Theorem 3factsumint3 42876

Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint3.1	⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint3.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint3.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3factsumint3.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3factsumint3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint3.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
3factsumint3.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
3factsumint3	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑈(𝑥, 𝑘)   𝐹(𝑥, 𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint3.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
2		3factsumint3.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3	2	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
4		3factsumint3.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
5		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
7		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
8	7	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
9	6, 8	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ))
11	4, 10	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
12	3, 11	mulcld 11256	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 · 𝐻) ∈ ℂ)
13		3factsumint3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
15		3factsumint3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ ℝ)
17		3factsumint3.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
19		3factsumint3.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
20	18, 19	mulcncf 25675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
21		3factsumint3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
22	21	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴–cn→ℂ) = ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)
23	20, 22	eleqtrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
24		cnicciblnc 26072	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
25	14, 16, 23, 24	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
26	1, 12, 25	itgmulc2 26063	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥) = ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
27	26	eqcomd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))
28	27	sumeq2dv 15791	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5190  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126   · cmul 11132  [,]cicc 13403  Σcsu 15775  –cn→ccncf 25105  𝐿¹cibl 25846  ∫citg 25847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-ovol 25693  df-vol 25694  df-mbf 25848  df-itg1 25849  df-itg2 25850  df-ibl 25851  df-itg 25852  df-0p 25899

This theorem is used by:  3factsumint  42878