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
30	29	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) = ((𝐷 · 𝐴)↑2))
31	30	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
32	7, 3	sqmuld 14111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐵)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
33	32	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐸 · 𝐵)↑2))
34	31, 33	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
35	26, 28, 34	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
36		binom2sub 14173	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
37	22, 23, 36	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
38	35, 37	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  2c2 12227  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  2itscp  49269