Theorem eluz3nn 12802

Description: An integer greater than or equal to 3 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 30-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eluz3nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12797	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eluz2nn 12801	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  eluz5nn  12804  uz3m2nn  12807  modaddid  13830  m1modge3gt1  13841  prmgaplem3  16981  axlowdimlem7  29021  axlowdimlem15  29029  axlowdimlem16  29030  axlowdimlem17  29031  clwwlknonex2  30184  2clwwlk2clwwlklem  30421  numclwlk1lem2  30445  nrt2irr  30548  dffltz  42877  fltltc  42904  fltnltalem  42905  fltnlta  42906  gpgedgvtx1lem  47577  1elfzo1ceilhalf1  47583  modmknepk  47608  modm1p1ne  47616  lighneallem4a  47854  bgoldbtbndlem2  48052  bgoldbtbndlem3  48053  bgoldbtbndlem4  48054  bgoldbtbnd  48055  gpgvtxel  48293  gpgedgel  48296  gpgprismgriedgdmel  48297  gpgprismgriedgdmss  48298  gpgvtx0  48299  gpgvtx1  48300  opgpgvtx  48301  gpgusgralem  48302  gpgusgra  48303  gpgedgvtx0  48307  gpgedgvtx1  48308  gpgedg2iv  48313  gpg3nbgrvtx0  48322  gpgprismgr4cycllem3  48343  gpgprismgr4cycllem9  48349  gpgprismgr4cycllem10  48350