Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem1 48628
Description: Lemma 1 for 2itscp 48631. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
Assertion
Ref Expression
2itscplem1 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Proof of Theorem 2itscplem1
StepHypRef Expression
1 2itscp.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝐵𝑌)
2 2itscp.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 2itscp.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
54recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
63, 5subcld 11618 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℂ)
71, 6eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
87sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
93sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
108, 9mulcld 11279 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11 2itscp.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑋𝐴)
12 2itscp.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1312recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
14 2itscp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1613, 15subcld 11618 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
1711, 16eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1817sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
1915sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 11279 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
21 2cnd 12342 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2217, 15mulcld 11279 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
237, 3mulcld 11279 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
2422, 23mulcld 11279 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 11279 . . . 4 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
2610, 20, 25addsubassd 11638 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
2720, 25subcld 11618 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
2810, 27addcomd 11461 . . 3 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))))
2917, 15sqmuld 14195 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
3029eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) = ((𝐷 · 𝐴)↑2))
3130oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
327, 3sqmuld 14195 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐵)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
3332eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐸 · 𝐵)↑2))
3431, 33oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
3526, 28, 343eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
36 binom2sub 14256 . . 3 (((𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
3722, 23, 36syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
3835, 37eqtr4d 2778 1 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  2c2 12319  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  2itscp  48631
  Copyright terms: Public domain W3C validator