Theorem sqvald 14199

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   · cmul 11122  2c2 12312  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  sqoddm1div8  14299  cjmulval  15222  01sqrexlem5  15323  01sqrexlem6  15324  01sqrexlem7  15325  remsqsqrt  15333  sqrtmsq  15347  absid  15373  absre  15378  absresq  15379  abs1m  15413  abslem2  15417  sqreulem  15437  msqsqrtd  15520  tanval3  16214  sincossq  16256  cos2t  16258  sqrt2irrlem  16328  sqnprm  16785  isprm5  16790  coprimeprodsq  16892  pockthg  16990  4sqlem7  17028  4sqlem10  17031  mul4sqlem  17037  4sqlem12  17040  4sqlem15  17043  4sqlem16  17044  4sqlem17  17045  odadd2  19965  abvneg  20981  zringunit  21668  cphsubrglem  25389  rrxnm  25603  pjthlem1  25649  itgabs  26047  dvrec  26167  dvmptdiv  26186  dveflem  26191  tangtx  26723  tanregt0  26757  tanarg  26837  cxpsqrt  26921  lawcoslem1  27033  chordthmlem4  27053  heron  27056  quad2  27057  dcubic1lem  27061  dcubic1  27063  dcubic  27064  cubic2  27066  binom4  27068  dquartlem1  27069  dquartlem2  27070  dquart  27071  quart1lem  27073  asinsin  27110  cxp2limlem  27193  lgamgulmlem3  27248  wilthlem1  27285  basellem8  27305  chpub  27437  bposlem2  27502  lgssq  27554  lgssq2  27555  lgsquad3  27604  2sqlem3  27637  2sqlem8  27643  2sqmod  27653  chtppilimlem1  27690  rplogsumlem2  27702  dchrisum0lem1a  27703  dchrisum0lem1  27733  dchrisum0lem3  27736  mulog2sumlem1  27751  vmalogdivsum2  27755  logsqvma  27759  logdivbnd  27773  pntpbnd1a  27802  pntlemr  27819  pntlemf  27822  pntlemk  27823  pntlemo  27824  brbtwn2  29312  colinearalglem4  29316  htthlem  31342  pjhthlem1  31816  cnlnadjlem7  32498  branmfn  32530  leopnmid  32563  quad3d  33166  constrrtlc1  34188  constrrtcclem  34190  constrrtcc  34191  hgt750lemf  35107  hgt750leme  35112  dvtan  38380  itgabsnc  38399  ftc1anclem3  38405  areacirclem1  38418  3lexlogpow2ineq2  42886  aks6d1c7lem1  43007  quadfac  43032  nicomachus  43133  readvrec2  43182  3cubeslem1  43475  3cubeslem2  43476  3cubeslem3l  43477  irrapxlem5  43613  pellexlem2  43617  pellexlem6  43621  rmxdbl  43726  jm2.18  43775  jm2.19lem1  43776  jm2.20nn  43784  jm2.25  43786  jm2.27c  43794  jm3.1lem2  43805  int-sqdefd  44967  int-sqgeq0d  44972  sqrlearg  46329  dvdivf  46696  wallispi2lem1  46845  stirlinglem1  46848  stirlinglem3  46850  stirlinglem10  46857  smfmullem1  47565  sin3t  47668  cos3t  47669  2timesltsq  48175  2timesltsqm1  48176  nprmmul3  48338  fmtnorec2lem  48354  fmtnorec3  48360  modexp2m1d  48424  nprmdvdsfacm1lem1  48432  itschlc0yqe  49599  itscnhlc0xyqsol  49604  itschlc0xyqsol1  49605  itschlc0xyqsol  49606  itsclc0xyqsolr  49608