Theorem itgeq2dv 25759

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25755	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∫citg 25595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-sum 15640  df-itg 25600

This theorem is referenced by:  itgmpt  25760  itgneg  25781  itgss2  25790  itgconst  25796  itgaddlem2  25801  itgadd  25802  itgsub  25803  itgfsum  25804  itgmulc2lem2  25810  itgmulc2  25811  itgabs  25812  ftc1lem4  26016  ftc2ditglem  26022  itgparts  26024  itgsubstlem  26025  itgsubst  26026  itgpowd  26027  itgulm  26386  itgulm2  26387  areaval  26941  circlemeth  34800  circlemethnat  34801  circlevma  34802  circlemethhgt  34803  hgt749d  34809  itgaddnclem2  38014  itgaddnc  38015  itgsubnc  38017  itgmulc2nclem2  38022  itgmulc2nc  38023  itgabsnc  38024  ftc1cnnclem  38026  areacirc  38048  3factsumint2  42475  3factsumint4  42477  lcmineqlem1  42482  lcmineqlem3  42484  lcmineqlem10  42491  lcmineqlem12  42493  lcmineqlem13  42494  intlewftc  42514  areaquad  43662  itgsin0pilem1  46396  itgsinexplem1  46400  itgsinexp  46401  ditgeqiooicc  46406  ditgeq3d  46410  itgcoscmulx  46415  itgsincmulx  46420  itgioocnicc  46423  itgiccshift  46426  itgperiod  46427  wallispilem1  46511  wallispilem2  46512  dirkeritg  46548  fourierdlem16  46569  fourierdlem21  46574  fourierdlem30  46583  fourierdlem73  46625  fourierdlem81  46633  fourierdlem82  46634  fourierdlem83  46635  fourierdlem87  46639  fourierdlem93  46645  fourierdlem95  46647  fourierdlem101  46653  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem111  46663  fourierdlem112  46664  fourierdlem115  46667  sqwvfoura  46674  sqwvfourb  46675  etransclem46  46726