Theorem sqvald 13789

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 13763	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   · cmul 10807  2c2 11958  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  13886  cjmulval  14784  sqrlem5  14886  sqrlem6  14887  sqrlem7  14888  remsqsqrt  14896  sqrtmsq  14910  absid  14936  absre  14941  absresq  14942  abs1m  14975  abslem2  14979  sqreulem  14999  msqsqrtd  15080  tanval3  15771  sincossq  15813  cos2t  15815  sqrt2irrlem  15885  sqnprm  16335  isprm5  16340  prmdvdssqOLD  16352  coprimeprodsq  16437  pockthg  16535  4sqlem7  16573  4sqlem10  16576  mul4sqlem  16582  4sqlem12  16585  4sqlem15  16588  4sqlem16  16589  4sqlem17  16590  odadd2  19365  abvneg  20009  zringunit  20600  cphsubrglem  24246  rrxnm  24460  pjthlem1  24506  itgabs  24904  dvrec  25024  dvmptdiv  25043  dveflem  25048  tangtx  25567  tanregt0  25600  tanarg  25679  cxpsqrt  25763  lawcoslem1  25870  chordthmlem4  25890  heron  25893  quad2  25894  dcubic1lem  25898  dcubic1  25900  dcubic  25901  cubic2  25903  binom4  25905  dquartlem1  25906  dquartlem2  25907  dquart  25908  quart1lem  25910  asinsin  25947  cxp2limlem  26030  lgamgulmlem3  26085  wilthlem1  26122  basellem8  26142  chpub  26273  bposlem2  26338  lgssq  26390  lgssq2  26391  lgsquad3  26440  2sqlem3  26473  2sqlem8  26479  2sqmod  26489  chtppilimlem1  26526  rplogsumlem2  26538  dchrisum0lem1a  26539  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem3  26572  mulog2sumlem1  26587  vmalogdivsum2  26591  logsqvma  26595  logdivbnd  26609  pntpbnd1a  26638  pntlemr  26655  pntlemf  26658  pntlemk  26659  pntlemo  26660  brbtwn2  27176  colinearalglem4  27180  htthlem  29180  pjhthlem1  29654  cnlnadjlem7  30336  branmfn  30368  leopnmid  30401  hgt750lemf  32533  hgt750leme  32538  dvtan  35754  itgabsnc  35773  ftc1anclem3  35779  areacirclem1  35792  3lexlogpow2ineq2  39995  3cubeslem1  40422  3cubeslem2  40423  3cubeslem3l  40424  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  pellexlem6  40572  rmxdbl  40677  jm2.18  40726  jm2.19lem1  40727  jm2.20nn  40735  jm2.25  40737  jm2.27c  40745  jm3.1lem2  40756  int-sqdefd  41681  int-sqgeq0d  41686  sqrlearg  42981  dvdivf  43353  wallispi2lem1  43502  stirlinglem1  43505  stirlinglem3  43507  stirlinglem10  43514  smfmullem1  44212  fmtnorec2lem  44882  fmtnorec3  44888  modexp2m1d  44952  itschlc0yqe  45994  itscnhlc0xyqsol  45999  itschlc0xyqsol1  46000  itschlc0xyqsol  46001  itsclc0xyqsolr  46003