Theorem 2timesltsqm1 47843

Description: Two times an integer greater than 2 is less than the square of the integer minus 1. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2timesltsqm1	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Proof of Theorem 2timesltsqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12253	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		peano2rem 11459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
7	6, 3	remulcld 11173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		eluzelz 12796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		zsqcl 14089	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 12631	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
12		peano2rem 11459	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
14		2p1e3 12316	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
15		eluzle 12799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝐴)
16	14, 15	eqbrtrid 5114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
17		1red 11143	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
18		leaddsub 11624	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
19	1, 17, 3, 18	mp3an2i 1474	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
20	16, 19	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝐴 − 1))
21		eluz3nn 12837	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 12982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23	2, 6, 22	lemul1d 13027	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ≤ (𝐴 − 1) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴))
25		eluzelcn 12798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 25	mulsubfacd 11609	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 − 1) · 𝐴))
27	25	sqvald 14103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
28	27	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
29	28	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴↑2) − 𝐴))
30		eluz2 12792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴))
31		df-3 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
32	31	breq1i 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ≤ 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴)
33		2z 12557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	34, 35	zltp1led 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
37	32, 36	bitr4id 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 ↔ 2 < 𝐴))
38		1red 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
40		zre 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		1lt2 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 2)
44		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
45	38, 39, 41, 43, 44	lttrd 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
46	45	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → 1 < 𝐴))
47	37, 46	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴))
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴)))
49	48	3imp 1116	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴) → 1 < 𝐴)
50	30, 49	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝐴)
51	17, 3, 11, 50	ltsub2dd 11761	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
52	29, 51	eqbrtrd 5101	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
53	26, 52	eqbrtrrd 5103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
54	4, 7, 13, 24, 53	lelttrd 11302	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  2c2 12234  3c3 12235  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem3  48101