Theorem sqvald 14105

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14076	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   · cmul 11043  2c2 12236  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14205  cjmulval  15107  01sqrexlem5  15208  01sqrexlem6  15209  01sqrexlem7  15210  remsqsqrt  15218  sqrtmsq  15232  absid  15258  absre  15263  absresq  15264  abs1m  15298  abslem2  15302  sqreulem  15322  msqsqrtd  15405  tanval3  16101  sincossq  16143  cos2t  16145  sqrt2irrlem  16215  sqnprm  16672  isprm5  16677  coprimeprodsq  16779  pockthg  16877  4sqlem7  16915  4sqlem10  16918  mul4sqlem  16924  4sqlem12  16927  4sqlem15  16930  4sqlem16  16931  4sqlem17  16932  odadd2  19824  abvneg  20803  zringunit  21446  cphsubrglem  25144  rrxnm  25358  pjthlem1  25404  itgabs  25802  dvrec  25922  dvmptdiv  25941  dveflem  25946  tangtx  26469  tanregt0  26503  tanarg  26583  cxpsqrt  26667  lawcoslem1  26779  chordthmlem4  26799  heron  26802  quad2  26803  dcubic1lem  26807  dcubic1  26809  dcubic  26810  cubic2  26812  binom4  26814  dquartlem1  26815  dquartlem2  26816  dquart  26817  quart1lem  26819  asinsin  26856  cxp2limlem  26939  lgamgulmlem3  26994  wilthlem1  27031  basellem8  27051  chpub  27183  bposlem2  27248  lgssq  27300  lgssq2  27301  lgsquad3  27350  2sqlem3  27383  2sqlem8  27389  2sqmod  27399  chtppilimlem1  27436  rplogsumlem2  27448  dchrisum0lem1a  27449  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem3  27482  mulog2sumlem1  27497  vmalogdivsum2  27501  logsqvma  27505  logdivbnd  27519  pntpbnd1a  27548  pntlemr  27565  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  brbtwn2  28974  colinearalglem4  28978  htthlem  30988  pjhthlem1  31462  cnlnadjlem7  32144  branmfn  32176  leopnmid  32209  quad3d  32822  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  constrrtcc  33879  hgt750lemf  34797  hgt750leme  34802  dvtan  37991  itgabsnc  38010  ftc1anclem3  38016  areacirclem1  38029  3lexlogpow2ineq2  42498  aks6d1c7lem1  42619  nicomachus  42744  readvrec2  42793  3cubeslem1  43116  3cubeslem2  43117  3cubeslem3l  43118  irrapxlem5  43254  pellexlem2  43258  pellexlem6  43262  rmxdbl  43367  jm2.18  43416  jm2.19lem1  43417  jm2.20nn  43425  jm2.25  43427  jm2.27c  43435  jm3.1lem2  43446  int-sqdefd  44608  int-sqgeq0d  44613  sqrlearg  45983  dvdivf  46350  wallispi2lem1  46499  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem10  46511  smfmullem1  47219  sin3t  47319  cos3t  47320  2timesltsq  47826  2timesltsqm1  47827  nprmmul3  47989  fmtnorec2lem  48005  fmtnorec3  48011  modexp2m1d  48075  nprmdvdsfacm1lem1  48083  itschlc0yqe  49236  itscnhlc0xyqsol  49241  itschlc0xyqsol1  49242  itschlc0xyqsol  49243  itsclc0xyqsolr  49245