Theorem sqvald 13322

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 13296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6976  ℂcc 10333   · cmul 10340  2c2 11495  ↑cexp 13244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-seq 13185  df-exp 13245

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  13419  cjmulval  14365  sqrlem5  14467  sqrlem6  14468  sqrlem7  14469  remsqsqrt  14477  sqrtmsq  14491  absid  14517  absre  14522  absresq  14523  abs1m  14556  abslem2  14560  sqreulem  14580  msqsqrtd  14661  tanval3  15347  sincossq  15389  cos2t  15391  sqrt2irrlem  15461  sqnprm  15902  isprm5  15907  coprimeprodsq  16001  pockthg  16098  4sqlem7  16136  4sqlem10  16139  mul4sqlem  16145  4sqlem12  16148  4sqlem15  16151  4sqlem16  16152  4sqlem17  16153  odadd2  18725  abvneg  19327  zringunit  20337  cphsubrglem  23484  rrxnm  23697  pjthlem1  23743  itgabs  24138  dvrec  24255  dvmptdiv  24274  dveflem  24279  tangtx  24794  tanregt0  24824  tanarg  24903  cxpsqrt  24987  lawcoslem1  25094  chordthmlem4  25114  heron  25117  quad2  25118  dcubic1lem  25122  dcubic1  25124  dcubic  25125  cubic2  25127  binom4  25129  dquartlem1  25130  dquartlem2  25131  dquart  25132  quart1lem  25134  asinsin  25171  cxp2limlem  25255  lgamgulmlem3  25310  wilthlem1  25347  basellem8  25367  chpub  25498  bposlem2  25563  lgssq  25615  lgssq2  25616  lgsquad3  25665  2sqlem3  25698  2sqlem8  25704  2sqmod  25714  chtppilimlem1  25751  rplogsumlem2  25763  dchrisum0lem1a  25764  dchrisum0lem1  25794  dchrisum0lem3  25797  mulog2sumlem1  25812  vmalogdivsum2  25816  logsqvma  25820  logdivbnd  25834  pntpbnd1a  25863  pntlemr  25880  pntlemf  25883  pntlemk  25884  pntlemo  25885  brbtwn2  26394  colinearalglem4  26398  htthlem  28473  pjhthlem1  28949  cnlnadjlem7  29631  branmfn  29663  leopnmid  29696  hgt750lemf  31578  hgt750leme  31583  pdivsq  32507  dvtan  34389  itgabsnc  34408  ftc1anclem3  34416  areacirclem1  34429  irrapxlem5  38825  pellexlem2  38829  pellexlem6  38833  rmxdbl  38938  jm2.18  38987  jm2.19lem1  38988  jm2.20nn  38996  jm2.25  38998  jm2.27c  39006  jm3.1lem2  39017  int-sqdefd  39905  int-sqgeq0d  39910  sqrlearg  41266  dvdivf  41643  wallispi2lem1  41793  stirlinglem1  41796  stirlinglem3  41798  stirlinglem10  41805  smfmullem1  42503  fmtnorec2lem  43078  fmtnorec3  43084  modexp2m1d  43151  itschlc0yqe  44121  itscnhlc0xyqsol  44126  itschlc0xyqsol1  44127  itschlc0xyqsol  44128  itsclc0xyqsolr  44130