Theorem sumeq2dv 15653

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15652	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Σcsu 15636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-sum 15637

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15655  sumeq12dv  15656  sumeq12rdv  15657  fsumf1o  15673  fsumss  15675  fsumsplit  15691  isummulc1  15713  isumdivc  15714  isumge0  15716  fsum2dlem  15720  fsumshftm  15731  fsum0diag2  15733  fsummulc1  15735  fsumdivc  15736  fsumneg  15737  fsumsub  15738  fsum2mul  15739  telfsumo2  15753  fsumparts  15756  hashiun  15772  hash2iun  15773  hash2iun1dif1  15774  ackbijnn  15778  binomlem  15779  binom1p  15781  incexclem  15786  incexc  15787  incexc2  15788  isum1p  15791  arisum  15810  trireciplem  15812  geoserg  15816  pwdif  15818  geo2sum  15823  mertenslem1  15834  mertenslem2  15835  mertens  15836  binomfallfaclem2  15988  binomrisefac  15990  bpolylem  15996  bpolydiflem  16002  fsumkthpow  16004  efaddlem  16040  rpnnen2lem10  16170  rpnnen2lem11  16171  fsumdvds  16255  pwp1fsum  16338  phisum  16727  pcfac  16836  ramcl  16966  lagsubg2  19109  sylow2a  19528  rrxcph  25140  trirn  25148  rrxmval  25153  rrxmet  25156  ovoliunnul  25256  ovolicc2lem4  25269  uniioombllem4  25335  vitalilem5  25361  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  itg1addlem5  25450  itg1mulc  25454  itg10a  25460  itg1climres  25464  itgss  25561  itgeqa  25563  itgsplit  25585  elply2  25945  elplyd  25951  plyeq0lem  25959  plyaddlem1  25962  plymullem1  25963  coeeulem  25973  coeeq2  25991  coemullem  25999  coe1termlem  26007  plycjlem  26026  plyrecj  26029  dvply1  26033  elqaalem3  26070  aareccl  26075  aannenlem1  26077  taylpval  26115  dvtaylp  26118  pserdvlem2  26176  pserdv2  26178  abelthlem8  26187  abelthlem9  26188  abelth  26189  logtayl  26404  leibpi  26683  birthdaylem2  26693  amgmlem  26730  emcllem5  26740  fsumharmonic  26752  lgamcvg2  26795  ftalem5  26817  basellem3  26823  basellem8  26828  sgmval2  26883  fsumdvdscom  26925  dvdsflsumcom  26928  musum  26931  musumsum  26932  muinv  26933  fsumdvdsmul  26935  sgmppw  26936  1sgmprm  26938  chtlepsi  26945  pclogsum  26954  vmasum  26955  logfac2  26956  chpval2  26957  chpchtsum  26958  logexprlim  26964  logfacrlim2  26965  perfectlem2  26969  dchrsum2  27007  sumdchr2  27009  dchrhash  27010  dchr2sum  27012  sum2dchr  27013  pcbcctr  27015  bposlem2  27024  lgsquadlem1  27119  lgsquadlem2  27120  chebbnd1lem1  27208  rplogsumlem1  27223  rplogsumlem2  27224  rpvmasumlem  27226  dchrisumlem1  27228  dchrisumlem2  27229  dchrmusum2  27233  dchrvmasumlem1  27234  dchrvmasum2lem  27235  dchrvmasum2if  27236  dchrvmasumiflem1  27240  dchrvmasumiflem2  27241  dchrisum0flblem1  27247  dchrisum0fno1  27250  rpvmasum2  27251  dchrisum0lem2a  27256  dchrisum0lem2  27257  dchrisum0lem3  27258  dchrisum0  27259  rplogsum  27266  mudivsum  27269  mulogsumlem  27270  mulogsum  27271  mulog2sumlem1  27273  mulog2sumlem2  27274  mulog2sumlem3  27275  vmalogdivsum2  27277  vmalogdivsum  27278  2vmadivsumlem  27279  logsqvma  27281  logsqvma2  27282  selberglem1  27284  selberglem2  27285  selberg  27287  selberg2  27290  selberg3lem1  27296  selberg4lem1  27299  selberg4  27300  pntrsumo1  27304  selbergr  27307  selberg3r  27308  selberg4r  27309  selberg34r  27310  pntsval2  27315  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntpbnd1  27325  pntlemk  27345  pntlemo  27346  axcgrrflx  28439  axcgrid  28441  axsegconlem1  28442  axsegconlem9  28450  ax5seglem1  28453  ax5seglem2  28454  ax5seglem9  28462  axlowdimlem16  28482  axlowdimlem17  28483  ecgrtg  28508  finsumvtxdg2ssteplem3  29071  rusgrnumwwlks  29495  fusgrhashclwwlkn  29599  fusgreghash2wsp  29858  numclwwlk6  29910  indsum  33317  indsumin  33318  eulerpartlemsv1  33653  eulerpartlemsf  33656  eulerpartlemgs2  33677  eulerpartlemn  33678  plymulx0  33856  signsvfn  33891  fsum2dsub  33917  reprsuc  33925  hashreprin  33930  reprpmtf1o  33936  breprexplema  33940  breprexplemc  33942  breprexp  33943  breprexpnat  33944  vtsprod  33949  circlemeth  33950  circlemethnat  33951  circlevma  33952  circlemethhgt  33953  hgt750lemd  33958  hgt750lemb  33966  hgt750lema  33967  subfaclim  34477  fwddifnp1  35441  knoppndvlem6  35696  rrnmet  37000  3factsumint2  41193  3factsumint3  41194  lcmineqlem1  41200  lcmineqlem3  41202  lcmineqlem6  41205  sticksstones8  41275  sticksstones9  41276  sticksstones10  41277  sticksstones11  41278  sticksstones12a  41279  sticksstones12  41280  sticksstones17  41285  sticksstones18  41286  sticksstones19  41287  sumcubes  41513  fltnltalem  41706  jm2.22  42036  jm2.23  42037  flcidc  42218  binomcxplemnn0  43410  binomcxplemdvsum  43416  binomcxplemnotnn0  43417  mccllem  44611  isumneg  44616  sumnnodd  44644  dvnmul  44957  dvnprodlem2  44961  dvnprodlem3  44962  stoweidlem37  45051  dirkertrigeqlem2  45113  dirkertrigeqlem3  45114  fourierdlem81  45201  fourierdlem83  45203  fourierdlem93  45213  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  elaa2lem  45247  etransclem23  45271  etransclem24  45272  etransclem31  45279  etransclem32  45280  etransclem35  45283  etransclem46  45294  rrxtopnfi  45301  rrndistlt  45304  sge0z  45389  sge0fsummpt  45404  sge0sup  45405  sge0resplit  45420  sge0split  45423  sge0ltfirpmpt2  45440  omeiunltfirp  45533  carageniuncllem2  45536  hoidmvlelem2  45610  hoidmvlelem3  45611  perfectALTVlem2  46688  nnsum3primesprm  46756  nnsum3primesgbe  46758  nnsum4primeseven  46766  altgsumbc  47116  altgsumbcALT  47117  nn0sumshdiglemA  47392  nn0sumshdiglemB  47393  nn0sumshdig  47396  aacllem  47935  amgmwlem  47936