Theorem 3factsumint3 42736

Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint3.1	⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint3.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint3.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3factsumint3.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3factsumint3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint3.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
3factsumint3.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
3factsumint3	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint3.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
2		3factsumint3.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3	2	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
4		3factsumint3.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
5		ancom 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	anbi2i 634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
7		anass 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
8	7	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
9	6, 8	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ))
11	4, 10	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 · 𝐻) ∈ ℂ)
13		3factsumint3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
15		3factsumint3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ ℝ)
17		3factsumint3.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
18	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
19		3factsumint3.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
20	18, 19	mulcncf 25584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
21		3factsumint3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
22	21	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴–cn→ℂ) = ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)
23	20, 22	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
24		cnicciblnc 25981	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
25	14, 16, 23, 24	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
26	1, 12, 25	itgmulc2 25972	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥) = ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
27	26	eqcomd 2767	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))
28	27	sumeq2dv 15752	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 5191  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098   · cmul 11104  [,]cicc 13374  Σcsu 15736  –cn→ccncf 25014  𝐿¹cibl 25755  ∫citg 25756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-cmp 23523  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-ovol 25602  df-vol 25603  df-mbf 25757  df-itg1 25758  df-itg2 25759  df-ibl 25760  df-itg 25761  df-0p 25808

This theorem is referenced by:  3factsumint  42738