MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgeq2dv 23768
Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itgeq2dv.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgeq2dv (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv
StepHypRef Expression
1 itgeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐶)
3 itgeq2 23764 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
42, 3syl 17 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  citg 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-sum 14625  df-itg 23611
This theorem is referenced by:  itgmpt  23769  itgneg  23790  itgss2  23799  itgconst  23805  itgaddlem2  23810  itgadd  23811  itgsub  23812  itgfsum  23813  itgmulc2lem2  23819  itgmulc2  23820  itgabs  23821  ftc1lem4  24022  ftc2ditglem  24028  itgparts  24030  itgsubstlem  24031  itgsubst  24032  itgulm  24382  itgulm2  24383  areaval  24912  circlemeth  31058  circlemethnat  31059  circlevma  31060  circlemethhgt  31061  hgt749d  31067  itgaddnclem2  33801  itgaddnc  33802  itgsubnc  33804  itgmulc2nclem2  33809  itgmulc2nc  33810  itgabsnc  33811  ftc1cnnclem  33815  areacirc  33837  itgpowd  38326  areaquad  38328  itgsin0pilem1  40683  itgsinexplem1  40687  itgsinexp  40688  ditgeqiooicc  40693  ditgeq3d  40697  itgcoscmulx  40702  itgsincmulx  40707  itgioocnicc  40710  itgiccshift  40713  itgperiod  40714  wallispilem1  40799  wallispilem2  40800  dirkeritg  40836  fourierdlem16  40857  fourierdlem21  40862  fourierdlem30  40871  fourierdlem73  40913  fourierdlem81  40921  fourierdlem82  40922  fourierdlem83  40923  fourierdlem87  40927  fourierdlem93  40933  fourierdlem95  40935  fourierdlem101  40941  fourierdlem103  40943  fourierdlem104  40944  fourierdlem111  40951  fourierdlem112  40952  fourierdlem115  40955  sqwvfoura  40962  sqwvfourb  40963
  Copyright terms: Public domain W3C validator