Theorem 2timesltsqm1 48654

Description: Two times an integer greater than 2 is less than the square of the integer minus 1. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2timesltsqm1	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Proof of Theorem 2timesltsqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12444	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 13003	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11366	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		peano2rem 11652	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
7	6, 3	remulcld 11366	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		eluzelz 13002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		zsqcl 14299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 12830	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
12		peano2rem 11652	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
14		2p1e3 12511	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
15		eluzle 13005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝐴)
16	14, 15	eqbrtrid 5143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
17		1red 11336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
18		leaddsub 11819	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
19	1, 17, 3, 18	mp3an2i 1496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
20	16, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝐴 − 1))
21		eluz3nn 13043	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 13189	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23	2, 6, 22	lemul1d 13234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ≤ (𝐴 − 1) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴))
25		eluzelcn 13004	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 25	mulsubfacd 11804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 − 1) · 𝐴))
27	25	sqvald 14313	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
28	27	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
29	28	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴↑2) − 𝐴))
30		eluz2 12998	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴))
31		df-3 12433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
32	31	breq1i 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ≤ 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴)
33		2z 12755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
35		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	34, 35	zltp1led 12778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
37	32, 36	bitr4id 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 ↔ 2 < 𝐴))
38		1red 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
40		zre 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		1lt2 12542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 2)
44		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
45	38, 39, 41, 43, 44	lttrd 11498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
46	45	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → 1 < 𝐴))
47	37, 46	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴))
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴)))
49	48	3imp 1128	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴) → 1 < 𝐴)
50	30, 49	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝐴)
51	17, 3, 11, 50	ltsub2dd 11956	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
52	29, 51	eqbrtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
53	26, 52	eqbrtrrd 5132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
54	4, 7, 13, 24, 53	lelttrd 11495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568  2c2 12424  3c3 12425  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1lem3  48912