Theorem sqvald 14166

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   · cmul 11139  2c2 12300  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14266  cjmulval  15169  01sqrexlem5  15270  01sqrexlem6  15271  01sqrexlem7  15272  remsqsqrt  15280  sqrtmsq  15294  absid  15320  absre  15325  absresq  15326  abs1m  15359  abslem2  15363  sqreulem  15383  msqsqrtd  15464  tanval3  16157  sincossq  16199  cos2t  16201  sqrt2irrlem  16271  sqnprm  16726  isprm5  16731  coprimeprodsq  16833  pockthg  16931  4sqlem7  16969  4sqlem10  16972  mul4sqlem  16978  4sqlem12  16981  4sqlem15  16984  4sqlem16  16985  4sqlem17  16986  odadd2  19835  abvneg  20791  zringunit  21432  cphsubrglem  25134  rrxnm  25348  pjthlem1  25394  itgabs  25793  dvrec  25916  dvmptdiv  25935  dveflem  25940  tangtx  26471  tanregt0  26505  tanarg  26585  cxpsqrt  26669  lawcoslem1  26782  chordthmlem4  26802  heron  26805  quad2  26806  dcubic1lem  26810  dcubic1  26812  dcubic  26813  cubic2  26815  binom4  26817  dquartlem1  26818  dquartlem2  26819  dquart  26820  quart1lem  26822  asinsin  26859  cxp2limlem  26943  lgamgulmlem3  26998  wilthlem1  27035  basellem8  27055  chpub  27188  bposlem2  27253  lgssq  27305  lgssq2  27306  lgsquad3  27355  2sqlem3  27388  2sqlem8  27394  2sqmod  27404  chtppilimlem1  27441  rplogsumlem2  27453  dchrisum0lem1a  27454  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem3  27487  mulog2sumlem1  27502  vmalogdivsum2  27506  logsqvma  27510  logdivbnd  27524  pntpbnd1a  27553  pntlemr  27570  pntlemf  27573  pntlemk  27574  pntlemo  27575  brbtwn2  28889  colinearalglem4  28893  htthlem  30903  pjhthlem1  31377  cnlnadjlem7  32059  branmfn  32091  leopnmid  32124  quad3d  32732  constrrtlc1  33771  constrrtcclem  33773  constrrtcc  33774  hgt750lemf  34690  hgt750leme  34695  dvtan  37699  itgabsnc  37718  ftc1anclem3  37724  areacirclem1  37737  3lexlogpow2ineq2  42077  aks6d1c7lem1  42198  nicomachus  42330  readvrec2  42379  3cubeslem1  42682  3cubeslem2  42683  3cubeslem3l  42684  irrapxlem5  42824  pellexlem2  42828  pellexlem6  42832  rmxdbl  42938  jm2.18  42987  jm2.19lem1  42988  jm2.20nn  42996  jm2.25  42998  jm2.27c  43006  jm3.1lem2  43017  int-sqdefd  44180  int-sqgeq0d  44185  sqrlearg  45562  dvdivf  45931  wallispi2lem1  46080  stirlinglem1  46083  stirlinglem3  46085  stirlinglem10  46092  smfmullem1  46800  fmtnorec2lem  47536  fmtnorec3  47542  modexp2m1d  47606  itschlc0yqe  48720  itscnhlc0xyqsol  48725  itschlc0xyqsol1  48726  itschlc0xyqsol  48727  itsclc0xyqsolr  48729