Proof of Theorem 2itscplem1
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 2itscp.e | . . . . . . 7
⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌) | 
| 2 |  | 2itscp.b | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 3 | 2 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 4 |  | 2itscp.y | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) | 
| 5 | 4 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ) | 
| 6 | 3, 5 | subcld 11621 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ) | 
| 7 | 1, 6 | eqeltrid 2844 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) | 
| 8 | 7 | sqcld 14185 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ) | 
| 9 | 3 | sqcld 14185 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ) | 
| 10 | 8, 9 | mulcld 11282 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) | 
| 11 |  | 2itscp.d | . . . . . . 7
⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴) | 
| 12 |  | 2itscp.x | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 13 | 12 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) | 
| 14 |  | 2itscp.a | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 15 | 14 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 16 | 13, 15 | subcld 11621 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ) | 
| 17 | 11, 16 | eqeltrid 2844 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) | 
| 18 | 17 | sqcld 14185 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ) | 
| 19 | 15 | sqcld 14185 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ) | 
| 20 | 18, 19 | mulcld 11282 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ) | 
| 21 |  | 2cnd 12345 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) | 
| 22 | 17, 15 | mulcld 11282 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ) | 
| 23 | 7, 3 | mulcld 11282 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) | 
| 24 | 22, 23 | mulcld 11282 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ) | 
| 25 | 21, 24 | mulcld 11282 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ) | 
| 26 | 10, 20, 25 | addsubassd 11641 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))) | 
| 27 | 20, 25 | subcld 11621 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ) | 
| 28 | 10, 27 | addcomd 11464 | . . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))) | 
| 29 | 17, 15 | sqmuld 14199 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) | 
| 30 | 29 | eqcomd 2742 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) = ((𝐷 · 𝐴)↑2)) | 
| 31 | 30 | oveq1d 7447 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) | 
| 32 | 7, 3 | sqmuld 14199 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐵)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) | 
| 33 | 32 | eqcomd 2742 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐸 · 𝐵)↑2)) | 
| 34 | 31, 33 | oveq12d 7450 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2))) | 
| 35 | 26, 28, 34 | 3eqtrd 2780 | . 2
⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2))) | 
| 36 |  | binom2sub 14260 | . . 3
⊢ (((𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2))) | 
| 37 | 22, 23, 36 | syl2anc 584 | . 2
⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2))) | 
| 38 | 35, 37 | eqtr4d 2779 | 1
⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2)) |