Theorem sqvald 14050

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14021	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   · cmul 11011  2c2 12180  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14150  cjmulval  15052  01sqrexlem5  15153  01sqrexlem6  15154  01sqrexlem7  15155  remsqsqrt  15163  sqrtmsq  15177  absid  15203  absre  15208  absresq  15209  abs1m  15243  abslem2  15247  sqreulem  15267  msqsqrtd  15350  tanval3  16043  sincossq  16085  cos2t  16087  sqrt2irrlem  16157  sqnprm  16613  isprm5  16618  coprimeprodsq  16720  pockthg  16818  4sqlem7  16856  4sqlem10  16859  mul4sqlem  16865  4sqlem12  16868  4sqlem15  16871  4sqlem16  16872  4sqlem17  16873  odadd2  19761  abvneg  20741  zringunit  21403  cphsubrglem  25104  rrxnm  25318  pjthlem1  25364  itgabs  25763  dvrec  25886  dvmptdiv  25905  dveflem  25910  tangtx  26441  tanregt0  26475  tanarg  26555  cxpsqrt  26639  lawcoslem1  26752  chordthmlem4  26772  heron  26775  quad2  26776  dcubic1lem  26780  dcubic1  26782  dcubic  26783  cubic2  26785  binom4  26787  dquartlem1  26788  dquartlem2  26789  dquart  26790  quart1lem  26792  asinsin  26829  cxp2limlem  26913  lgamgulmlem3  26968  wilthlem1  27005  basellem8  27025  chpub  27158  bposlem2  27223  lgssq  27275  lgssq2  27276  lgsquad3  27325  2sqlem3  27358  2sqlem8  27364  2sqmod  27374  chtppilimlem1  27411  rplogsumlem2  27423  dchrisum0lem1a  27424  dchrisum0lem1  27454  dchrisum0lem3  27457  mulog2sumlem1  27472  vmalogdivsum2  27476  logsqvma  27480  logdivbnd  27494  pntpbnd1a  27523  pntlemr  27540  pntlemf  27543  pntlemk  27544  pntlemo  27545  brbtwn2  28883  colinearalglem4  28887  htthlem  30897  pjhthlem1  31371  cnlnadjlem7  32053  branmfn  32085  leopnmid  32118  quad3d  32733  constrrtlc1  33745  constrrtcclem  33747  constrrtcc  33748  hgt750lemf  34666  hgt750leme  34671  dvtan  37720  itgabsnc  37739  ftc1anclem3  37745  areacirclem1  37758  3lexlogpow2ineq2  42162  aks6d1c7lem1  42283  nicomachus  42415  readvrec2  42464  3cubeslem1  42787  3cubeslem2  42788  3cubeslem3l  42789  irrapxlem5  42929  pellexlem2  42933  pellexlem6  42937  rmxdbl  43042  jm2.18  43091  jm2.19lem1  43092  jm2.20nn  43100  jm2.25  43102  jm2.27c  43110  jm3.1lem2  43121  int-sqdefd  44284  int-sqgeq0d  44289  sqrlearg  45663  dvdivf  46030  wallispi2lem1  46179  stirlinglem1  46182  stirlinglem3  46184  stirlinglem10  46191  smfmullem1  46899  fmtnorec2lem  47652  fmtnorec3  47658  modexp2m1d  47722  itschlc0yqe  48871  itscnhlc0xyqsol  48876  itschlc0xyqsol1  48877  itschlc0xyqsol  48878  itsclc0xyqsolr  48880