Theorem sqvald 14159

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 14130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   · cmul 11132  2c2 12293  ↑cexp 14077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 14018  df-exp 14078

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  14259  cjmulval  15162  01sqrexlem5  15263  01sqrexlem6  15264  01sqrexlem7  15265  remsqsqrt  15273  sqrtmsq  15287  absid  15313  absre  15318  absresq  15319  abs1m  15352  abslem2  15356  sqreulem  15376  msqsqrtd  15457  tanval3  16150  sincossq  16192  cos2t  16194  sqrt2irrlem  16264  sqnprm  16719  isprm5  16724  coprimeprodsq  16826  pockthg  16924  4sqlem7  16962  4sqlem10  16965  mul4sqlem  16971  4sqlem12  16974  4sqlem15  16977  4sqlem16  16978  4sqlem17  16979  odadd2  19828  abvneg  20784  zringunit  21425  cphsubrglem  25127  rrxnm  25341  pjthlem1  25387  itgabs  25786  dvrec  25909  dvmptdiv  25928  dveflem  25933  tangtx  26464  tanregt0  26498  tanarg  26578  cxpsqrt  26662  lawcoslem1  26775  chordthmlem4  26795  heron  26798  quad2  26799  dcubic1lem  26803  dcubic1  26805  dcubic  26806  cubic2  26808  binom4  26810  dquartlem1  26811  dquartlem2  26812  dquart  26813  quart1lem  26815  asinsin  26852  cxp2limlem  26936  lgamgulmlem3  26991  wilthlem1  27028  basellem8  27048  chpub  27181  bposlem2  27246  lgssq  27298  lgssq2  27299  lgsquad3  27348  2sqlem3  27381  2sqlem8  27387  2sqmod  27397  chtppilimlem1  27434  rplogsumlem2  27446  dchrisum0lem1a  27447  dchrisum0lem1  27477  dchrisum0lem3  27480  mulog2sumlem1  27495  vmalogdivsum2  27499  logsqvma  27503  logdivbnd  27517  pntpbnd1a  27546  pntlemr  27563  pntlemf  27566  pntlemk  27567  pntlemo  27568  brbtwn2  28830  colinearalglem4  28834  htthlem  30844  pjhthlem1  31318  cnlnadjlem7  32000  branmfn  32032  leopnmid  32065  quad3d  32673  constrrtlc1  33712  constrrtcclem  33714  constrrtcc  33715  hgt750lemf  34631  hgt750leme  34636  dvtan  37640  itgabsnc  37659  ftc1anclem3  37665  areacirclem1  37678  3lexlogpow2ineq2  42018  aks6d1c7lem1  42139  nicomachus  42308  readvrec2  42351  3cubeslem1  42654  3cubeslem2  42655  3cubeslem3l  42656  irrapxlem5  42796  pellexlem2  42800  pellexlem6  42804  rmxdbl  42910  jm2.18  42959  jm2.19lem1  42960  jm2.20nn  42968  jm2.25  42970  jm2.27c  42978  jm3.1lem2  42989  int-sqdefd  44152  int-sqgeq0d  44157  sqrlearg  45530  dvdivf  45899  wallispi2lem1  46048  stirlinglem1  46051  stirlinglem3  46053  stirlinglem10  46060  smfmullem1  46768  fmtnorec2lem  47504  fmtnorec3  47510  modexp2m1d  47574  itschlc0yqe  48688  itscnhlc0xyqsol  48693  itschlc0xyqsol1  48694  itschlc0xyqsol  48695  itsclc0xyqsolr  48697