Theorem 2sqreunnlem2 27517

Description: Lemma 2 for 2sqreunn 27519. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreulem4.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreunnlem2	⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑎)

Proof of Theorem 2sqreunnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 12556	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		2sqreulem4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
3	2	2sqreulem4 27516	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
4		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
5		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
6	4, 5	ssrmof 4076	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑))
7	6	ralimdv 3175	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑))
8	1, 3, 7	mp2 9	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑
9		ssralv 4077	. 2 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑))
10	1, 8, 9	mp2 9	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∀wral 3067  ∃*wrmo 3387   ⊆ wss 3976  (class class class)co 7448   + caddc 11187  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  2sqreunn  27519  2sqreunnlt  27522  2sqreunnltb  27523