Theorem itgeq2dv 25635

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3138	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25631	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∫citg 25471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-seq 13965  df-sum 15631  df-itg 25476

This theorem is referenced by:  itgmpt  25636  itgneg  25657  itgss2  25666  itgconst  25672  itgaddlem2  25677  itgadd  25678  itgsub  25679  itgfsum  25680  itgmulc2lem2  25686  itgmulc2  25687  itgabs  25688  ftc1lem4  25898  ftc2ditglem  25904  itgparts  25906  itgsubstlem  25907  itgsubst  25908  itgpowd  25909  itgulm  26263  itgulm2  26264  areaval  26815  circlemeth  34143  circlemethnat  34144  circlevma  34145  circlemethhgt  34146  hgt749d  34152  itgaddnclem2  37041  itgaddnc  37042  itgsubnc  37044  itgmulc2nclem2  37049  itgmulc2nc  37050  itgabsnc  37051  ftc1cnnclem  37053  areacirc  37075  3factsumint2  41384  3factsumint4  41386  lcmineqlem1  41391  lcmineqlem3  41393  lcmineqlem10  41400  lcmineqlem12  41402  lcmineqlem13  41403  intlewftc  41423  areaquad  42479  itgsin0pilem1  45176  itgsinexplem1  45180  itgsinexp  45181  ditgeqiooicc  45186  ditgeq3d  45190  itgcoscmulx  45195  itgsincmulx  45200  itgioocnicc  45203  itgiccshift  45206  itgperiod  45207  wallispilem1  45291  wallispilem2  45292  dirkeritg  45328  fourierdlem16  45349  fourierdlem21  45354  fourierdlem30  45363  fourierdlem73  45405  fourierdlem81  45413  fourierdlem82  45414  fourierdlem83  45415  fourierdlem87  45419  fourierdlem93  45425  fourierdlem95  45427  fourierdlem101  45433  fourierdlem103  45435  fourierdlem104  45436  fourierdlem111  45443  fourierdlem112  45444  fourierdlem115  45447  sqwvfoura  45454  sqwvfourb  45455  etransclem46  45506