Theorem itgeq2dv 25298

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25294	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∫citg 25134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-sum 15632  df-itg 25139

This theorem is referenced by:  itgmpt  25299  itgneg  25320  itgss2  25329  itgconst  25335  itgaddlem2  25340  itgadd  25341  itgsub  25342  itgfsum  25343  itgmulc2lem2  25349  itgmulc2  25350  itgabs  25351  ftc1lem4  25555  ftc2ditglem  25561  itgparts  25563  itgsubstlem  25564  itgsubst  25565  itgpowd  25566  itgulm  25919  itgulm2  25920  areaval  26466  circlemeth  33647  circlemethnat  33648  circlevma  33649  circlemethhgt  33650  hgt749d  33656  itgaddnclem2  36542  itgaddnc  36543  itgsubnc  36545  itgmulc2nclem2  36550  itgmulc2nc  36551  itgabsnc  36552  ftc1cnnclem  36554  areacirc  36576  3factsumint2  40882  3factsumint4  40884  lcmineqlem1  40889  lcmineqlem3  40891  lcmineqlem10  40898  lcmineqlem12  40900  lcmineqlem13  40901  intlewftc  40921  areaquad  41955  itgsin0pilem1  44656  itgsinexplem1  44660  itgsinexp  44661  ditgeqiooicc  44666  ditgeq3d  44670  itgcoscmulx  44675  itgsincmulx  44680  itgioocnicc  44683  itgiccshift  44686  itgperiod  44687  wallispilem1  44771  wallispilem2  44772  dirkeritg  44808  fourierdlem16  44829  fourierdlem21  44834  fourierdlem30  44843  fourierdlem73  44885  fourierdlem81  44893  fourierdlem82  44894  fourierdlem83  44895  fourierdlem87  44899  fourierdlem93  44905  fourierdlem95  44907  fourierdlem101  44913  fourierdlem103  44915  fourierdlem104  44916  fourierdlem111  44923  fourierdlem112  44924  fourierdlem115  44927  sqwvfoura  44934  sqwvfourb  44935  etransclem46  44986