Theorem 2sqreunnlem2 27782

Description: Lemma 2 for 2sqreunn 27784. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreulem4.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreunnlem2	⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝜓(𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑎)

Proof of Theorem 2sqreunnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 12609	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		2sqreulem4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
3	2	2sqreulem4 27781	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
4		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
5		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
6	4, 5	ssrmof 3976	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑))
7	6	ralimdv 3176	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑))
8	1, 3, 7	mp2 9	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑
9		ssralv 3977	. 2 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑))
10	1, 8, 9	mp2 9	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∀wral 3076  ∃*wrmo 3364   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420   + caddc 11203  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  2sqreunn  27784  2sqreunnlt  27787  2sqreunnltb  27788