Theorem itgeq2dv 25922

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25918	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∫citg 25758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-seq 14040  df-sum 15740  df-itg 25763

This theorem is referenced by:  itgmpt  25923  itgneg  25944  itgss2  25953  itgconst  25959  itgaddlem2  25964  itgadd  25965  itgsub  25966  itgfsum  25967  itgmulc2lem2  25973  itgmulc2  25974  itgabs  25975  ftc1lem4  26179  ftc2ditglem  26185  itgparts  26187  itgsubstlem  26188  itgsubst  26189  itgpowd  26190  itgulm  26552  itgulm2  26553  areaval  27110  circlemeth  35008  circlemethnat  35009  circlevma  35010  circlemethhgt  35011  hgt749d  35017  itgaddnclem2  38311  itgaddnc  38312  itgsubnc  38314  itgmulc2nclem2  38319  itgmulc2nc  38320  itgabsnc  38321  ftc1cnnclem  38323  areacirc  38345  3factsumint2  42770  3factsumint4  42772  lcmineqlem1  42777  lcmineqlem3  42779  lcmineqlem10  42786  lcmineqlem12  42788  lcmineqlem13  42789  intlewftc  42809  areaquad  43926  itgsin0pilem1  46647  itgsinexplem1  46651  itgsinexp  46652  ditgeqiooicc  46657  ditgeq3d  46661  itgcoscmulx  46666  itgsincmulx  46671  itgioocnicc  46674  itgiccshift  46677  itgperiod  46678  wallispilem1  46762  wallispilem2  46763  dirkeritg  46799  fourierdlem16  46820  fourierdlem21  46825  fourierdlem30  46834  fourierdlem73  46876  fourierdlem81  46884  fourierdlem82  46885  fourierdlem83  46886  fourierdlem87  46890  fourierdlem93  46896  fourierdlem95  46898  fourierdlem101  46904  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  fourierdlem111  46914  fourierdlem112  46915  fourierdlem115  46918  sqwvfoura  46925  sqwvfourb  46926  etransclem46  46977