Theorem eluz3nn 13021

Description: An integer greater than or equal to 3 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 30-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eluz3nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 13016	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eluz2nn 13020	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  ℕcn 12340  2c2 12402  3c3 12403  ℤ_≥cuz 12970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-z 12699  df-uz 12971

This theorem is used by:  eluz5nn  13023  uz3m2nn  13026  modaddid  14055  m1modge3gt1  14066  prmgaplem3  17238  axlowdimlem7  29533  axlowdimlem15  29541  axlowdimlem16  29542  axlowdimlem17  29543  clwwlknonex2  30707  2clwwlk2clwwlklem  30954  numclwlk1lem2  30978  nrt2irr  31081  dffltz  43777  fltltc  43779  fltnltalem  43780  fltnlta  43781  gpgedgvtx1lem  48512  1elfzo1ceilhalf1  48518  modmknepk  48545  modm1p1ne  48553  2timesltsq  48555  2timesltsqm1  48556  lighneallem4a  48800  bgoldbtbndlem2  49011  bgoldbtbndlem3  49012  bgoldbtbndlem4  49013  bgoldbtbnd  49014  gpgvtxel  49252  gpgedgel  49255  gpgprismgriedgdmel  49256  gpgprismgriedgdmss  49257  gpgvtx0  49258  gpgvtx1  49259  opgpgvtx  49260  gpgusgralem  49261  gpgusgra  49262  gpgedgvtx0  49266  gpgedgvtx1  49267  gpgedg2iv  49272  gpg3nbgrvtx0  49281  gpgprismgr4cycllem3  49302  gpgprismgr4cycllem9  49308  gpgprismgr4cycllem10  49309