Theorem sumeq2dv 15052

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15051	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15054  sumeq12dv  15055  sumeq12rdv  15056  fsumf1o  15072  fsumss  15074  fsumsplit  15089  isummulc1  15110  isumdivc  15111  isumge0  15113  fsum2dlem  15117  fsumshftm  15128  fsum0diag2  15130  fsummulc1  15132  fsumdivc  15133  fsumneg  15134  fsumsub  15135  fsum2mul  15136  telfsumo2  15150  fsumparts  15153  hashiun  15169  hash2iun  15170  hash2iun1dif1  15171  ackbijnn  15175  binomlem  15176  binom1p  15178  incexclem  15183  incexc  15184  incexc2  15185  isum1p  15188  arisum  15207  trireciplem  15209  geoserg  15213  pwdif  15215  geo2sum  15221  mertenslem1  15232  mertenslem2  15233  mertens  15234  binomfallfaclem2  15386  binomrisefac  15388  bpolylem  15394  bpolydiflem  15400  fsumkthpow  15402  efaddlem  15438  rpnnen2lem10  15568  rpnnen2lem11  15569  fsumdvds  15650  pwp1fsum  15732  phisum  16117  pcfac  16225  ramcl  16355  lagsubg2  18333  sylow2a  18736  rrxcph  23996  trirn  24004  rrxmval  24009  rrxmet  24012  ovoliunnul  24111  ovolicc2lem4  24124  uniioombllem4  24190  vitalilem5  24216  itg1addlem4  24303  itg1addlem5  24304  itg1mulc  24308  itg10a  24314  itg1climres  24318  itgss  24415  itgeqa  24417  itgsplit  24439  elply2  24793  elplyd  24799  plyeq0lem  24807  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  coeeulem  24821  coeeq2  24839  coemullem  24847  coe1termlem  24855  plycjlem  24873  plyrecj  24876  dvply1  24880  elqaalem3  24917  aareccl  24922  aannenlem1  24924  taylpval  24962  dvtaylp  24965  pserdvlem2  25023  pserdv2  25025  abelthlem8  25034  abelthlem9  25035  abelth  25036  logtayl  25251  leibpi  25528  birthdaylem2  25538  amgmlem  25575  emcllem5  25585  fsumharmonic  25597  lgamcvg2  25640  ftalem5  25662  basellem3  25668  basellem8  25673  sgmval2  25728  fsumdvdscom  25770  dvdsflsumcom  25773  musum  25776  musumsum  25777  muinv  25778  fsumdvdsmul  25780  sgmppw  25781  1sgmprm  25783  chtlepsi  25790  pclogsum  25799  vmasum  25800  logfac2  25801  chpval2  25802  chpchtsum  25803  logexprlim  25809  logfacrlim2  25810  perfectlem2  25814  dchrsum2  25852  sumdchr2  25854  dchrhash  25855  dchr2sum  25857  sum2dchr  25858  pcbcctr  25860  bposlem2  25869  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  chebbnd1lem1  26053  rplogsumlem1  26068  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisumlem1  26073  dchrisumlem2  26074  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem1  26079  dchrvmasum2lem  26080  dchrvmasum2if  26081  dchrvmasumiflem1  26085  dchrvmasumiflem2  26086  dchrisum0flblem1  26092  dchrisum0fno1  26095  rpvmasum2  26096  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  dchrisum0lem3  26103  dchrisum0  26104  rplogsum  26111  mudivsum  26114  mulogsumlem  26115  mulogsum  26116  mulog2sumlem1  26118  mulog2sumlem2  26119  mulog2sumlem3  26120  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  logsqvma  26126  logsqvma2  26127  selberglem1  26129  selberglem2  26130  selberg  26132  selberg2  26135  selberg3lem1  26141  selberg4lem1  26144  selberg4  26145  pntrsumo1  26149  selbergr  26152  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntsval2  26160  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntpbnd1  26170  pntlemk  26190  pntlemo  26191  axcgrrflx  26708  axcgrid  26710  axsegconlem1  26711  axsegconlem9  26719  ax5seglem1  26722  ax5seglem2  26723  ax5seglem9  26731  axlowdimlem16  26751  axlowdimlem17  26752  ecgrtg  26777  finsumvtxdg2ssteplem3  27337  rusgrnumwwlks  27760  fusgrhashclwwlkn  27864  fusgreghash2wsp  28123  numclwwlk6  28175  indsum  31390  indsumin  31391  eulerpartlemsv1  31724  eulerpartlemsf  31727  eulerpartlemgs2  31748  eulerpartlemn  31749  plymulx0  31927  signsvfn  31962  fsum2dsub  31988  reprsuc  31996  hashreprin  32001  reprpmtf1o  32007  breprexplema  32011  breprexplemc  32013  breprexp  32014  breprexpnat  32015  vtsprod  32020  circlemeth  32021  circlemethnat  32022  circlevma  32023  circlemethhgt  32024  hgt750lemd  32029  hgt750lemb  32037  hgt750lema  32038  subfaclim  32548  fwddifnp1  33739  knoppndvlem6  33969  rrnmet  35267  3factsumint2  39310  3factsumint3  39311  lcmineqlem1  39317  lcmineqlem3  39319  lcmineqlem6  39322  fltnltalem  39618  jm2.22  39936  jm2.23  39937  flcidc  40118  binomcxplemnn0  41053  binomcxplemdvsum  41059  binomcxplemnotnn0  41060  mccllem  42239  isumneg  42244  sumnnodd  42272  dvnmul  42585  dvnprodlem2  42589  dvnprodlem3  42590  stoweidlem37  42679  dirkertrigeqlem2  42741  dirkertrigeqlem3  42742  fourierdlem81  42829  fourierdlem83  42831  fourierdlem93  42841  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  elaa2lem  42875  etransclem23  42899  etransclem24  42900  etransclem31  42907  etransclem32  42908  etransclem35  42911  etransclem46  42922  rrxtopnfi  42929  rrndistlt  42932  sge0z  43014  sge0fsummpt  43029  sge0sup  43030  sge0resplit  43045  sge0split  43048  sge0ltfirpmpt2  43065  omeiunltfirp  43158  carageniuncllem2  43161  hoidmvlelem2  43235  hoidmvlelem3  43236  perfectALTVlem2  44240  nnsum3primesprm  44308  nnsum3primesgbe  44310  nnsum4primeseven  44318  altgsumbc  44754  altgsumbcALT  44755  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034  nn0sumshdig  45037  aacllem  45329  amgmwlem  45330