Theorem sqvald 14064

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   · cmul 11029  2c2 12198  ↑cexp 13982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-exp 13983

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14164  cjmulval  15066  01sqrexlem5  15167  01sqrexlem6  15168  01sqrexlem7  15169  remsqsqrt  15177  sqrtmsq  15191  absid  15217  absre  15222  absresq  15223  abs1m  15257  abslem2  15261  sqreulem  15281  msqsqrtd  15364  tanval3  16057  sincossq  16099  cos2t  16101  sqrt2irrlem  16171  sqnprm  16627  isprm5  16632  coprimeprodsq  16734  pockthg  16832  4sqlem7  16870  4sqlem10  16873  mul4sqlem  16879  4sqlem12  16882  4sqlem15  16885  4sqlem16  16886  4sqlem17  16887  odadd2  19776  abvneg  20757  zringunit  21419  cphsubrglem  25131  rrxnm  25345  pjthlem1  25391  itgabs  25790  dvrec  25913  dvmptdiv  25932  dveflem  25937  tangtx  26468  tanregt0  26502  tanarg  26582  cxpsqrt  26666  lawcoslem1  26779  chordthmlem4  26799  heron  26802  quad2  26803  dcubic1lem  26807  dcubic1  26809  dcubic  26810  cubic2  26812  binom4  26814  dquartlem1  26815  dquartlem2  26816  dquart  26817  quart1lem  26819  asinsin  26856  cxp2limlem  26940  lgamgulmlem3  26995  wilthlem1  27032  basellem8  27052  chpub  27185  bposlem2  27250  lgssq  27302  lgssq2  27303  lgsquad3  27352  2sqlem3  27385  2sqlem8  27391  2sqmod  27401  chtppilimlem1  27438  rplogsumlem2  27450  dchrisum0lem1a  27451  dchrisum0lem1  27481  dchrisum0lem3  27484  mulog2sumlem1  27499  vmalogdivsum2  27503  logsqvma  27507  logdivbnd  27521  pntpbnd1a  27550  pntlemr  27567  pntlemf  27570  pntlemk  27571  pntlemo  27572  brbtwn2  28927  colinearalglem4  28931  htthlem  30941  pjhthlem1  31415  cnlnadjlem7  32097  branmfn  32129  leopnmid  32162  quad3d  32778  constrrtlc1  33838  constrrtcclem  33840  constrrtcc  33841  hgt750lemf  34759  hgt750leme  34764  dvtan  37810  itgabsnc  37829  ftc1anclem3  37835  areacirclem1  37848  3lexlogpow2ineq2  42252  aks6d1c7lem1  42373  nicomachus  42509  readvrec2  42558  3cubeslem1  42868  3cubeslem2  42869  3cubeslem3l  42870  irrapxlem5  43010  pellexlem2  43014  pellexlem6  43018  rmxdbl  43123  jm2.18  43172  jm2.19lem1  43173  jm2.20nn  43181  jm2.25  43183  jm2.27c  43191  jm3.1lem2  43202  int-sqdefd  44364  int-sqgeq0d  44369  sqrlearg  45741  dvdivf  46108  wallispi2lem1  46257  stirlinglem1  46260  stirlinglem3  46262  stirlinglem10  46269  smfmullem1  46977  fmtnorec2lem  47730  fmtnorec3  47736  modexp2m1d  47800  itschlc0yqe  48948  itscnhlc0xyqsol  48953  itschlc0xyqsol1  48954  itschlc0xyqsol  48955  itsclc0xyqsolr  48957