Theorem 2timesltsq 47970

Description: Two times an integer greater than 2 is less than the square of the integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2timesltsq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < (𝐴↑2))

Proof of Theorem 2timesltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12306	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelz 12863	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		eluz3nn 12904	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℕ)
6	5	nngt0d 12276	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 < 𝐴)
7	4, 6	jca 520	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8		eluzle 12866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝐴)
9		df-3 12295	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
10	9	breq1i 5112	. . . . 5 ⊢ (3 ≤ 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴)
11		2z 12617	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℤ)
13	12, 3	zltp1led 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
14	13	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 → 2 < 𝐴))
15	10, 14	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (3 ≤ 𝐴 → 2 < 𝐴))
16	8, 15	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝐴)
17		ltmul1a 12055	. . 3 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) ∧ 2 < 𝐴) → (2 · 𝐴) < (𝐴 · 𝐴))
18	2, 4, 7, 16, 17	syl31anc 1396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < (𝐴 · 𝐴))
19	3	zcnd 12692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	sqvald 14170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
21	18, 20	breqtrrd 5133	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232  2c2 12286  3c3 12287  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem4  48230