Theorem 3factsumint2 39958

Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3factsumint2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint2.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
3factsumint2	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint2.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
2	1	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3		3factsumint2.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ ℂ)
5		3factsumint2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
6		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	anbi2i 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
8		anass 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
9	8	bicomi 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	7, 9	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ))
12	5, 11	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
13	2, 4, 12	mul12d 11114	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) = (𝐺 · (𝐹 · 𝐻)))
14	13	itgeq2dv 24851	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
15	14	sumeq2dv 15343	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   · cmul 10807  Σcsu 15325  ∫citg 24687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sum 15326  df-itg 24692

This theorem is referenced by:  3factsumint  39961