Theorem sqvald 14296

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℂcc 11208   · cmul 11215  2c2 12407  ↑cexp 14214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-seq 14155  df-exp 14215

This theorem is used by:  sqoddm1div8  14397  cjmulval  15324  01sqrexlem5  15425  01sqrexlem6  15426  01sqrexlem7  15427  remsqsqrt  15435  sqrtmsq  15449  absid  15475  absre  15480  absresq  15481  abs1m  15515  abslem2  15519  sqreulem  15539  msqsqrtd  15622  tanval3  16314  sincossq  16356  cos2t  16358  sqrt2irrlem  16428  sqnprm  16890  isprm5  16895  coprimeprodsq  16998  pockthg  17096  4sqlem7  17134  4sqlem10  17137  mul4sqlem  17143  4sqlem12  17146  4sqlem15  17149  4sqlem16  17150  4sqlem17  17151  odadd2  20075  abvneg  21095  zringunit  21784  cphsubrglem  25510  rrxnm  25724  pjthlem1  25770  itgabs  26167  dvrec  26287  dvmptdiv  26306  dveflem  26311  tangtx  26846  tanregt0  26879  tanarg  26959  cxpsqrt  27043  lawcoslem1  27155  chordthmlem4  27175  heron  27178  quad2  27179  dcubic1lem  27183  dcubic1  27185  dcubic  27186  cubic2  27188  binom4  27190  dquartlem1  27191  dquartlem2  27192  dquart  27193  quart1lem  27195  asinsin  27232  cxp2limlem  27315  lgamgulmlem3  27370  wilthlem1  27407  basellem8  27427  chpub  27559  bposlem2  27624  lgssq  27676  lgssq2  27677  lgsquad3  27726  2sqlem3  27759  2sqlem8  27765  2sqmod  27775  chtppilimlem1  27812  rplogsumlem2  27824  dchrisum0lem1a  27825  dchrisum0lem1  27855  dchrisum0lem3  27858  mulog2sumlem1  27873  vmalogdivsum2  27877  logsqvma  27881  logdivbnd  27895  pntpbnd1a  27924  pntlemr  27941  pntlemf  27944  pntlemk  27945  pntlemo  27946  brbtwn2  29495  colinearalglem4  29499  htthlem  31531  pjhthlem1  32005  cnlnadjlem7  32687  branmfn  32719  leopnmid  32752  quad3d  33394  constrrtlc1  34417  constrrtcclem  34419  constrrtcc  34420  hgt750lemf  35335  hgt750leme  35340  dvtan  38728  itgabsnc  38747  ftc1anclem3  38753  areacirclem1  38766  3lexlogpow2ineq2  43249  aks6d1c7lem1  43370  quadfac  43395  nicomachus  43509  readvrec2  43552  3cubeslem1  43834  3cubeslem2  43835  3cubeslem3l  43836  irrapxlem5  43973  pellexlem2  43977  pellexlem6  43981  rmxdbl  44086  jm2.18  44135  jm2.19lem1  44136  jm2.20nn  44144  jm2.25  44146  jm2.27c  44154  jm3.1lem2  44165  int-sqdefd  45321  int-sqgeq0d  45326  sqrlearg  46704  dvdivf  47071  wallispi2lem1  47220  stirlinglem1  47223  stirlinglem3  47225  stirlinglem10  47232  smfmullem1  47940  sin3t  48056  cos3t  48057  2timesltsq  48587  2timesltsqm1  48588  nprmmul3  48750  fmtnorec2lem  48766  fmtnorec3  48772  modexp2m1d  48836  nprmdvdsfacm1lem1  48844  itschlc0yqe  50011  itscnhlc0xyqsol  50016  itschlc0xyqsol1  50017  itschlc0xyqsol  50018  itsclc0xyqsolr  50020