Theorem 2timesltsqm1 47821

Description: Two times an integer greater than 2 is less than the square of the integer minus 1. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2timesltsqm1	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Proof of Theorem 2timesltsqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12255	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		peano2rem 11461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
7	6, 3	remulcld 11175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		eluzelz 12798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		zsqcl 14091	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 12633	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
12		peano2rem 11461	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
14		2p1e3 12318	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
15		eluzle 12801	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝐴)
16	14, 15	eqbrtrid 5121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
17		1red 11145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
18		leaddsub 11626	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
19	1, 17, 3, 18	mp3an2i 1469	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
20	16, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝐴 − 1))
21		eluz3nn 12839	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 12984	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23	2, 6, 22	lemul1d 13029	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ≤ (𝐴 − 1) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴))
25		eluzelcn 12800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 25	mulsubfacd 11611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 − 1) · 𝐴))
27	25	sqvald 14105	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
28	27	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
29	28	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴↑2) − 𝐴))
30		eluz2 12794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴))
31		df-3 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
32	31	breq1i 5093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ≤ 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴)
33		2z 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	34, 35	zltp1led 12582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
37	32, 36	bitr4id 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 ↔ 2 < 𝐴))
38		1red 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
40		zre 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		1lt2 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 2)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
45	38, 39, 41, 43, 44	lttrd 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
46	45	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → 1 < 𝐴))
47	37, 46	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴))
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴)))
49	48	3imp 1111	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴) → 1 < 𝐴)
50	30, 49	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝐴)
51	17, 3, 11, 50	ltsub2dd 11763	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
52	29, 51	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
53	26, 52	eqbrtrrd 5110	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
54	4, 7, 13, 24, 53	lelttrd 11304	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  2c2 12236  3c3 12237  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem3  48079