Theorem itgeq2dv 25902

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25898	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∫citg 25738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-seq 14029  df-sum 15728  df-itg 25743

This theorem is referenced by:  itgmpt  25903  itgneg  25924  itgss2  25933  itgconst  25939  itgaddlem2  25944  itgadd  25945  itgsub  25946  itgfsum  25947  itgmulc2lem2  25953  itgmulc2  25954  itgabs  25955  ftc1lem4  26159  ftc2ditglem  26165  itgparts  26167  itgsubstlem  26168  itgsubst  26169  itgpowd  26170  itgulm  26529  itgulm2  26530  areaval  27087  circlemeth  34944  circlemethnat  34945  circlevma  34946  circlemethhgt  34947  hgt749d  34953  itgaddnclem2  38190  itgaddnc  38191  itgsubnc  38193  itgmulc2nclem2  38198  itgmulc2nc  38199  itgabsnc  38200  ftc1cnnclem  38202  areacirc  38224  3factsumint2  42651  3factsumint4  42653  lcmineqlem1  42658  lcmineqlem3  42660  lcmineqlem10  42667  lcmineqlem12  42669  lcmineqlem13  42670  intlewftc  42690  areaquad  43805  itgsin0pilem1  46522  itgsinexplem1  46526  itgsinexp  46527  ditgeqiooicc  46532  ditgeq3d  46536  itgcoscmulx  46541  itgsincmulx  46546  itgioocnicc  46549  itgiccshift  46552  itgperiod  46553  wallispilem1  46637  wallispilem2  46638  dirkeritg  46674  fourierdlem16  46695  fourierdlem21  46700  fourierdlem30  46709  fourierdlem73  46751  fourierdlem81  46759  fourierdlem82  46760  fourierdlem83  46761  fourierdlem87  46765  fourierdlem93  46771  fourierdlem95  46773  fourierdlem101  46779  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  fourierdlem111  46789  fourierdlem112  46790  fourierdlem115  46793  sqwvfoura  46800  sqwvfourb  46801  etransclem46  46852