Theorem 2timesltsqm1 48083

Description: Two times an integer greater than 2 is less than the square of the integer minus 1. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2timesltsqm1	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Proof of Theorem 2timesltsqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12314	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		peano2rem 11524	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
7	6, 3	remulcld 11238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		eluzelz 12871	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		zsqcl 14165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 12699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
12		peano2rem 11524	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
14		2p1e3 12381	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
15		eluzle 12874	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝐴)
16	14, 15	eqbrtrid 5145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
17		1red 11208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
18		leaddsub 11689	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
19	1, 17, 3, 18	mp3an2i 1493	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
20	16, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝐴 − 1))
21		eluz3nn 12912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 13057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23	2, 6, 22	lemul1d 13102	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ≤ (𝐴 − 1) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴))
25		eluzelcn 12873	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 25	mulsubfacd 11674	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 − 1) · 𝐴))
27	25	sqvald 14179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
28	27	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
29	28	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴↑2) − 𝐴))
30		eluz2 12867	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴))
31		df-3 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
32	31	breq1i 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ≤ 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴)
33		2z 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
35		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	34, 35	zltp1led 12648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
37	32, 36	bitr4id 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 ↔ 2 < 𝐴))
38		1red 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
40		zre 12594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		1lt2 12412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 2)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
45	38, 39, 41, 43, 44	lttrd 11370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
46	45	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → 1 < 𝐴))
47	37, 46	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴))
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴)))
49	48	3imp 1126	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴) → 1 < 𝐴)
50	30, 49	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝐴)
51	17, 3, 11, 50	ltsub2dd 11826	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
52	29, 51	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
53	26, 52	eqbrtrrd 5134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
54	4, 7, 13, 24, 53	lelttrd 11367	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  2c2 12294  3c3 12295  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ↑cexp 14097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14038  df-exp 14098

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem3  48341