Theorem sqvald 14326

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   · cmul 11244  2c2 12437  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  sqoddm1div8  14428  cjmulval  15355  01sqrexlem5  15456  01sqrexlem6  15457  01sqrexlem7  15458  remsqsqrt  15466  sqrtmsq  15480  absid  15506  absre  15511  absresq  15512  abs1m  15546  abslem2  15551  sqreulem  15571  msqsqrtd  15654  tanval3  16346  sincossq  16388  cos2t  16390  sqrt2irrlem  16460  sqnprm  16922  isprm5  16927  coprimeprodsq  17030  pockthg  17128  4sqlem7  17166  4sqlem10  17169  mul4sqlem  17175  4sqlem12  17178  4sqlem15  17181  4sqlem16  17182  4sqlem17  17183  odadd2  20114  abvneg  21134  zringunit  21827  cphsubrglem  25553  rrxnm  25767  pjthlem1  25813  itgabs  26210  dvrec  26330  dvmptdiv  26349  dveflem  26354  tangtx  26891  tanregt0  26924  tanarg  27004  cxpsqrt  27088  lawcoslem1  27200  chordthmlem4  27220  heron  27223  quad2  27224  dcubic1lem  27228  dcubic1  27230  dcubic  27231  cubic2  27233  binom4  27235  dquartlem1  27236  dquartlem2  27237  dquart  27238  quart1lem  27240  asinsin  27277  cxp2limlem  27360  lgamgulmlem3  27415  wilthlem1  27452  basellem8  27472  chpub  27604  bposlem2  27669  lgssq  27721  lgssq2  27722  lgsquad3  27771  2sqlem3  27804  2sqlem8  27810  2sqmod  27820  chtppilimlem1  27857  rplogsumlem2  27869  dchrisum0lem1a  27870  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem3  27903  mulog2sumlem1  27918  vmalogdivsum2  27922  logsqvma  27926  logdivbnd  27940  pntpbnd1a  27969  pntlemr  27986  pntlemf  27989  pntlemk  27990  pntlemo  27991  brbtwn2  29540  colinearalglem4  29544  htthlem  31576  pjhthlem1  32050  cnlnadjlem7  32732  branmfn  32764  leopnmid  32797  quad3d  33437  constrrtlc1  34475  constrrtcclem  34477  constrrtcc  34478  hgt750lemf  35393  hgt750leme  35398  dvtan  38856  itgabsnc  38875  ftc1anclem3  38881  areacirclem1  38894  3lexlogpow2ineq2  43375  aks6d1c7lem1  43496  quadfac  43521  nicomachus  43635  readvrec2  43678  3cubeslem1  43960  3cubeslem2  43961  3cubeslem3l  43962  irrapxlem5  44099  pellexlem2  44103  pellexlem6  44107  rmxdbl  44212  jm2.18  44261  jm2.19lem1  44262  jm2.20nn  44270  jm2.25  44272  jm2.27c  44280  jm3.1lem2  44291  int-sqdefd  45442  int-sqgeq0d  45447  sqrlearg  46838  dvdivf  47205  wallispi2lem1  47354  stirlinglem1  47357  stirlinglem3  47359  stirlinglem10  47366  smfmullem1  48074  sin3t  48190  cos3t  48191  2timesltsq  48721  2timesltsqm1  48722  nprmmul3  48884  fmtnorec2lem  48900  fmtnorec3  48906  modexp2m1d  48970  nprmdvdsfacm1lem1  48978  itschlc0yqe  50203  itscnhlc0xyqsol  50208  itschlc0xyqsol1  50209  itschlc0xyqsol  50210  itsclc0xyqsolr  50212  coshsinhsq  51260