Theorem itgeq2dv 25817

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25813	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-seq 14005  df-sum 15690  df-itg 25658

This theorem is referenced by:  itgmpt  25818  itgneg  25839  itgss2  25848  itgconst  25854  itgaddlem2  25859  itgadd  25860  itgsub  25861  itgfsum  25862  itgmulc2lem2  25868  itgmulc2  25869  itgabs  25870  ftc1lem4  26074  ftc2ditglem  26080  itgparts  26082  itgsubstlem  26083  itgsubst  26084  itgpowd  26085  itgulm  26441  itgulm2  26442  areaval  26999  circlemeth  34891  circlemethnat  34892  circlevma  34893  circlemethhgt  34894  hgt749d  34900  itgaddnclem2  38126  itgaddnc  38127  itgsubnc  38129  itgmulc2nclem2  38134  itgmulc2nc  38135  itgabsnc  38136  ftc1cnnclem  38138  areacirc  38160  3factsumint2  42587  3factsumint4  42589  lcmineqlem1  42594  lcmineqlem3  42596  lcmineqlem10  42603  lcmineqlem12  42605  lcmineqlem13  42606  intlewftc  42626  areaquad  43741  itgsin0pilem1  46472  itgsinexplem1  46476  itgsinexp  46477  ditgeqiooicc  46482  ditgeq3d  46486  itgcoscmulx  46491  itgsincmulx  46496  itgioocnicc  46499  itgiccshift  46502  itgperiod  46503  wallispilem1  46587  wallispilem2  46588  dirkeritg  46624  fourierdlem16  46645  fourierdlem21  46650  fourierdlem30  46659  fourierdlem73  46701  fourierdlem81  46709  fourierdlem82  46710  fourierdlem83  46711  fourierdlem87  46715  fourierdlem93  46721  fourierdlem95  46723  fourierdlem101  46729  fourierdlem103  46731  fourierdlem104  46732  fourierdlem111  46739  fourierdlem112  46740  fourierdlem115  46743  sqwvfoura  46750  sqwvfourb  46751  etransclem46  46802