Theorem itgeq2dv 25708

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25704	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∫citg 25544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-seq 13906  df-sum 15591  df-itg 25549

This theorem is referenced by:  itgmpt  25709  itgneg  25730  itgss2  25739  itgconst  25745  itgaddlem2  25750  itgadd  25751  itgsub  25752  itgfsum  25753  itgmulc2lem2  25759  itgmulc2  25760  itgabs  25761  ftc1lem4  25971  ftc2ditglem  25977  itgparts  25979  itgsubstlem  25980  itgsubst  25981  itgpowd  25982  itgulm  26342  itgulm2  26343  areaval  26899  circlemeth  34648  circlemethnat  34649  circlevma  34650  circlemethhgt  34651  hgt749d  34657  itgaddnclem2  37718  itgaddnc  37719  itgsubnc  37721  itgmulc2nclem2  37726  itgmulc2nc  37727  itgabsnc  37728  ftc1cnnclem  37730  areacirc  37752  3factsumint2  42054  3factsumint4  42056  lcmineqlem1  42061  lcmineqlem3  42063  lcmineqlem10  42070  lcmineqlem12  42072  lcmineqlem13  42073  intlewftc  42093  areaquad  43248  itgsin0pilem1  45987  itgsinexplem1  45991  itgsinexp  45992  ditgeqiooicc  45997  ditgeq3d  46001  itgcoscmulx  46006  itgsincmulx  46011  itgioocnicc  46014  itgiccshift  46017  itgperiod  46018  wallispilem1  46102  wallispilem2  46103  dirkeritg  46139  fourierdlem16  46160  fourierdlem21  46165  fourierdlem30  46174  fourierdlem73  46216  fourierdlem81  46224  fourierdlem82  46225  fourierdlem83  46226  fourierdlem87  46230  fourierdlem93  46236  fourierdlem95  46238  fourierdlem101  46244  fourierdlem103  46246  fourierdlem104  46247  fourierdlem111  46254  fourierdlem112  46255  fourierdlem115  46258  sqwvfoura  46265  sqwvfourb  46266  etransclem46  46317