Theorem 2timesltsq 48370

Description: Two times an integer greater than 2 is less than the square of the integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2timesltsq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < (𝐴↑2))

Proof of Theorem 2timesltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12387	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelz 12945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12773	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		eluz3nn 12986	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℕ)
6	5	nngt0d 12357	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 < 𝐴)
7	4, 6	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8		eluzle 12948	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝐴)
9		df-3 12376	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
10	9	breq1i 5109	. . . . 5 ⊢ (3 ≤ 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴)
11		2z 12698	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℤ)
13	12, 3	zltp1led 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
14	13	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 → 2 < 𝐴))
15	10, 14	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (3 ≤ 𝐴 → 2 < 𝐴))
16	8, 15	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝐴)
17		ltmul1a 12136	. . 3 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) ∧ 2 < 𝐴) → (2 · 𝐴) < (𝐴 · 𝐴))
18	2, 4, 7, 16, 17	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < (𝐴 · 𝐴))
19	3	zcnd 12774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	sqvald 14255	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
21	18, 20	breqtrrd 5132	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < (𝐴↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316  2c2 12367  3c3 12368  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ↑cexp 14173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-seq 14114  df-exp 14174

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1lem4  48630