Theorem itgeq2dv 24851

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 24847	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∫citg 24687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sum 15326  df-itg 24692

This theorem is referenced by:  itgmpt  24852  itgneg  24873  itgss2  24882  itgconst  24888  itgaddlem2  24893  itgadd  24894  itgsub  24895  itgfsum  24896  itgmulc2lem2  24902  itgmulc2  24903  itgabs  24904  ftc1lem4  25108  ftc2ditglem  25114  itgparts  25116  itgsubstlem  25117  itgsubst  25118  itgpowd  25119  itgulm  25472  itgulm2  25473  areaval  26019  circlemeth  32520  circlemethnat  32521  circlevma  32522  circlemethhgt  32523  hgt749d  32529  itgaddnclem2  35763  itgaddnc  35764  itgsubnc  35766  itgmulc2nclem2  35771  itgmulc2nc  35772  itgabsnc  35773  ftc1cnnclem  35775  areacirc  35797  3factsumint2  39958  3factsumint4  39960  lcmineqlem1  39965  lcmineqlem3  39967  lcmineqlem10  39974  lcmineqlem12  39976  lcmineqlem13  39977  intlewftc  39997  areaquad  40963  itgsin0pilem1  43381  itgsinexplem1  43385  itgsinexp  43386  ditgeqiooicc  43391  ditgeq3d  43395  itgcoscmulx  43400  itgsincmulx  43405  itgioocnicc  43408  itgiccshift  43411  itgperiod  43412  wallispilem1  43496  wallispilem2  43497  dirkeritg  43533  fourierdlem16  43554  fourierdlem21  43559  fourierdlem30  43568  fourierdlem73  43610  fourierdlem81  43618  fourierdlem82  43619  fourierdlem83  43620  fourierdlem87  43624  fourierdlem93  43630  fourierdlem95  43632  fourierdlem101  43638  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  fourierdlem115  43652  sqwvfoura  43659  sqwvfourb  43660  etransclem46  43711