Theorem sqvald 14099

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14070	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030   · cmul 11037  2c2 12230  ↑cexp 14017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-seq 13958  df-exp 14018

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14199  cjmulval  15101  01sqrexlem5  15202  01sqrexlem6  15203  01sqrexlem7  15204  remsqsqrt  15212  sqrtmsq  15226  absid  15252  absre  15257  absresq  15258  abs1m  15292  abslem2  15296  sqreulem  15316  msqsqrtd  15399  tanval3  16095  sincossq  16137  cos2t  16139  sqrt2irrlem  16209  sqnprm  16666  isprm5  16671  coprimeprodsq  16773  pockthg  16871  4sqlem7  16909  4sqlem10  16912  mul4sqlem  16918  4sqlem12  16921  4sqlem15  16924  4sqlem16  16925  4sqlem17  16926  odadd2  19818  abvneg  20797  zringunit  21459  cphsubrglem  25157  rrxnm  25371  pjthlem1  25417  itgabs  25815  dvrec  25935  dvmptdiv  25954  dveflem  25959  tangtx  26485  tanregt0  26519  tanarg  26599  cxpsqrt  26683  lawcoslem1  26795  chordthmlem4  26815  heron  26818  quad2  26819  dcubic1lem  26823  dcubic1  26825  dcubic  26826  cubic2  26828  binom4  26830  dquartlem1  26831  dquartlem2  26832  dquart  26833  quart1lem  26835  asinsin  26872  cxp2limlem  26956  lgamgulmlem3  27011  wilthlem1  27048  basellem8  27068  chpub  27200  bposlem2  27265  lgssq  27317  lgssq2  27318  lgsquad3  27367  2sqlem3  27400  2sqlem8  27406  2sqmod  27416  chtppilimlem1  27453  rplogsumlem2  27465  dchrisum0lem1a  27466  dchrisum0lem1  27496  dchrisum0lem3  27499  mulog2sumlem1  27514  vmalogdivsum2  27518  logsqvma  27522  logdivbnd  27536  pntpbnd1a  27565  pntlemr  27582  pntlemf  27585  pntlemk  27586  pntlemo  27587  brbtwn2  28991  colinearalglem4  28995  htthlem  31006  pjhthlem1  31480  cnlnadjlem7  32162  branmfn  32194  leopnmid  32227  quad3d  32840  constrrtlc1  33895  constrrtcclem  33897  constrrtcc  33898  hgt750lemf  34816  hgt750leme  34821  dvtan  38008  itgabsnc  38027  ftc1anclem3  38033  areacirclem1  38046  3lexlogpow2ineq2  42515  aks6d1c7lem1  42636  nicomachus  42761  readvrec2  42810  3cubeslem1  43133  3cubeslem2  43134  3cubeslem3l  43135  irrapxlem5  43275  pellexlem2  43279  pellexlem6  43283  rmxdbl  43388  jm2.18  43437  jm2.19lem1  43438  jm2.20nn  43446  jm2.25  43448  jm2.27c  43456  jm3.1lem2  43467  int-sqdefd  44629  int-sqgeq0d  44634  sqrlearg  46004  dvdivf  46371  wallispi2lem1  46520  stirlinglem1  46523  stirlinglem3  46525  stirlinglem10  46532  smfmullem1  47240  sin3t  47338  cos3t  47339  2timesltsq  47841  2timesltsqm1  47842  nprmmul3  48004  fmtnorec2lem  48020  fmtnorec3  48026  modexp2m1d  48090  nprmdvdsfacm1lem1  48098  itschlc0yqe  49251  itscnhlc0xyqsol  49256  itschlc0xyqsol1  49257  itschlc0xyqsol  49258  itsclc0xyqsolr  49260