Theorem sumeq2dv 15060

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15059	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15062  sumeq12dv  15063  sumeq12rdv  15064  fsumf1o  15080  fsumss  15082  fsumsplit  15097  isummulc1  15118  isumdivc  15119  isumge0  15121  fsum2dlem  15125  fsumshftm  15136  fsum0diag2  15138  fsummulc1  15140  fsumdivc  15141  fsumneg  15142  fsumsub  15143  fsum2mul  15144  telfsumo2  15158  fsumparts  15161  hashiun  15177  hash2iun  15178  hash2iun1dif1  15179  ackbijnn  15183  binomlem  15184  binom1p  15186  incexclem  15191  incexc  15192  incexc2  15193  isum1p  15196  arisum  15215  trireciplem  15217  geoserg  15221  pwdif  15223  geo2sum  15229  mertenslem1  15240  mertenslem2  15241  mertens  15242  binomfallfaclem2  15394  binomrisefac  15396  bpolylem  15402  bpolydiflem  15408  fsumkthpow  15410  efaddlem  15446  rpnnen2lem10  15576  rpnnen2lem11  15577  fsumdvds  15658  pwp1fsum  15742  phisum  16127  pcfac  16235  ramcl  16365  lagsubg2  18341  sylow2a  18744  rrxcph  23995  trirn  24003  rrxmval  24008  rrxmet  24011  ovoliunnul  24108  ovolicc2lem4  24121  uniioombllem4  24187  vitalilem5  24213  itg1addlem4  24300  itg1addlem5  24301  itg1mulc  24305  itg10a  24311  itg1climres  24315  itgss  24412  itgeqa  24414  itgsplit  24436  elply2  24786  elplyd  24792  plyeq0lem  24800  plyaddlem1  24803  plymullem1  24804  coeeulem  24814  coeeq2  24832  coemullem  24840  coe1termlem  24848  plycjlem  24866  plyrecj  24869  dvply1  24873  elqaalem3  24910  aareccl  24915  aannenlem1  24917  taylpval  24955  dvtaylp  24958  pserdvlem2  25016  pserdv2  25018  abelthlem8  25027  abelthlem9  25028  abelth  25029  logtayl  25243  leibpi  25520  birthdaylem2  25530  amgmlem  25567  emcllem5  25577  fsumharmonic  25589  lgamcvg2  25632  ftalem5  25654  basellem3  25660  basellem8  25665  sgmval2  25720  fsumdvdscom  25762  dvdsflsumcom  25765  musum  25768  musumsum  25769  muinv  25770  fsumdvdsmul  25772  sgmppw  25773  1sgmprm  25775  chtlepsi  25782  pclogsum  25791  vmasum  25792  logfac2  25793  chpval2  25794  chpchtsum  25795  logexprlim  25801  logfacrlim2  25802  perfectlem2  25806  dchrsum2  25844  sumdchr2  25846  dchrhash  25847  dchr2sum  25849  sum2dchr  25850  pcbcctr  25852  bposlem2  25861  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  chebbnd1lem1  26045  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisumlem1  26065  dchrisumlem2  26066  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem1  26071  dchrvmasum2lem  26072  dchrvmasum2if  26073  dchrvmasumiflem1  26077  dchrvmasumiflem2  26078  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0fno1  26087  rpvmasum2  26088  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  dchrisum0lem3  26095  dchrisum0  26096  rplogsum  26103  mudivsum  26106  mulogsumlem  26107  mulogsum  26108  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  mulog2sumlem3  26112  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  logsqvma  26118  logsqvma2  26119  selberglem1  26121  selberglem2  26122  selberg  26124  selberg2  26127  selberg3lem1  26133  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  pntrsumo1  26141  selbergr  26144  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntsval2  26152  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntpbnd1  26162  pntlemk  26182  pntlemo  26183  axcgrrflx  26700  axcgrid  26702  axsegconlem1  26703  axsegconlem9  26711  ax5seglem1  26714  ax5seglem2  26715  ax5seglem9  26723  axlowdimlem16  26743  axlowdimlem17  26744  ecgrtg  26769  finsumvtxdg2ssteplem3  27329  rusgrnumwwlks  27753  fusgrhashclwwlkn  27858  fusgreghash2wsp  28117  numclwwlk6  28169  indsum  31280  indsumin  31281  eulerpartlemsv1  31614  eulerpartlemsf  31617  eulerpartlemgs2  31638  eulerpartlemn  31639  plymulx0  31817  signsvfn  31852  fsum2dsub  31878  reprsuc  31886  hashreprin  31891  reprpmtf1o  31897  breprexplema  31901  breprexplemc  31903  breprexp  31904  breprexpnat  31905  vtsprod  31910  circlemeth  31911  circlemethnat  31912  circlevma  31913  circlemethhgt  31914  hgt750lemd  31919  hgt750lemb  31927  hgt750lema  31928  subfaclim  32435  fwddifnp1  33626  knoppndvlem6  33856  rrnmet  35122  fltnltalem  39323  jm2.22  39641  jm2.23  39642  flcidc  39823  binomcxplemnn0  40730  binomcxplemdvsum  40736  binomcxplemnotnn0  40737  mccllem  41927  isumneg  41932  sumnnodd  41960  dvnmul  42277  dvnprodlem2  42281  dvnprodlem3  42282  stoweidlem37  42371  dirkertrigeqlem2  42433  dirkertrigeqlem3  42434  fourierdlem81  42521  fourierdlem83  42523  fourierdlem93  42533  fourierdlem103  42543  fourierdlem104  42544  elaa2lem  42567  etransclem23  42591  etransclem24  42592  etransclem31  42599  etransclem32  42600  etransclem35  42603  etransclem46  42614  rrxtopnfi  42621  rrndistlt  42624  sge0z  42706  sge0fsummpt  42721  sge0sup  42722  sge0resplit  42737  sge0split  42740  sge0ltfirpmpt2  42757  omeiunltfirp  42850  carageniuncllem2  42853  hoidmvlelem2  42927  hoidmvlelem3  42928  perfectALTVlem2  43936  nnsum3primesprm  44004  nnsum3primesgbe  44006  nnsum4primeseven  44014  altgsumbc  44449  altgsumbcALT  44450  nn0sumshdiglemA  44728  nn0sumshdiglemB  44729  nn0sumshdig  44732  aacllem  44951  amgmwlem  44952