Theorem 2itscplem1 47454

Description: Lemma 1 for 2itscp 47457. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
2itscplem1	⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Proof of Theorem 2itscplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2		2itscp.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		2itscp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
7	1, 6	eqeltrid 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
9	3	sqcld 14108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11		2itscp.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
12		2itscp.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14		2itscp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	subcld 11570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
17	11, 16	eqeltrid 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
18	17	sqcld 14108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
19	15	sqcld 14108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
21		2cnd 12289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	17, 15	mulcld 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 3	mulcld 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 11233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
26	10, 20, 25	addsubassd 11590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
27	20, 25	subcld 11570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
28	10, 27	addcomd 11415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))))
29	17, 15	sqmuld 14122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
30	29	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) = ((𝐷 · 𝐴)↑2))
31	30	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
32	7, 3	sqmuld 14122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐵)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
33	32	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐸 · 𝐵)↑2))
34	31, 33	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
35	26, 28, 34	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
36		binom2sub 14182	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
37	22, 23, 36	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
38	35, 37	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443  2c2 12266  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  2itscp  47457