Theorem sqvald 14208

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11123   · cmul 11130  2c2 12320  ↑cexp 14126

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-seq 14067  df-exp 14127

This theorem is used by:  sqoddm1div8  14308  cjmulval  15233  01sqrexlem5  15334  01sqrexlem6  15335  01sqrexlem7  15336  remsqsqrt  15344  sqrtmsq  15358  absid  15384  absre  15389  absresq  15390  abs1m  15424  abslem2  15428  sqreulem  15448  msqsqrtd  15531  tanval3  16223  sincossq  16265  cos2t  16267  sqrt2irrlem  16337  sqnprm  16794  isprm5  16799  coprimeprodsq  16901  pockthg  16999  4sqlem7  17037  4sqlem10  17040  mul4sqlem  17046  4sqlem12  17049  4sqlem15  17052  4sqlem16  17053  4sqlem17  17054  odadd2  19977  abvneg  20993  zringunit  21680  cphsubrglem  25406  rrxnm  25620  pjthlem1  25666  itgabs  26063  dvrec  26183  dvmptdiv  26202  dveflem  26207  tangtx  26744  tanregt0  26777  tanarg  26857  cxpsqrt  26941  lawcoslem1  27053  chordthmlem4  27073  heron  27076  quad2  27077  dcubic1lem  27081  dcubic1  27083  dcubic  27084  cubic2  27086  binom4  27088  dquartlem1  27089  dquartlem2  27090  dquart  27091  quart1lem  27093  asinsin  27130  cxp2limlem  27213  lgamgulmlem3  27268  wilthlem1  27305  basellem8  27325  chpub  27457  bposlem2  27522  lgssq  27574  lgssq2  27575  lgsquad3  27624  2sqlem3  27657  2sqlem8  27663  2sqmod  27673  chtppilimlem1  27710  rplogsumlem2  27722  dchrisum0lem1a  27723  dchrisum0lem1  27753  dchrisum0lem3  27756  mulog2sumlem1  27771  vmalogdivsum2  27775  logsqvma  27779  logdivbnd  27793  pntpbnd1a  27822  pntlemr  27839  pntlemf  27842  pntlemk  27843  pntlemo  27844  brbtwn2  29363  colinearalglem4  29367  htthlem  31399  pjhthlem1  31873  cnlnadjlem7  32555  branmfn  32587  leopnmid  32620  quad3d  33221  constrrtlc1  34243  constrrtcclem  34245  constrrtcc  34246  hgt750lemf  35162  hgt750leme  35167  dvtan  38420  itgabsnc  38439  ftc1anclem3  38445  areacirclem1  38458  3lexlogpow2ineq2  42926  aks6d1c7lem1  43047  quadfac  43072  nicomachus  43188  readvrec2  43237  3cubeslem1  43530  3cubeslem2  43531  3cubeslem3l  43532  irrapxlem5  43668  pellexlem2  43672  pellexlem6  43676  rmxdbl  43781  jm2.18  43830  jm2.19lem1  43831  jm2.20nn  43839  jm2.25  43841  jm2.27c  43849  jm3.1lem2  43860  int-sqdefd  45022  int-sqgeq0d  45027  sqrlearg  46384  dvdivf  46751  wallispi2lem1  46900  stirlinglem1  46903  stirlinglem3  46905  stirlinglem10  46912  smfmullem1  47620  sin3t  47736  cos3t  47737  2timesltsq  48267  2timesltsqm1  48268  nprmmul3  48430  fmtnorec2lem  48446  fmtnorec3  48452  modexp2m1d  48516  nprmdvdsfacm1lem1  48524  itschlc0yqe  49691  itscnhlc0xyqsol  49696  itschlc0xyqsol1  49697  itschlc0xyqsol  49698  itsclc0xyqsolr  49700