Theorem 2timesltsqm1 47971

Description: Two times an integer greater than 2 is less than the square of the integer minus 1. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2timesltsqm1	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Proof of Theorem 2timesltsqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12306	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11227	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		peano2rem 11513	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
7	6, 3	remulcld 11227	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		eluzelz 12863	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		zsqcl 14156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 12691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
12		peano2rem 11513	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
14		2p1e3 12373	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
15		eluzle 12866	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝐴)
16	14, 15	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
17		1red 11197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
18		leaddsub 11678	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
19	1, 17, 3, 18	mp3an2i 1490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝐴 ↔ 2 ≤ (𝐴 − 1)))
20	16, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝐴 − 1))
21		eluz3nn 12904	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 13049	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23	2, 6, 22	lemul1d 13094	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ≤ (𝐴 − 1) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴 − 1) · 𝐴))
25		eluzelcn 12865	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 25	mulsubfacd 11663	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 − 1) · 𝐴))
27	25	sqvald 14170	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
28	27	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
29	28	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴↑2) − 𝐴))
30		eluz2 12859	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴))
31		df-3 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
32	31	breq1i 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ≤ 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴)
33		2z 12617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
35		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	34, 35	zltp1led 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
37	32, 36	bitr4id 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 ↔ 2 < 𝐴))
38		1red 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
40		zre 12586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		1lt2 12404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 2)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
45	38, 39, 41, 43, 44	lttrd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
46	45	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → 1 < 𝐴))
47	37, 46	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴))
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝐴 → 1 < 𝐴)))
49	48	3imp 1126	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝐴) → 1 < 𝐴)
50	30, 49	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝐴)
51	17, 3, 11, 50	ltsub2dd 11815	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴↑2) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
52	29, 51	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
53	26, 52	eqbrtrrd 5129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝐴 − 1) · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))
54	4, 7, 13, 24, 53	lelttrd 11356	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝐴) < ((𝐴↑2) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  2c2 12286  3c3 12287  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem3  48229