Theorem 2itscplem1 48725

Description: Lemma 1 for 2itscp 48728. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
2itscplem1	⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Proof of Theorem 2itscplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2		2itscp.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		2itscp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
7	1, 6	eqeltrid 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
9	3	sqcld 14167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11		2itscp.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
12		2itscp.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14		2itscp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	subcld 11599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
17	11, 16	eqeltrid 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
18	17	sqcld 14167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
19	15	sqcld 14167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
21		2cnd 12323	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	17, 15	mulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 3	mulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 11260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℂ)
26	10, 20, 25	addsubassd 11619	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
27	20, 25	subcld 11599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ∈ ℂ)
28	10, 27	addcomd 11442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))) = ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))))
29	17, 15	sqmuld 14181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
30	29	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) = ((𝐷 · 𝐴)↑2))
31	30	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
32	7, 3	sqmuld 14181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐵)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
33	32	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐸 · 𝐵)↑2))
34	31, 33	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐵↑2))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
35	26, 28, 34	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
36		binom2sub 14243	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
37	22, 23, 36	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2) = ((((𝐷 · 𝐴)↑2) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸 · 𝐵)↑2)))
38	35, 37	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471  2c2 12300  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  2itscp  48728