Theorem sqvald 14084

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14055	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   · cmul 11049  2c2 12217  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14184  cjmulval  15087  01sqrexlem5  15188  01sqrexlem6  15189  01sqrexlem7  15190  remsqsqrt  15198  sqrtmsq  15212  absid  15238  absre  15243  absresq  15244  abs1m  15278  abslem2  15282  sqreulem  15302  msqsqrtd  15385  tanval3  16078  sincossq  16120  cos2t  16122  sqrt2irrlem  16192  sqnprm  16648  isprm5  16653  coprimeprodsq  16755  pockthg  16853  4sqlem7  16891  4sqlem10  16894  mul4sqlem  16900  4sqlem12  16903  4sqlem15  16906  4sqlem16  16907  4sqlem17  16908  odadd2  19755  abvneg  20711  zringunit  21352  cphsubrglem  25053  rrxnm  25267  pjthlem1  25313  itgabs  25712  dvrec  25835  dvmptdiv  25854  dveflem  25859  tangtx  26390  tanregt0  26424  tanarg  26504  cxpsqrt  26588  lawcoslem1  26701  chordthmlem4  26721  heron  26724  quad2  26725  dcubic1lem  26729  dcubic1  26731  dcubic  26732  cubic2  26734  binom4  26736  dquartlem1  26737  dquartlem2  26738  dquart  26739  quart1lem  26741  asinsin  26778  cxp2limlem  26862  lgamgulmlem3  26917  wilthlem1  26954  basellem8  26974  chpub  27107  bposlem2  27172  lgssq  27224  lgssq2  27225  lgsquad3  27274  2sqlem3  27307  2sqlem8  27313  2sqmod  27323  chtppilimlem1  27360  rplogsumlem2  27372  dchrisum0lem1a  27373  dchrisum0lem1  27403  dchrisum0lem3  27406  mulog2sumlem1  27421  vmalogdivsum2  27425  logsqvma  27429  logdivbnd  27443  pntpbnd1a  27472  pntlemr  27489  pntlemf  27492  pntlemk  27493  pntlemo  27494  brbtwn2  28808  colinearalglem4  28812  htthlem  30819  pjhthlem1  31293  cnlnadjlem7  31975  branmfn  32007  leopnmid  32040  quad3d  32646  constrrtlc1  33695  constrrtcclem  33697  constrrtcc  33698  hgt750lemf  34617  hgt750leme  34622  dvtan  37637  itgabsnc  37656  ftc1anclem3  37662  areacirclem1  37675  3lexlogpow2ineq2  42020  aks6d1c7lem1  42141  nicomachus  42273  readvrec2  42322  3cubeslem1  42645  3cubeslem2  42646  3cubeslem3l  42647  irrapxlem5  42787  pellexlem2  42791  pellexlem6  42795  rmxdbl  42901  jm2.18  42950  jm2.19lem1  42951  jm2.20nn  42959  jm2.25  42961  jm2.27c  42969  jm3.1lem2  42980  int-sqdefd  44143  int-sqgeq0d  44148  sqrlearg  45524  dvdivf  45893  wallispi2lem1  46042  stirlinglem1  46045  stirlinglem3  46047  stirlinglem10  46054  smfmullem1  46762  fmtnorec2lem  47516  fmtnorec3  47522  modexp2m1d  47586  itschlc0yqe  48722  itscnhlc0xyqsol  48727  itschlc0xyqsol1  48728  itschlc0xyqsol  48729  itsclc0xyqsolr  48731