Theorem 3factsumint2 42005

Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3factsumint2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint2.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
3factsumint2	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint2.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
2	1	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3		3factsumint2.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ ℂ)
5		3factsumint2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
6		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
8		anass 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
9	8	bicomi 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	7, 9	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ))
12	5, 11	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
13	2, 4, 12	mul12d 11325	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) = (𝐺 · (𝐹 · 𝐻)))
14	13	itgeq2dv 25681	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
15	14	sumeq2dv 15609	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   · cmul 11014  Σcsu 15593  ∫citg 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-sum 15594  df-itg 25522

This theorem is referenced by:  3factsumint  42008