Theorem sumeq2dv 15649

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15648	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Σcsu 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15651  sumeq12dv  15652  sumeq12rdv  15653  fsumf1o  15669  fsumss  15671  fsumsplit  15687  isummulc1  15709  isumdivc  15710  isumge0  15712  fsum2dlem  15716  fsumshftm  15727  fsum0diag2  15729  fsummulc1  15731  fsumdivc  15732  fsumneg  15733  fsumsub  15734  fsum2mul  15735  telfsumo2  15749  fsumparts  15752  hashiun  15768  hash2iun  15769  hash2iun1dif1  15770  ackbijnn  15774  binomlem  15775  binom1p  15777  incexclem  15782  incexc  15783  incexc2  15784  isum1p  15787  arisum  15806  trireciplem  15808  geoserg  15812  pwdif  15814  geo2sum  15819  mertenslem1  15830  mertenslem2  15831  mertens  15832  binomfallfaclem2  15984  binomrisefac  15986  bpolylem  15992  bpolydiflem  15998  fsumkthpow  16000  efaddlem  16036  rpnnen2lem10  16166  rpnnen2lem11  16167  fsumdvds  16251  pwp1fsum  16334  phisum  16723  pcfac  16832  ramcl  16962  lagsubg2  19071  sylow2a  19487  rrxcph  24909  trirn  24917  rrxmval  24922  rrxmet  24925  ovoliunnul  25024  ovolicc2lem4  25037  uniioombllem4  25103  vitalilem5  25129  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  itg1addlem5  25218  itg1mulc  25222  itg10a  25228  itg1climres  25232  itgss  25329  itgeqa  25331  itgsplit  25353  elply2  25710  elplyd  25716  plyeq0lem  25724  plyaddlem1  25727  plymullem1  25728  coeeulem  25738  coeeq2  25756  coemullem  25764  coe1termlem  25772  plycjlem  25790  plyrecj  25793  dvply1  25797  elqaalem3  25834  aareccl  25839  aannenlem1  25841  taylpval  25879  dvtaylp  25882  pserdvlem2  25940  pserdv2  25942  abelthlem8  25951  abelthlem9  25952  abelth  25953  logtayl  26168  leibpi  26447  birthdaylem2  26457  amgmlem  26494  emcllem5  26504  fsumharmonic  26516  lgamcvg2  26559  ftalem5  26581  basellem3  26587  basellem8  26592  sgmval2  26647  fsumdvdscom  26689  dvdsflsumcom  26692  musum  26695  musumsum  26696  muinv  26697  fsumdvdsmul  26699  sgmppw  26700  1sgmprm  26702  chtlepsi  26709  pclogsum  26718  vmasum  26719  logfac2  26720  chpval2  26721  chpchtsum  26722  logexprlim  26728  logfacrlim2  26729  perfectlem2  26733  dchrsum2  26771  sumdchr2  26773  dchrhash  26774  dchr2sum  26776  sum2dchr  26777  pcbcctr  26779  bposlem2  26788  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  chebbnd1lem1  26972  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  rpvmasumlem  26990  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem1  26998  dchrvmasum2lem  26999  dchrvmasum2if  27000  dchrvmasumiflem1  27004  dchrvmasumiflem2  27005  dchrisum0flblem1  27011  dchrisum0fno1  27014  rpvmasum2  27015  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrisum0lem3  27022  dchrisum0  27023  rplogsum  27030  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  mulogsum  27035  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  mulog2sumlem3  27039  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  logsqvma  27045  logsqvma2  27046  selberglem1  27048  selberglem2  27049  selberg  27051  selberg2  27054  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrsumo1  27068  selbergr  27071  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntsval2  27079  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntpbnd1  27089  pntlemk  27109  pntlemo  27110  axcgrrflx  28172  axcgrid  28174  axsegconlem1  28175  axsegconlem9  28183  ax5seglem1  28186  ax5seglem2  28187  ax5seglem9  28195  axlowdimlem16  28215  axlowdimlem17  28216  ecgrtg  28241  finsumvtxdg2ssteplem3  28804  rusgrnumwwlks  29228  fusgrhashclwwlkn  29332  fusgreghash2wsp  29591  numclwwlk6  29643  indsum  33019  indsumin  33020  eulerpartlemsv1  33355  eulerpartlemsf  33358  eulerpartlemgs2  33379  eulerpartlemn  33380  plymulx0  33558  signsvfn  33593  fsum2dsub  33619  reprsuc  33627  hashreprin  33632  reprpmtf1o  33638  breprexplema  33642  breprexplemc  33644  breprexp  33645  breprexpnat  33646  vtsprod  33651  circlemeth  33652  circlemethnat  33653  circlevma  33654  circlemethhgt  33655  hgt750lemd  33660  hgt750lemb  33668  hgt750lema  33669  subfaclim  34179  fwddifnp1  35137  knoppndvlem6  35393  rrnmet  36697  3factsumint2  40887  3factsumint3  40888  lcmineqlem1  40894  lcmineqlem3  40896  lcmineqlem6  40899  sticksstones8  40969  sticksstones9  40970  sticksstones10  40971  sticksstones11  40972  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones17  40979  sticksstones18  40980  sticksstones19  40981  sumcubes  41211  fltnltalem  41404  jm2.22  41734  jm2.23  41735  flcidc  41916  binomcxplemnn0  43108  binomcxplemdvsum  43114  binomcxplemnotnn0  43115  mccllem  44313  isumneg  44318  sumnnodd  44346  dvnmul  44659  dvnprodlem2  44663  dvnprodlem3  44664  stoweidlem37  44753  dirkertrigeqlem2  44815  dirkertrigeqlem3  44816  fourierdlem81  44903  fourierdlem83  44905  fourierdlem93  44915  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  elaa2lem  44949  etransclem23  44973  etransclem24  44974  etransclem31  44981  etransclem32  44982  etransclem35  44985  etransclem46  44996  rrxtopnfi  45003  rrndistlt  45006  sge0z  45091  sge0fsummpt  45106  sge0sup  45107  sge0resplit  45122  sge0split  45125  sge0ltfirpmpt2  45142  omeiunltfirp  45235  carageniuncllem2  45238  hoidmvlelem2  45312  hoidmvlelem3  45313  perfectALTVlem2  46390  nnsum3primesprm  46458  nnsum3primesgbe  46460  nnsum4primeseven  46468  altgsumbc  47028  altgsumbcALT  47029  nn0sumshdiglemA  47305  nn0sumshdiglemB  47306  nn0sumshdig  47309  aacllem  47848  amgmwlem  47849