MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgeq2dv 25169
Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itgeq2dv.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgeq2dv (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv
StepHypRef Expression
1 itgeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐶)
3 itgeq2 25165 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
42, 3syl 17 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  citg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-sum 15580  df-itg 25010
This theorem is referenced by:  itgmpt  25170  itgneg  25191  itgss2  25200  itgconst  25206  itgaddlem2  25211  itgadd  25212  itgsub  25213  itgfsum  25214  itgmulc2lem2  25220  itgmulc2  25221  itgabs  25222  ftc1lem4  25426  ftc2ditglem  25432  itgparts  25434  itgsubstlem  25435  itgsubst  25436  itgpowd  25437  itgulm  25790  itgulm2  25791  areaval  26337  circlemeth  33317  circlemethnat  33318  circlevma  33319  circlemethhgt  33320  hgt749d  33326  itgaddnclem2  36187  itgaddnc  36188  itgsubnc  36190  itgmulc2nclem2  36195  itgmulc2nc  36196  itgabsnc  36197  ftc1cnnclem  36199  areacirc  36221  3factsumint2  40529  3factsumint4  40531  lcmineqlem1  40536  lcmineqlem3  40538  lcmineqlem10  40545  lcmineqlem12  40547  lcmineqlem13  40548  intlewftc  40568  areaquad  41597  itgsin0pilem1  44281  itgsinexplem1  44285  itgsinexp  44286  ditgeqiooicc  44291  ditgeq3d  44295  itgcoscmulx  44300  itgsincmulx  44305  itgioocnicc  44308  itgiccshift  44311  itgperiod  44312  wallispilem1  44396  wallispilem2  44397  dirkeritg  44433  fourierdlem16  44454  fourierdlem21  44459  fourierdlem30  44468  fourierdlem73  44510  fourierdlem81  44518  fourierdlem82  44519  fourierdlem83  44520  fourierdlem87  44524  fourierdlem93  44530  fourierdlem95  44532  fourierdlem101  44538  fourierdlem103  44540  fourierdlem104  44541  fourierdlem111  44548  fourierdlem112  44549  fourierdlem115  44552  sqwvfoura  44559  sqwvfourb  44560  etransclem46  44611
  Copyright terms: Public domain W3C validator