Theorem 3factsumint3 42645

Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint3.1	⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint3.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint3.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3factsumint3.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3factsumint3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint3.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
3factsumint3.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
3factsumint3	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint3.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
2		3factsumint3.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3	2	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
4		3factsumint3.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
5		ancom 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	anbi2i 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
7		anass 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
8	7	bicomi 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
9	6, 8	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imbi1i 351	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ))
11	4, 10	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11204	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 · 𝐻) ∈ ℂ)
13		3factsumint3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
15		3factsumint3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ ℝ)
17		3factsumint3.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
18	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
19		3factsumint3.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
20	18, 19	mulcncf 25510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
21		3factsumint3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
22	21	oveq1i 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝐴–cn→ℂ) = ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)
23	20, 22	eleqtrdi 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
24		cnicciblnc 25907	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
25	14, 16, 23, 24	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
26	1, 12, 25	itgmulc2 25898	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥) = ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
27	26	eqcomd 2770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))
28	27	sumeq2dv 15731	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5183  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074   · cmul 11080  [,]cicc 13354  Σcsu 15715  –cn→ccncf 24940  𝐿¹cibl 25681  ∫citg 25682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cc 10394  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-ofr 7663  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-cmp 23449  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-cncf 24942  df-ovol 25528  df-vol 25529  df-mbf 25683  df-itg1 25684  df-itg2 25685  df-ibl 25686  df-itg 25687  df-0p 25734

This theorem is referenced by:  3factsumint  42647