Theorem itgeq2dv 25731

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 25727	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∫citg 25567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-sum 15673  df-itg 25572

This theorem is referenced by:  itgmpt  25732  itgneg  25753  itgss2  25762  itgconst  25768  itgaddlem2  25773  itgadd  25774  itgsub  25775  itgfsum  25776  itgmulc2lem2  25782  itgmulc2  25783  itgabs  25784  ftc1lem4  25994  ftc2ditglem  26000  itgparts  26002  itgsubstlem  26003  itgsubst  26004  itgpowd  26005  itgulm  26364  itgulm2  26365  areaval  26916  circlemeth  34305  circlemethnat  34306  circlevma  34307  circlemethhgt  34308  hgt749d  34314  itgaddnclem2  37185  itgaddnc  37186  itgsubnc  37188  itgmulc2nclem2  37193  itgmulc2nc  37194  itgabsnc  37195  ftc1cnnclem  37197  areacirc  37219  3factsumint2  41525  3factsumint4  41527  lcmineqlem1  41532  lcmineqlem3  41534  lcmineqlem10  41541  lcmineqlem12  41543  lcmineqlem13  41544  intlewftc  41564  areaquad  42675  itgsin0pilem1  45367  itgsinexplem1  45371  itgsinexp  45372  ditgeqiooicc  45377  ditgeq3d  45381  itgcoscmulx  45386  itgsincmulx  45391  itgioocnicc  45394  itgiccshift  45397  itgperiod  45398  wallispilem1  45482  wallispilem2  45483  dirkeritg  45519  fourierdlem16  45540  fourierdlem21  45545  fourierdlem30  45554  fourierdlem73  45596  fourierdlem81  45604  fourierdlem82  45605  fourierdlem83  45606  fourierdlem87  45610  fourierdlem93  45616  fourierdlem95  45618  fourierdlem101  45624  fourierdlem103  45626  fourierdlem104  45627  fourierdlem111  45634  fourierdlem112  45635  fourierdlem115  45638  sqwvfoura  45645  sqwvfourb  45646  etransclem46  45697