Theorem sqvald 14143

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11138   · cmul 11145  2c2 12300  ↑cexp 14062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14241  cjmulval  15128  01sqrexlem5  15229  01sqrexlem6  15230  01sqrexlem7  15231  remsqsqrt  15239  sqrtmsq  15253  absid  15279  absre  15284  absresq  15285  abs1m  15318  abslem2  15322  sqreulem  15342  msqsqrtd  15423  tanval3  16114  sincossq  16156  cos2t  16158  sqrt2irrlem  16228  sqnprm  16676  isprm5  16681  prmdvdssqOLD  16693  coprimeprodsq  16780  pockthg  16878  4sqlem7  16916  4sqlem10  16919  mul4sqlem  16925  4sqlem12  16928  4sqlem15  16931  4sqlem16  16932  4sqlem17  16933  odadd2  19816  abvneg  20726  zringunit  21409  cphsubrglem  25149  rrxnm  25363  pjthlem1  25409  itgabs  25808  dvrec  25931  dvmptdiv  25950  dveflem  25955  tangtx  26485  tanregt0  26518  tanarg  26598  cxpsqrt  26682  lawcoslem1  26792  chordthmlem4  26812  heron  26815  quad2  26816  dcubic1lem  26820  dcubic1  26822  dcubic  26823  cubic2  26825  binom4  26827  dquartlem1  26828  dquartlem2  26829  dquart  26830  quart1lem  26832  asinsin  26869  cxp2limlem  26953  lgamgulmlem3  27008  wilthlem1  27045  basellem8  27065  chpub  27198  bposlem2  27263  lgssq  27315  lgssq2  27316  lgsquad3  27365  2sqlem3  27398  2sqlem8  27404  2sqmod  27414  chtppilimlem1  27451  rplogsumlem2  27463  dchrisum0lem1a  27464  dchrisum0lem1  27494  dchrisum0lem3  27497  mulog2sumlem1  27512  vmalogdivsum2  27516  logsqvma  27520  logdivbnd  27534  pntpbnd1a  27563  pntlemr  27580  pntlemf  27583  pntlemk  27584  pntlemo  27585  brbtwn2  28788  colinearalglem4  28792  htthlem  30799  pjhthlem1  31273  cnlnadjlem7  31955  branmfn  31987  leopnmid  32020  hgt750lemf  34416  hgt750leme  34421  dvtan  37274  itgabsnc  37293  ftc1anclem3  37299  areacirclem1  37312  3lexlogpow2ineq2  41662  aks6d1c7lem1  41783  nicomachus  42007  3cubeslem1  42246  3cubeslem2  42247  3cubeslem3l  42248  irrapxlem5  42388  pellexlem2  42392  pellexlem6  42396  rmxdbl  42502  jm2.18  42551  jm2.19lem1  42552  jm2.20nn  42560  jm2.25  42562  jm2.27c  42570  jm3.1lem2  42581  int-sqdefd  43753  int-sqgeq0d  43758  sqrlearg  45076  dvdivf  45448  wallispi2lem1  45597  stirlinglem1  45600  stirlinglem3  45602  stirlinglem10  45609  smfmullem1  46317  fmtnorec2lem  47019  fmtnorec3  47025  modexp2m1d  47089  itschlc0yqe  48019  itscnhlc0xyqsol  48024  itschlc0xyqsol1  48025  itschlc0xyqsol  48026  itsclc0xyqsolr  48028