Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem1 46759
Description: Lemma 1 for 2itscp 46762. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
Assertion
Ref Expression
2itscplem1 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Proof of Theorem 2itscplem1
StepHypRef Expression
1 2itscp.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝐵𝑌)
2 2itscp.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32recnd 11142 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 2itscp.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
54recnd 11142 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
63, 5subcld 11471 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℂ)
71, 6eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
87sqcld 14002 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
93sqcld 14002 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
108, 9mulcld 11134 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11 2itscp.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑋𝐴)
12 2itscp.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1312recnd 11142 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
14 2itscp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 11142 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1613, 15subcld 11471 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
1711, 16eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1817sqcld 14002 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
1915sqcld 14002 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 11134 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
21 2cnd 12190 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2217, 15mulcld 11134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
237, 3mulcld 11134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
2422, 23mulcld 11134 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 11134 . . . 4 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
2610, 20, 25addsubassd 11491 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
2720, 25subcld 11471 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
2810, 27addcomd 11316 . . 3 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))))
2917, 15sqmuld 14016 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
3029eqcomd 2744 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) = ((𝐷 · 𝐴)↑2))
3130oveq1d 7367 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
327, 3sqmuld 14016 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐵)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
3332eqcomd 2744 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐸 · 𝐵)↑2))
3431, 33oveq12d 7370 . . 3 (𝜑 → ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
3526, 28, 343eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
36 binom2sub 14075 . . 3 (((𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
3722, 23, 36syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
3835, 37eqtr4d 2781 1 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7352  cc 11008  cr 11009   + caddc 11013   · cmul 11015  cmin 11344  2c2 12167  cexp 13922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-seq 13862  df-exp 13923
This theorem is referenced by:  2itscp  46762
  Copyright terms: Public domain W3C validator