Theorem eluz3nn 12925

Description: An integer greater than or equal to 3 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 30-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eluz3nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12920	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eluz2nn 12924	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  ℤ_≥cuz 12874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-z 12603  df-uz 12875

This theorem is used by:  eluz5nn  12927  uz3m2nn  12930  modaddid  13957  m1modge3gt1  13968  prmgaplem3  17131  axlowdimlem7  29329  axlowdimlem15  29337  axlowdimlem16  29338  axlowdimlem17  29339  clwwlknonex2  30503  2clwwlk2clwwlklem  30744  numclwlk1lem2  30768  nrt2irr  30871  dffltz  43399  fltltc  43426  fltnltalem  43427  fltnlta  43428  gpgedgvtx1lem  48105  1elfzo1ceilhalf1  48111  modmknepk  48138  modm1p1ne  48146  2timesltsq  48148  2timesltsqm1  48149  lighneallem4a  48393  bgoldbtbndlem2  48604  bgoldbtbndlem3  48605  bgoldbtbndlem4  48606  bgoldbtbnd  48607  gpgvtxel  48845  gpgedgel  48848  gpgprismgriedgdmel  48849  gpgprismgriedgdmss  48850  gpgvtx0  48851  gpgvtx1  48852  opgpgvtx  48853  gpgusgralem  48854  gpgusgra  48855  gpgedgvtx0  48859  gpgedgvtx1  48860  gpgedg2iv  48865  gpg3nbgrvtx0  48874  gpgprismgr4cycllem3  48895  gpgprismgr4cycllem9  48901  gpgprismgr4cycllem10  48902