Theorem sqvald 14286

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   · cmul 11205  2c2 12397  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  sqoddm1div8  14387  cjmulval  15312  01sqrexlem5  15413  01sqrexlem6  15414  01sqrexlem7  15415  remsqsqrt  15423  sqrtmsq  15437  absid  15463  absre  15468  absresq  15469  abs1m  15503  abslem2  15507  sqreulem  15527  msqsqrtd  15610  tanval3  16302  sincossq  16344  cos2t  16346  sqrt2irrlem  16416  sqnprm  16878  isprm5  16883  coprimeprodsq  16986  pockthg  17084  4sqlem7  17122  4sqlem10  17125  mul4sqlem  17131  4sqlem12  17134  4sqlem15  17137  4sqlem16  17138  4sqlem17  17139  odadd2  20063  abvneg  21083  zringunit  21772  cphsubrglem  25498  rrxnm  25712  pjthlem1  25758  itgabs  26155  dvrec  26275  dvmptdiv  26294  dveflem  26299  tangtx  26834  tanregt0  26867  tanarg  26947  cxpsqrt  27031  lawcoslem1  27143  chordthmlem4  27163  heron  27166  quad2  27167  dcubic1lem  27171  dcubic1  27173  dcubic  27174  cubic2  27176  binom4  27178  dquartlem1  27179  dquartlem2  27180  dquart  27181  quart1lem  27183  asinsin  27220  cxp2limlem  27303  lgamgulmlem3  27358  wilthlem1  27395  basellem8  27415  chpub  27547  bposlem2  27612  lgssq  27664  lgssq2  27665  lgsquad3  27714  2sqlem3  27747  2sqlem8  27753  2sqmod  27763  chtppilimlem1  27800  rplogsumlem2  27812  dchrisum0lem1a  27813  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem3  27846  mulog2sumlem1  27861  vmalogdivsum2  27865  logsqvma  27869  logdivbnd  27883  pntpbnd1a  27912  pntlemr  27929  pntlemf  27932  pntlemk  27933  pntlemo  27934  brbtwn2  29483  colinearalglem4  29487  htthlem  31519  pjhthlem1  31993  cnlnadjlem7  32675  branmfn  32707  leopnmid  32740  quad3d  33341  constrrtlc1  34364  constrrtcclem  34366  constrrtcc  34367  hgt750lemf  35282  hgt750leme  35287  dvtan  38588  itgabsnc  38607  ftc1anclem3  38613  areacirclem1  38626  3lexlogpow2ineq2  43109  aks6d1c7lem1  43230  quadfac  43255  nicomachus  43369  readvrec2  43412  3cubeslem1  43694  3cubeslem2  43695  3cubeslem3l  43696  irrapxlem5  43832  pellexlem2  43836  pellexlem6  43840  rmxdbl  43945  jm2.18  43994  jm2.19lem1  43995  jm2.20nn  44003  jm2.25  44005  jm2.27c  44013  jm3.1lem2  44024  int-sqdefd  45180  int-sqgeq0d  45185  sqrlearg  46564  dvdivf  46931  wallispi2lem1  47080  stirlinglem1  47083  stirlinglem3  47085  stirlinglem10  47092  smfmullem1  47800  sin3t  47916  cos3t  47917  2timesltsq  48447  2timesltsqm1  48448  nprmmul3  48610  fmtnorec2lem  48626  fmtnorec3  48632  modexp2m1d  48696  nprmdvdsfacm1lem1  48704  itschlc0yqe  49871  itscnhlc0xyqsol  49876  itschlc0xyqsol1  49877  itschlc0xyqsol  49878  itsclc0xyqsolr  49880