Theorem itgeq2dv 25739

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25735	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∫citg 25575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-sum 15610  df-itg 25580

This theorem is referenced by:  itgmpt  25740  itgneg  25761  itgss2  25770  itgconst  25776  itgaddlem2  25781  itgadd  25782  itgsub  25783  itgfsum  25784  itgmulc2lem2  25790  itgmulc2  25791  itgabs  25792  ftc1lem4  26002  ftc2ditglem  26008  itgparts  26010  itgsubstlem  26011  itgsubst  26012  itgpowd  26013  itgulm  26373  itgulm2  26374  areaval  26930  circlemeth  34797  circlemethnat  34798  circlevma  34799  circlemethhgt  34800  hgt749d  34806  itgaddnclem2  37876  itgaddnc  37877  itgsubnc  37879  itgmulc2nclem2  37884  itgmulc2nc  37885  itgabsnc  37886  ftc1cnnclem  37888  areacirc  37910  3factsumint2  42272  3factsumint4  42274  lcmineqlem1  42279  lcmineqlem3  42281  lcmineqlem10  42288  lcmineqlem12  42290  lcmineqlem13  42291  intlewftc  42311  areaquad  43454  itgsin0pilem1  46190  itgsinexplem1  46194  itgsinexp  46195  ditgeqiooicc  46200  ditgeq3d  46204  itgcoscmulx  46209  itgsincmulx  46214  itgioocnicc  46217  itgiccshift  46220  itgperiod  46221  wallispilem1  46305  wallispilem2  46306  dirkeritg  46342  fourierdlem16  46363  fourierdlem21  46368  fourierdlem30  46377  fourierdlem73  46419  fourierdlem81  46427  fourierdlem82  46428  fourierdlem83  46429  fourierdlem87  46433  fourierdlem93  46439  fourierdlem95  46441  fourierdlem101  46447  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierdlem111  46457  fourierdlem112  46458  fourierdlem115  46461  sqwvfoura  46468  sqwvfourb  46469  etransclem46  46520