Theorem sumeq2dv 15750

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15749	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15753  sumeq12dv  15754  sumeq12rdv  15755  fsumf1o  15771  fsumss  15773  fsumsplit  15789  isummulc1  15811  isumdivc  15812  isumge0  15814  fsum2dlem  15818  fsumshftm  15829  fsum0diag2  15831  fsummulc1  15833  fsumdivc  15834  fsumneg  15835  fsumsub  15836  fsum2mul  15837  telfsumo2  15851  fsumparts  15854  hashiun  15870  hash2iun  15871  hash2iun1dif1  15872  ackbijnn  15876  binomlem  15877  binom1p  15879  incexclem  15884  incexc  15885  incexc2  15886  isum1p  15889  arisum  15908  trireciplem  15910  geoserg  15914  pwdif  15916  geo2sum  15921  mertenslem1  15932  mertenslem2  15933  mertens  15934  binomfallfaclem2  16088  binomrisefac  16090  bpolylem  16096  bpolydiflem  16102  fsumkthpow  16104  efaddlem  16141  rpnnen2lem10  16271  rpnnen2lem11  16272  fsumdvds  16356  pwp1fsum  16439  phisum  16837  pcfac  16946  ramcl  17076  lagsubg2  19234  sylow2a  19661  rrxcph  25445  trirn  25453  rrxmval  25458  rrxmet  25461  ovoliunnul  25561  ovolicc2lem4  25574  uniioombllem4  25640  vitalilem5  25666  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  itg1addlem5  25755  itg1mulc  25759  itg10a  25765  itg1climres  25769  itgss  25867  itgeqa  25869  itgsplit  25891  elply2  26255  elplyd  26261  plyeq0lem  26269  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  coeeulem  26283  coeeq2  26301  coemullem  26309  coe1termlem  26317  plycjlem  26336  plyrecj  26339  dvply1  26343  elqaalem3  26381  aareccl  26386  aannenlem1  26388  taylpval  26426  dvtaylp  26430  pserdvlem2  26490  pserdv2  26492  abelthlem8  26501  abelthlem9  26502  abelth  26503  logtayl  26720  leibpi  27003  birthdaylem2  27013  amgmlem  27051  emcllem5  27061  fsumharmonic  27073  lgamcvg2  27116  ftalem5  27138  basellem3  27144  basellem8  27149  sgmval2  27204  fsumdvdscom  27246  dvdsflsumcom  27249  musum  27252  musumsum  27253  muinv  27254  fsumdvdsmul  27256  fsumdvdsmulOLD  27258  sgmppw  27259  1sgmprm  27261  chtlepsi  27268  pclogsum  27277  vmasum  27278  logfac2  27279  chpval2  27280  chpchtsum  27281  logexprlim  27287  logfacrlim2  27288  perfectlem2  27292  dchrsum2  27330  sumdchr2  27332  dchrhash  27333  dchr2sum  27335  sum2dchr  27336  pcbcctr  27338  bposlem2  27347  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  chebbnd1lem1  27531  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem1  27557  dchrvmasum2lem  27558  dchrvmasum2if  27559  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmasumiflem2  27564  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0fno1  27573  rpvmasum2  27574  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  dchrisum0  27582  rplogsum  27589  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  mulog2sumlem3  27598  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  logsqvma  27604  logsqvma2  27605  selberglem1  27607  selberglem2  27608  selberg  27610  selberg2  27613  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrsumo1  27627  selbergr  27630  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntsval2  27638  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntpbnd1  27648  pntlemk  27668  pntlemo  27669  axcgrrflx  28947  axcgrid  28949  axsegconlem1  28950  axsegconlem9  28958  ax5seglem1  28961  ax5seglem2  28962  ax5seglem9  28970  axlowdimlem16  28990  axlowdimlem17  28991  ecgrtg  29016  finsumvtxdg2ssteplem3  29583  rusgrnumwwlks  30007  fusgrhashclwwlkn  30111  fusgreghash2wsp  30370  numclwwlk6  30422  indsum  33985  indsumin  33986  eulerpartlemsv1  34321  eulerpartlemsf  34324  eulerpartlemgs2  34345  eulerpartlemn  34346  plymulx0  34524  signsvfn  34559  fsum2dsub  34584  reprsuc  34592  hashreprin  34597  reprpmtf1o  34603  breprexplema  34607  breprexplemc  34609  breprexp  34610  breprexpnat  34611  vtsprod  34616  circlemeth  34617  circlemethnat  34618  circlevma  34619  circlemethhgt  34620  hgt750lemd  34625  hgt750lemb  34633  hgt750lema  34634  subfaclim  35156  fwddifnp1  36129  knoppndvlem6  36483  rrnmet  37789  3factsumint2  41979  3factsumint3  41980  lcmineqlem1  41986  lcmineqlem3  41988  lcmineqlem6  41991  sticksstones8  42110  sticksstones9  42111  sticksstones10  42112  sticksstones11  42113  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  sticksstones17  42120  sticksstones18  42121  sticksstones19  42122  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem3  42129  aks6d1c7lem3  42139  unitscyglem2  42153  sumcubes  42301  fltnltalem  42617  jm2.22  42952  jm2.23  42953  flcidc  43131  binomcxplemnn0  44318  binomcxplemdvsum  44324  binomcxplemnotnn0  44325  mccllem  45518  isumneg  45523  sumnnodd  45551  dvnmul  45864  dvnprodlem2  45868  dvnprodlem3  45869  stoweidlem37  45958  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  fourierdlem81  46108  fourierdlem83  46110  fourierdlem93  46120  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  elaa2lem  46154  etransclem23  46178  etransclem24  46179  etransclem31  46186  etransclem32  46187  etransclem35  46190  etransclem46  46201  rrxtopnfi  46208  rrndistlt  46211  sge0z  46296  sge0fsummpt  46311  sge0sup  46312  sge0resplit  46327  sge0split  46330  sge0ltfirpmpt2  46347  omeiunltfirp  46440  carageniuncllem2  46443  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem3  46518  perfectALTVlem2  47596  nnsum3primesprm  47664  nnsum3primesgbe  47666  nnsum4primeseven  47674  altgsumbc  48077  altgsumbcALT  48078  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354  nn0sumshdig  48357  aacllem  48895  amgmwlem  48896