Theorem sumeq2dv 15625

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15624	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15628  sumeq12dv  15629  sumeq12rdv  15630  fsumf1o  15646  fsumss  15648  fsumsplit  15664  isummulc1  15686  isumdivc  15687  isumge0  15689  fsum2dlem  15693  fsumshftm  15704  fsum0diag2  15706  fsummulc1  15708  fsumdivc  15709  fsumneg  15710  fsumsub  15711  fsum2mul  15712  telfsumo2  15726  fsumparts  15729  hashiun  15745  hash2iun  15746  hash2iun1dif1  15747  ackbijnn  15751  binomlem  15752  binom1p  15754  incexclem  15759  incexc  15760  incexc2  15761  isum1p  15764  arisum  15783  trireciplem  15785  geoserg  15789  pwdif  15791  geo2sum  15796  mertenslem1  15807  mertenslem2  15808  mertens  15809  binomfallfaclem2  15963  binomrisefac  15965  bpolylem  15971  bpolydiflem  15977  fsumkthpow  15979  efaddlem  16016  rpnnen2lem10  16148  rpnnen2lem11  16149  fsumdvds  16235  pwp1fsum  16318  phisum  16718  pcfac  16827  ramcl  16957  lagsubg2  19123  sylow2a  19548  rrxcph  25348  trirn  25356  rrxmval  25361  rrxmet  25364  ovoliunnul  25464  ovolicc2lem4  25477  uniioombllem4  25543  vitalilem5  25569  itg1addlem4  25656  itg1addlem5  25657  itg1mulc  25661  itg10a  25667  itg1climres  25671  itgss  25769  itgeqa  25771  itgsplit  25793  elply2  26157  elplyd  26163  plyeq0lem  26171  plyaddlem1  26174  plymullem1  26175  coeeulem  26185  coeeq2  26203  coemullem  26211  coe1termlem  26219  plycjlem  26238  plyrecj  26243  dvply1  26247  elqaalem3  26285  aareccl  26290  aannenlem1  26292  taylpval  26330  dvtaylp  26334  pserdvlem2  26394  pserdv2  26396  abelthlem8  26405  abelthlem9  26406  abelth  26407  logtayl  26625  leibpi  26908  birthdaylem2  26918  amgmlem  26956  emcllem5  26966  fsumharmonic  26978  lgamcvg2  27021  ftalem5  27043  basellem3  27049  basellem8  27054  sgmval2  27109  fsumdvdscom  27151  dvdsflsumcom  27154  musum  27157  musumsum  27158  muinv  27159  fsumdvdsmul  27161  fsumdvdsmulOLD  27163  sgmppw  27164  1sgmprm  27166  chtlepsi  27173  pclogsum  27182  vmasum  27183  logfac2  27184  chpval2  27185  chpchtsum  27186  logexprlim  27192  logfacrlim2  27193  perfectlem2  27197  dchrsum2  27235  sumdchr2  27237  dchrhash  27238  dchr2sum  27240  sum2dchr  27241  pcbcctr  27243  bposlem2  27252  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  chebbnd1lem1  27436  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem1  27462  dchrvmasum2lem  27463  dchrvmasum2if  27464  dchrvmasumiflem1  27468  dchrvmasumiflem2  27469  dchrisum0flblem1  27475  dchrisum0fno1  27478  rpvmasum2  27479  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0lem3  27486  dchrisum0  27487  rplogsum  27494  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  mulogsum  27499  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  mulog2sumlem3  27503  vmalogdivsum2  27505  vmalogdivsum  27506  2vmadivsumlem  27507  logsqvma  27509  logsqvma2  27510  selberglem1  27512  selberglem2  27513  selberg  27515  selberg2  27518  selberg3lem1  27524  selberg4lem1  27527  selberg4  27528  pntrsumo1  27532  selbergr  27535  selberg3r  27536  selberg4r  27537  selberg34r  27538  pntsval2  27543  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntpbnd1  27553  pntlemk  27573  pntlemo  27574  axcgrrflx  28987  axcgrid  28989  axsegconlem1  28990  axsegconlem9  28998  ax5seglem1  29001  ax5seglem2  29002  ax5seglem9  29010  axlowdimlem16  29030  axlowdimlem17  29031  ecgrtg  29056  finsumvtxdg2ssteplem3  29621  rusgrnumwwlks  30050  fusgrhashclwwlkn  30154  fusgreghash2wsp  30413  numclwwlk6  30465  indsum  32942  indsumin  32943  elrgspnlem2  33325  vietadeg1  33734  eulerpartlemsv1  34513  eulerpartlemsf  34516  eulerpartlemgs2  34537  eulerpartlemn  34538  plymulx0  34704  signsvfn  34739  fsum2dsub  34764  reprsuc  34772  hashreprin  34777  reprpmtf1o  34783  breprexplema  34787  breprexplemc  34789  breprexp  34790  breprexpnat  34791  vtsprod  34796  circlemeth  34797  circlemethnat  34798  circlevma  34799  circlemethhgt  34800  hgt750lemd  34805  hgt750lemb  34813  hgt750lema  34814  subfaclim  35382  fwddifnp1  36359  knoppndvlem6  36717  rrnmet  38030  3factsumint2  42286  3factsumint3  42287  lcmineqlem1  42293  lcmineqlem3  42295  lcmineqlem6  42298  sticksstones8  42417  sticksstones9  42418  sticksstones10  42419  sticksstones11  42420  sticksstones12a  42421  sticksstones12  42422  sticksstones17  42427  sticksstones18  42428  sticksstones19  42429  aks6d1c6lem1  42434  aks6d1c6lem3  42436  aks6d1c7lem3  42446  unitscyglem2  42460  sumcubes  42578  fltnltalem  42915  jm2.22  43247  jm2.23  43248  flcidc  43422  binomcxplemnn0  44600  binomcxplemdvsum  44606  binomcxplemnotnn0  44607  mccllem  45853  isumneg  45858  sumnnodd  45886  dvnmul  46197  dvnprodlem2  46201  dvnprodlem3  46202  stoweidlem37  46291  dirkertrigeqlem2  46353  dirkertrigeqlem3  46354  fourierdlem81  46441  fourierdlem83  46443  fourierdlem93  46453  fourierdlem103  46463  fourierdlem104  46464  elaa2lem  46487  etransclem23  46511  etransclem24  46512  etransclem31  46519  etransclem32  46520  etransclem35  46523  etransclem46  46534  rrxtopnfi  46541  rrndistlt  46544  sge0z  46629  sge0fsummpt  46644  sge0sup  46645  sge0resplit  46660  sge0split  46663  sge0ltfirpmpt2  46680  omeiunltfirp  46773  carageniuncllem2  46776  hoidmvlelem2  46850  hoidmvlelem3  46851  perfectALTVlem2  47978  nnsum3primesprm  48046  nnsum3primesgbe  48048  nnsum4primeseven  48056  altgsumbc  48608  altgsumbcALT  48609  nn0sumshdiglemA  48875  nn0sumshdiglemB  48876  nn0sumshdig  48879  aacllem  50056  amgmwlem  50057