Theorem itgeq2dv 24537

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3097	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 24533	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∫citg 24373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-seq 13464  df-sum 15139  df-itg 24378

This theorem is referenced by:  itgmpt  24538  itgneg  24559  itgss2  24568  itgconst  24574  itgaddlem2  24579  itgadd  24580  itgsub  24581  itgfsum  24582  itgmulc2lem2  24588  itgmulc2  24589  itgabs  24590  ftc1lem4  24794  ftc2ditglem  24800  itgparts  24802  itgsubstlem  24803  itgsubst  24804  itgpowd  24805  itgulm  25158  itgulm2  25159  areaval  25705  circlemeth  32193  circlemethnat  32194  circlevma  32195  circlemethhgt  32196  hgt749d  32202  itgaddnclem2  35482  itgaddnc  35483  itgsubnc  35485  itgmulc2nclem2  35490  itgmulc2nc  35491  itgabsnc  35492  ftc1cnnclem  35494  areacirc  35516  3factsumint2  39673  3factsumint4  39675  lcmineqlem1  39680  lcmineqlem3  39682  lcmineqlem10  39689  lcmineqlem12  39691  lcmineqlem13  39692  intlewftc  39712  areaquad  40642  itgsin0pilem1  43056  itgsinexplem1  43060  itgsinexp  43061  ditgeqiooicc  43066  ditgeq3d  43070  itgcoscmulx  43075  itgsincmulx  43080  itgioocnicc  43083  itgiccshift  43086  itgperiod  43087  wallispilem1  43171  wallispilem2  43172  dirkeritg  43208  fourierdlem16  43229  fourierdlem21  43234  fourierdlem30  43243  fourierdlem73  43285  fourierdlem81  43293  fourierdlem82  43294  fourierdlem83  43295  fourierdlem87  43299  fourierdlem93  43305  fourierdlem95  43307  fourierdlem101  43313  fourierdlem103  43315  fourierdlem104  43316  fourierdlem111  43323  fourierdlem112  43324  fourierdlem115  43327  sqwvfoura  43334  sqwvfourb  43335  etransclem46  43386