Theorem 2itscplem1 49135

Description: Lemma 1 for 2itscp 49138. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
2itscplem1	⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Proof of Theorem 2itscplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2		2itscp.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		2itscp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
7	1, 6	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
9	3	sqcld 14079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11		2itscp.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
12		2itscp.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14		2itscp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	subcld 11504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
17	11, 16	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
18	17	sqcld 14079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
19	15	sqcld 14079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
21		2cnd 12235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	17, 15	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 3	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
26	10, 20, 25	addsubassd 11524	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
27	20, 25	subcld 11504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
28	10, 27	addcomd 11347	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))))
29	17, 15	sqmuld 14093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
30	29	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) = ((𝐷 · 𝐴)↑2))
31	30	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
32	7, 3	sqmuld 14093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐵)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
33	32	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐸 · 𝐵)↑2))
34	31, 33	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
35	26, 28, 34	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
36		binom2sub 14155	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
37	22, 23, 36	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
38	35, 37	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  2c2 12212  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  2itscp  49138