Theorem sqvald 14078

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   · cmul 11043  2c2 12212  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14178  cjmulval  15080  01sqrexlem5  15181  01sqrexlem6  15182  01sqrexlem7  15183  remsqsqrt  15191  sqrtmsq  15205  absid  15231  absre  15236  absresq  15237  abs1m  15271  abslem2  15275  sqreulem  15295  msqsqrtd  15378  tanval3  16071  sincossq  16113  cos2t  16115  sqrt2irrlem  16185  sqnprm  16641  isprm5  16646  coprimeprodsq  16748  pockthg  16846  4sqlem7  16884  4sqlem10  16887  mul4sqlem  16893  4sqlem12  16896  4sqlem15  16899  4sqlem16  16900  4sqlem17  16901  odadd2  19790  abvneg  20771  zringunit  21433  cphsubrglem  25145  rrxnm  25359  pjthlem1  25405  itgabs  25804  dvrec  25927  dvmptdiv  25946  dveflem  25951  tangtx  26482  tanregt0  26516  tanarg  26596  cxpsqrt  26680  lawcoslem1  26793  chordthmlem4  26813  heron  26816  quad2  26817  dcubic1lem  26821  dcubic1  26823  dcubic  26824  cubic2  26826  binom4  26828  dquartlem1  26829  dquartlem2  26830  dquart  26831  quart1lem  26833  asinsin  26870  cxp2limlem  26954  lgamgulmlem3  27009  wilthlem1  27046  basellem8  27066  chpub  27199  bposlem2  27264  lgssq  27316  lgssq2  27317  lgsquad3  27366  2sqlem3  27399  2sqlem8  27405  2sqmod  27415  chtppilimlem1  27452  rplogsumlem2  27464  dchrisum0lem1a  27465  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem3  27498  mulog2sumlem1  27513  vmalogdivsum2  27517  logsqvma  27521  logdivbnd  27535  pntpbnd1a  27564  pntlemr  27581  pntlemf  27584  pntlemk  27585  pntlemo  27586  brbtwn2  28990  colinearalglem4  28994  htthlem  31005  pjhthlem1  31479  cnlnadjlem7  32161  branmfn  32193  leopnmid  32226  quad3d  32840  constrrtlc1  33910  constrrtcclem  33912  constrrtcc  33913  hgt750lemf  34831  hgt750leme  34836  dvtan  37921  itgabsnc  37940  ftc1anclem3  37946  areacirclem1  37959  3lexlogpow2ineq2  42429  aks6d1c7lem1  42550  nicomachus  42682  readvrec2  42731  3cubeslem1  43041  3cubeslem2  43042  3cubeslem3l  43043  irrapxlem5  43183  pellexlem2  43187  pellexlem6  43191  rmxdbl  43296  jm2.18  43345  jm2.19lem1  43346  jm2.20nn  43354  jm2.25  43356  jm2.27c  43364  jm3.1lem2  43375  int-sqdefd  44537  int-sqgeq0d  44542  sqrlearg  45913  dvdivf  46280  wallispi2lem1  46429  stirlinglem1  46432  stirlinglem3  46434  stirlinglem10  46441  smfmullem1  47149  fmtnorec2lem  47902  fmtnorec3  47908  modexp2m1d  47972  itschlc0yqe  49120  itscnhlc0xyqsol  49125  itschlc0xyqsol1  49126  itschlc0xyqsol  49127  itsclc0xyqsolr  49129