Theorem itgeq2dv 25666

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25662	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∫citg 25502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sum 15639  df-itg 25507

This theorem is referenced by:  itgmpt  25667  itgneg  25688  itgss2  25697  itgconst  25703  itgaddlem2  25708  itgadd  25709  itgsub  25710  itgfsum  25711  itgmulc2lem2  25717  itgmulc2  25718  itgabs  25719  ftc1lem4  25929  ftc2ditglem  25935  itgparts  25937  itgsubstlem  25938  itgsubst  25939  itgpowd  25940  itgulm  26299  itgulm2  26300  areaval  26851  circlemeth  34181  circlemethnat  34182  circlevma  34183  circlemethhgt  34184  hgt749d  34190  itgaddnclem2  37060  itgaddnc  37061  itgsubnc  37063  itgmulc2nclem2  37068  itgmulc2nc  37069  itgabsnc  37070  ftc1cnnclem  37072  areacirc  37094  3factsumint2  41403  3factsumint4  41405  lcmineqlem1  41410  lcmineqlem3  41412  lcmineqlem10  41419  lcmineqlem12  41421  lcmineqlem13  41422  intlewftc  41442  areaquad  42538  itgsin0pilem1  45235  itgsinexplem1  45239  itgsinexp  45240  ditgeqiooicc  45245  ditgeq3d  45249  itgcoscmulx  45254  itgsincmulx  45259  itgioocnicc  45262  itgiccshift  45265  itgperiod  45266  wallispilem1  45350  wallispilem2  45351  dirkeritg  45387  fourierdlem16  45408  fourierdlem21  45413  fourierdlem30  45422  fourierdlem73  45464  fourierdlem81  45472  fourierdlem82  45473  fourierdlem83  45474  fourierdlem87  45478  fourierdlem93  45484  fourierdlem95  45486  fourierdlem101  45492  fourierdlem103  45494  fourierdlem104  45495  fourierdlem111  45502  fourierdlem112  45503  fourierdlem115  45506  sqwvfoura  45513  sqwvfourb  45514  etransclem46  45565