Theorem itgeq2dv 24946

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 24942	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∫citg 24782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398  df-itg 24787

This theorem is referenced by:  itgmpt  24947  itgneg  24968  itgss2  24977  itgconst  24983  itgaddlem2  24988  itgadd  24989  itgsub  24990  itgfsum  24991  itgmulc2lem2  24997  itgmulc2  24998  itgabs  24999  ftc1lem4  25203  ftc2ditglem  25209  itgparts  25211  itgsubstlem  25212  itgsubst  25213  itgpowd  25214  itgulm  25567  itgulm2  25568  areaval  26114  circlemeth  32620  circlemethnat  32621  circlevma  32622  circlemethhgt  32623  hgt749d  32629  itgaddnclem2  35836  itgaddnc  35837  itgsubnc  35839  itgmulc2nclem2  35844  itgmulc2nc  35845  itgabsnc  35846  ftc1cnnclem  35848  areacirc  35870  3factsumint2  40030  3factsumint4  40032  lcmineqlem1  40037  lcmineqlem3  40039  lcmineqlem10  40046  lcmineqlem12  40048  lcmineqlem13  40049  intlewftc  40069  areaquad  41047  itgsin0pilem1  43491  itgsinexplem1  43495  itgsinexp  43496  ditgeqiooicc  43501  ditgeq3d  43505  itgcoscmulx  43510  itgsincmulx  43515  itgioocnicc  43518  itgiccshift  43521  itgperiod  43522  wallispilem1  43606  wallispilem2  43607  dirkeritg  43643  fourierdlem16  43664  fourierdlem21  43669  fourierdlem30  43678  fourierdlem73  43720  fourierdlem81  43728  fourierdlem82  43729  fourierdlem83  43730  fourierdlem87  43734  fourierdlem93  43740  fourierdlem95  43742  fourierdlem101  43748  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem111  43758  fourierdlem112  43759  fourierdlem115  43762  sqwvfoura  43769  sqwvfourb  43770  etransclem46  43821