Theorem itgeq2dv 25831

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25827	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∫citg 25666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-sum 15719  df-itg 25671

This theorem is referenced by:  itgmpt  25832  itgneg  25853  itgss2  25862  itgconst  25868  itgaddlem2  25873  itgadd  25874  itgsub  25875  itgfsum  25876  itgmulc2lem2  25882  itgmulc2  25883  itgabs  25884  ftc1lem4  26094  ftc2ditglem  26100  itgparts  26102  itgsubstlem  26103  itgsubst  26104  itgpowd  26105  itgulm  26465  itgulm2  26466  areaval  27021  circlemeth  34633  circlemethnat  34634  circlevma  34635  circlemethhgt  34636  hgt749d  34642  itgaddnclem2  37665  itgaddnc  37666  itgsubnc  37668  itgmulc2nclem2  37673  itgmulc2nc  37674  itgabsnc  37675  ftc1cnnclem  37677  areacirc  37699  3factsumint2  42003  3factsumint4  42005  lcmineqlem1  42010  lcmineqlem3  42012  lcmineqlem10  42019  lcmineqlem12  42021  lcmineqlem13  42022  intlewftc  42042  areaquad  43204  itgsin0pilem1  45905  itgsinexplem1  45909  itgsinexp  45910  ditgeqiooicc  45915  ditgeq3d  45919  itgcoscmulx  45924  itgsincmulx  45929  itgioocnicc  45932  itgiccshift  45935  itgperiod  45936  wallispilem1  46020  wallispilem2  46021  dirkeritg  46057  fourierdlem16  46078  fourierdlem21  46083  fourierdlem30  46092  fourierdlem73  46134  fourierdlem81  46142  fourierdlem82  46143  fourierdlem83  46144  fourierdlem87  46148  fourierdlem93  46154  fourierdlem95  46156  fourierdlem101  46162  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem111  46172  fourierdlem112  46173  fourierdlem115  46176  sqwvfoura  46183  sqwvfourb  46184  etransclem46  46235