Theorem sqvald 14180

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   · cmul 11158  2c2 12319  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14279  cjmulval  15181  01sqrexlem5  15282  01sqrexlem6  15283  01sqrexlem7  15284  remsqsqrt  15292  sqrtmsq  15306  absid  15332  absre  15337  absresq  15338  abs1m  15371  abslem2  15375  sqreulem  15395  msqsqrtd  15476  tanval3  16167  sincossq  16209  cos2t  16211  sqrt2irrlem  16281  sqnprm  16736  isprm5  16741  coprimeprodsq  16842  pockthg  16940  4sqlem7  16978  4sqlem10  16981  mul4sqlem  16987  4sqlem12  16990  4sqlem15  16993  4sqlem16  16994  4sqlem17  16995  odadd2  19882  abvneg  20844  zringunit  21495  cphsubrglem  25225  rrxnm  25439  pjthlem1  25485  itgabs  25885  dvrec  26008  dvmptdiv  26027  dveflem  26032  tangtx  26562  tanregt0  26596  tanarg  26676  cxpsqrt  26760  lawcoslem1  26873  chordthmlem4  26893  heron  26896  quad2  26897  dcubic1lem  26901  dcubic1  26903  dcubic  26904  cubic2  26906  binom4  26908  dquartlem1  26909  dquartlem2  26910  dquart  26911  quart1lem  26913  asinsin  26950  cxp2limlem  27034  lgamgulmlem3  27089  wilthlem1  27126  basellem8  27146  chpub  27279  bposlem2  27344  lgssq  27396  lgssq2  27397  lgsquad3  27446  2sqlem3  27479  2sqlem8  27485  2sqmod  27495  chtppilimlem1  27532  rplogsumlem2  27544  dchrisum0lem1a  27545  dchrisum0lem1  27575  dchrisum0lem3  27578  mulog2sumlem1  27593  vmalogdivsum2  27597  logsqvma  27601  logdivbnd  27615  pntpbnd1a  27644  pntlemr  27661  pntlemf  27664  pntlemk  27665  pntlemo  27666  brbtwn2  28935  colinearalglem4  28939  htthlem  30946  pjhthlem1  31420  cnlnadjlem7  32102  branmfn  32134  leopnmid  32167  quad3d  32761  constrrtlc1  33738  constrrtcclem  33740  constrrtcc  33741  hgt750lemf  34647  hgt750leme  34652  dvtan  37657  itgabsnc  37676  ftc1anclem3  37682  areacirclem1  37695  3lexlogpow2ineq2  42041  aks6d1c7lem1  42162  nicomachus  42325  readvrec2  42370  3cubeslem1  42672  3cubeslem2  42673  3cubeslem3l  42674  irrapxlem5  42814  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  rmxdbl  42928  jm2.18  42977  jm2.19lem1  42978  jm2.20nn  42986  jm2.25  42988  jm2.27c  42996  jm3.1lem2  43007  int-sqdefd  44171  int-sqgeq0d  44176  sqrlearg  45506  dvdivf  45878  wallispi2lem1  46027  stirlinglem1  46030  stirlinglem3  46032  stirlinglem10  46039  smfmullem1  46747  fmtnorec2lem  47467  fmtnorec3  47473  modexp2m1d  47537  itschlc0yqe  48610  itscnhlc0xyqsol  48615  itschlc0xyqsol1  48616  itschlc0xyqsol  48617  itsclc0xyqsolr  48619