Theorem sumeq2dv 15656

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15655	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15658  sumeq12dv  15659  sumeq12rdv  15660  fsumf1o  15676  fsumss  15678  fsumsplit  15694  isummulc1  15716  isumdivc  15717  isumge0  15719  fsum2dlem  15723  fsumshftm  15734  fsum0diag2  15736  fsummulc1  15738  fsumdivc  15739  fsumneg  15740  fsumsub  15741  fsum2mul  15742  telfsumo2  15756  fsumparts  15759  hashiun  15775  hash2iun  15776  hash2iun1dif1  15777  ackbijnn  15781  binomlem  15782  binom1p  15784  incexclem  15789  incexc  15790  incexc2  15791  isum1p  15794  arisum  15813  trireciplem  15815  geoserg  15819  pwdif  15821  geo2sum  15826  mertenslem1  15837  mertenslem2  15838  mertens  15839  binomfallfaclem2  15991  binomrisefac  15993  bpolylem  15999  bpolydiflem  16005  fsumkthpow  16007  efaddlem  16043  rpnnen2lem10  16173  rpnnen2lem11  16174  fsumdvds  16258  pwp1fsum  16341  phisum  16730  pcfac  16839  ramcl  16969  lagsubg2  19116  sylow2a  19535  rrxcph  25240  trirn  25248  rrxmval  25253  rrxmet  25256  ovoliunnul  25356  ovolicc2lem4  25369  uniioombllem4  25435  vitalilem5  25461  itg1addlem4  25548  itg1addlem4OLD  25549  itg1addlem5  25550  itg1mulc  25554  itg10a  25560  itg1climres  25564  itgss  25661  itgeqa  25663  itgsplit  25685  elply2  26048  elplyd  26054  plyeq0lem  26062  plyaddlem1  26065  plymullem1  26066  coeeulem  26076  coeeq2  26094  coemullem  26102  coe1termlem  26110  plycjlem  26129  plyrecj  26132  dvply1  26136  elqaalem3  26173  aareccl  26178  aannenlem1  26180  taylpval  26218  dvtaylp  26221  pserdvlem2  26280  pserdv2  26282  abelthlem8  26291  abelthlem9  26292  abelth  26293  logtayl  26508  leibpi  26788  birthdaylem2  26798  amgmlem  26835  emcllem5  26845  fsumharmonic  26857  lgamcvg2  26900  ftalem5  26922  basellem3  26928  basellem8  26933  sgmval2  26988  fsumdvdscom  27030  dvdsflsumcom  27033  musum  27036  musumsum  27037  muinv  27038  fsumdvdsmul  27040  fsumdvdsmulOLD  27042  sgmppw  27043  1sgmprm  27045  chtlepsi  27052  pclogsum  27061  vmasum  27062  logfac2  27063  chpval2  27064  chpchtsum  27065  logexprlim  27071  logfacrlim2  27072  perfectlem2  27076  dchrsum2  27114  sumdchr2  27116  dchrhash  27117  dchr2sum  27119  sum2dchr  27120  pcbcctr  27122  bposlem2  27131  lgsquadlem1  27226  lgsquadlem2  27227  chebbnd1lem1  27315  rplogsumlem1  27330  rplogsumlem2  27331  rpvmasumlem  27333  dchrisumlem1  27335  dchrisumlem2  27336  dchrmusum2  27340  dchrvmasumlem1  27341  dchrvmasum2lem  27342  dchrvmasum2if  27343  dchrvmasumiflem1  27347  dchrvmasumiflem2  27348  dchrisum0flblem1  27354  dchrisum0fno1  27357  rpvmasum2  27358  dchrisum0lem2a  27363  dchrisum0lem2  27364  dchrisum0lem3  27365  dchrisum0  27366  rplogsum  27373  mudivsum  27376  mulogsumlem  27377  mulogsum  27378  mulog2sumlem1  27380  mulog2sumlem2  27381  mulog2sumlem3  27382  vmalogdivsum2  27384  vmalogdivsum  27385  2vmadivsumlem  27386  logsqvma  27388  logsqvma2  27389  selberglem1  27391  selberglem2  27392  selberg  27394  selberg2  27397  selberg3lem1  27403  selberg4lem1  27406  selberg4  27407  pntrsumo1  27411  selbergr  27414  selberg3r  27415  selberg4r  27416  selberg34r  27417  pntsval2  27422  pntrlog2bndlem4  27426  pntrlog2bndlem5  27427  pntpbnd1  27432  pntlemk  27452  pntlemo  27453  axcgrrflx  28605  axcgrid  28607  axsegconlem1  28608  axsegconlem9  28616  ax5seglem1  28619  ax5seglem2  28620  ax5seglem9  28628  axlowdimlem16  28648  axlowdimlem17  28649  ecgrtg  28674  finsumvtxdg2ssteplem3  29237  rusgrnumwwlks  29661  fusgrhashclwwlkn  29765  fusgreghash2wsp  30024  numclwwlk6  30076  indsum  33483  indsumin  33484  eulerpartlemsv1  33819  eulerpartlemsf  33822  eulerpartlemgs2  33843  eulerpartlemn  33844  plymulx0  34022  signsvfn  34057  fsum2dsub  34083  reprsuc  34091  hashreprin  34096  reprpmtf1o  34102  breprexplema  34106  breprexplemc  34108  breprexp  34109  breprexpnat  34110  vtsprod  34115  circlemeth  34116  circlemethnat  34117  circlevma  34118  circlemethhgt  34119  hgt750lemd  34124  hgt750lemb  34132  hgt750lema  34133  subfaclim  34643  fwddifnp1  35607  knoppndvlem6  35857  rrnmet  37161  3factsumint2  41354  3factsumint3  41355  lcmineqlem1  41361  lcmineqlem3  41363  lcmineqlem6  41366  sticksstones8  41436  sticksstones9  41437  sticksstones10  41438  sticksstones11  41439  sticksstones12a  41440  sticksstones12  41441  sticksstones17  41446  sticksstones18  41447  sticksstones19  41448  sumcubes  41674  fltnltalem  41867  jm2.22  42197  jm2.23  42198  flcidc  42379  binomcxplemnn0  43571  binomcxplemdvsum  43577  binomcxplemnotnn0  43578  mccllem  44772  isumneg  44777  sumnnodd  44805  dvnmul  45118  dvnprodlem2  45122  dvnprodlem3  45123  stoweidlem37  45212  dirkertrigeqlem2  45274  dirkertrigeqlem3  45275  fourierdlem81  45362  fourierdlem83  45364  fourierdlem93  45374  fourierdlem103  45384  fourierdlem104  45385  elaa2lem  45408  etransclem23  45432  etransclem24  45433  etransclem31  45440  etransclem32  45441  etransclem35  45444  etransclem46  45455  rrxtopnfi  45462  rrndistlt  45465  sge0z  45550  sge0fsummpt  45565  sge0sup  45566  sge0resplit  45581  sge0split  45584  sge0ltfirpmpt2  45601  omeiunltfirp  45694  carageniuncllem2  45697  hoidmvlelem2  45771  hoidmvlelem3  45772  perfectALTVlem2  46849  nnsum3primesprm  46917  nnsum3primesgbe  46919  nnsum4primeseven  46927  altgsumbc  47191  altgsumbcALT  47192  nn0sumshdiglemA  47467  nn0sumshdiglemB  47468  nn0sumshdig  47471  aacllem  48010  amgmwlem  48011