Theorem sqvald 13859

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 13833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271  ℂcc 10870   · cmul 10877  2c2 12028  ↑cexp 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-seq 13720  df-exp 13781

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  13956  cjmulval  14854  sqrlem5  14956  sqrlem6  14957  sqrlem7  14958  remsqsqrt  14966  sqrtmsq  14980  absid  15006  absre  15011  absresq  15012  abs1m  15045  abslem2  15049  sqreulem  15069  msqsqrtd  15150  tanval3  15841  sincossq  15883  cos2t  15885  sqrt2irrlem  15955  sqnprm  16405  isprm5  16410  prmdvdssqOLD  16422  coprimeprodsq  16507  pockthg  16605  4sqlem7  16643  4sqlem10  16646  mul4sqlem  16652  4sqlem12  16655  4sqlem15  16658  4sqlem16  16659  4sqlem17  16660  odadd2  19448  abvneg  20092  zringunit  20686  cphsubrglem  24339  rrxnm  24553  pjthlem1  24599  itgabs  24997  dvrec  25117  dvmptdiv  25136  dveflem  25141  tangtx  25660  tanregt0  25693  tanarg  25772  cxpsqrt  25856  lawcoslem1  25963  chordthmlem4  25983  heron  25986  quad2  25987  dcubic1lem  25991  dcubic1  25993  dcubic  25994  cubic2  25996  binom4  25998  dquartlem1  25999  dquartlem2  26000  dquart  26001  quart1lem  26003  asinsin  26040  cxp2limlem  26123  lgamgulmlem3  26178  wilthlem1  26215  basellem8  26235  chpub  26366  bposlem2  26431  lgssq  26483  lgssq2  26484  lgsquad3  26533  2sqlem3  26566  2sqlem8  26572  2sqmod  26582  chtppilimlem1  26619  rplogsumlem2  26631  dchrisum0lem1a  26632  dchrisum0lem1  26662  dchrisum0lem3  26665  mulog2sumlem1  26680  vmalogdivsum2  26684  logsqvma  26688  logdivbnd  26702  pntpbnd1a  26731  pntlemr  26748  pntlemf  26751  pntlemk  26752  pntlemo  26753  brbtwn2  27271  colinearalglem4  27275  htthlem  29275  pjhthlem1  29749  cnlnadjlem7  30431  branmfn  30463  leopnmid  30496  hgt750lemf  32629  hgt750leme  32634  dvtan  35823  itgabsnc  35842  ftc1anclem3  35848  areacirclem1  35861  3lexlogpow2ineq2  40064  3cubeslem1  40503  3cubeslem2  40504  3cubeslem3l  40505  irrapxlem5  40645  pellexlem2  40649  pellexlem6  40653  rmxdbl  40758  jm2.18  40807  jm2.19lem1  40808  jm2.20nn  40816  jm2.25  40818  jm2.27c  40826  jm3.1lem2  40837  int-sqdefd  41762  int-sqgeq0d  41767  sqrlearg  43062  dvdivf  43434  wallispi2lem1  43583  stirlinglem1  43586  stirlinglem3  43588  stirlinglem10  43595  smfmullem1  44293  fmtnorec2lem  44963  fmtnorec3  44969  modexp2m1d  45033  itschlc0yqe  46075  itscnhlc0xyqsol  46080  itschlc0xyqsol1  46081  itschlc0xyqsol  46082  itsclc0xyqsolr  46084