Theorem sqvald 14175

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   · cmul 11100  2c2 12290  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14275  cjmulval  15192  01sqrexlem5  15293  01sqrexlem6  15294  01sqrexlem7  15295  remsqsqrt  15303  sqrtmsq  15317  absid  15343  absre  15348  absresq  15349  abs1m  15383  abslem2  15387  sqreulem  15407  msqsqrtd  15490  tanval3  16185  sincossq  16227  cos2t  16229  sqrt2irrlem  16299  sqnprm  16756  isprm5  16761  coprimeprodsq  16863  pockthg  16961  4sqlem7  16999  4sqlem10  17002  mul4sqlem  17008  4sqlem12  17011  4sqlem15  17014  4sqlem16  17015  4sqlem17  17016  odadd2  19914  abvneg  20929  zringunit  21616  cphsubrglem  25336  rrxnm  25550  pjthlem1  25596  itgabs  25994  dvrec  26114  dvmptdiv  26133  dveflem  26138  tangtx  26670  tanregt0  26704  tanarg  26784  cxpsqrt  26868  lawcoslem1  26980  chordthmlem4  27000  heron  27003  quad2  27004  dcubic1lem  27008  dcubic1  27010  dcubic  27011  cubic2  27013  binom4  27015  dquartlem1  27016  dquartlem2  27017  dquart  27018  quart1lem  27020  asinsin  27057  cxp2limlem  27140  lgamgulmlem3  27195  wilthlem1  27232  basellem8  27252  chpub  27384  bposlem2  27449  lgssq  27501  lgssq2  27502  lgsquad3  27551  2sqlem3  27584  2sqlem8  27590  2sqmod  27600  chtppilimlem1  27637  rplogsumlem2  27649  dchrisum0lem1a  27650  dchrisum0lem1  27680  dchrisum0lem3  27683  mulog2sumlem1  27698  vmalogdivsum2  27702  logsqvma  27706  logdivbnd  27720  pntpbnd1a  27749  pntlemr  27766  pntlemf  27769  pntlemk  27770  pntlemo  27771  brbtwn2  29255  colinearalglem4  29259  htthlem  31269  pjhthlem1  31743  cnlnadjlem7  32425  branmfn  32457  leopnmid  32490  quad3d  33094  constrrtlc1  34122  constrrtcclem  34124  constrrtcc  34125  hgt750lemf  35040  hgt750leme  35045  dvtan  38341  itgabsnc  38360  ftc1anclem3  38366  areacirclem1  38379  3lexlogpow2ineq2  42846  aks6d1c7lem1  42967  quadfac  42992  nicomachus  43093  readvrec2  43142  3cubeslem1  43435  3cubeslem2  43436  3cubeslem3l  43437  irrapxlem5  43573  pellexlem2  43577  pellexlem6  43581  rmxdbl  43686  jm2.18  43735  jm2.19lem1  43736  jm2.20nn  43744  jm2.25  43746  jm2.27c  43754  jm3.1lem2  43765  int-sqdefd  44927  int-sqgeq0d  44932  sqrlearg  46289  dvdivf  46656  wallispi2lem1  46805  stirlinglem1  46808  stirlinglem3  46810  stirlinglem10  46817  smfmullem1  47525  sin3t  47628  cos3t  47629  2timesltsq  48135  2timesltsqm1  48136  nprmmul3  48298  fmtnorec2lem  48314  fmtnorec3  48320  modexp2m1d  48384  nprmdvdsfacm1lem1  48392  itschlc0yqe  49560  itscnhlc0xyqsol  49565  itschlc0xyqsol1  49566  itschlc0xyqsol  49567  itsclc0xyqsolr  49569