Theorem sumeq2dv 15460

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15459	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Σcsu 15442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-seq 13768  df-sum 15443

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15462  sumeq12dv  15463  sumeq12rdv  15464  fsumf1o  15480  fsumss  15482  fsumsplit  15498  isummulc1  15520  isumdivc  15521  isumge0  15523  fsum2dlem  15527  fsumshftm  15538  fsum0diag2  15540  fsummulc1  15542  fsumdivc  15543  fsumneg  15544  fsumsub  15545  fsum2mul  15546  telfsumo2  15560  fsumparts  15563  hashiun  15579  hash2iun  15580  hash2iun1dif1  15581  ackbijnn  15585  binomlem  15586  binom1p  15588  incexclem  15593  incexc  15594  incexc2  15595  isum1p  15598  arisum  15617  trireciplem  15619  geoserg  15623  pwdif  15625  geo2sum  15630  mertenslem1  15641  mertenslem2  15642  mertens  15643  binomfallfaclem2  15795  binomrisefac  15797  bpolylem  15803  bpolydiflem  15809  fsumkthpow  15811  efaddlem  15847  rpnnen2lem10  15977  rpnnen2lem11  15978  fsumdvds  16062  pwp1fsum  16145  phisum  16536  pcfac  16645  ramcl  16775  lagsubg2  18862  sylow2a  19269  rrxcph  24601  trirn  24609  rrxmval  24614  rrxmet  24617  ovoliunnul  24716  ovolicc2lem4  24729  uniioombllem4  24795  vitalilem5  24821  itg1addlem4  24908  itg1addlem4OLD  24909  itg1addlem5  24910  itg1mulc  24914  itg10a  24920  itg1climres  24924  itgss  25021  itgeqa  25023  itgsplit  25045  elply2  25402  elplyd  25408  plyeq0lem  25416  plyaddlem1  25419  plymullem1  25420  coeeulem  25430  coeeq2  25448  coemullem  25456  coe1termlem  25464  plycjlem  25482  plyrecj  25485  dvply1  25489  elqaalem3  25526  aareccl  25531  aannenlem1  25533  taylpval  25571  dvtaylp  25574  pserdvlem2  25632  pserdv2  25634  abelthlem8  25643  abelthlem9  25644  abelth  25645  logtayl  25860  leibpi  26137  birthdaylem2  26147  amgmlem  26184  emcllem5  26194  fsumharmonic  26206  lgamcvg2  26249  ftalem5  26271  basellem3  26277  basellem8  26282  sgmval2  26337  fsumdvdscom  26379  dvdsflsumcom  26382  musum  26385  musumsum  26386  muinv  26387  fsumdvdsmul  26389  sgmppw  26390  1sgmprm  26392  chtlepsi  26399  pclogsum  26408  vmasum  26409  logfac2  26410  chpval2  26411  chpchtsum  26412  logexprlim  26418  logfacrlim2  26419  perfectlem2  26423  dchrsum2  26461  sumdchr2  26463  dchrhash  26464  dchr2sum  26466  sum2dchr  26467  pcbcctr  26469  bposlem2  26478  lgsquadlem1  26573  lgsquadlem2  26574  chebbnd1lem1  26662  rplogsumlem1  26677  rplogsumlem2  26678  rpvmasumlem  26680  dchrisumlem1  26682  dchrisumlem2  26683  dchrmusum2  26687  dchrvmasumlem1  26688  dchrvmasum2lem  26689  dchrvmasum2if  26690  dchrvmasumiflem1  26694  dchrvmasumiflem2  26695  dchrisum0flblem1  26701  dchrisum0fno1  26704  rpvmasum2  26705  dchrisum0lem2a  26710  dchrisum0lem2  26711  dchrisum0lem3  26712  dchrisum0  26713  rplogsum  26720  mudivsum  26723  mulogsumlem  26724  mulogsum  26725  mulog2sumlem1  26727  mulog2sumlem2  26728  mulog2sumlem3  26729  vmalogdivsum2  26731  vmalogdivsum  26732  2vmadivsumlem  26733  logsqvma  26735  logsqvma2  26736  selberglem1  26738  selberglem2  26739  selberg  26741  selberg2  26744  selberg3lem1  26750  selberg4lem1  26753  selberg4  26754  pntrsumo1  26758  selbergr  26761  selberg3r  26762  selberg4r  26763  selberg34r  26764  pntsval2  26769  pntrlog2bndlem4  26773  pntrlog2bndlem5  26774  pntpbnd1  26779  pntlemk  26799  pntlemo  26800  axcgrrflx  27327  axcgrid  27329  axsegconlem1  27330  axsegconlem9  27338  ax5seglem1  27341  ax5seglem2  27342  ax5seglem9  27350  axlowdimlem16  27370  axlowdimlem17  27371  ecgrtg  27396  finsumvtxdg2ssteplem3  27959  rusgrnumwwlks  28384  fusgrhashclwwlkn  28488  fusgreghash2wsp  28747  numclwwlk6  28799  indsum  32034  indsumin  32035  eulerpartlemsv1  32368  eulerpartlemsf  32371  eulerpartlemgs2  32392  eulerpartlemn  32393  plymulx0  32571  signsvfn  32606  fsum2dsub  32632  reprsuc  32640  hashreprin  32645  reprpmtf1o  32651  breprexplema  32655  breprexplemc  32657  breprexp  32658  breprexpnat  32659  vtsprod  32664  circlemeth  32665  circlemethnat  32666  circlevma  32667  circlemethhgt  32668  hgt750lemd  32673  hgt750lemb  32681  hgt750lema  32682  subfaclim  33195  fwddifnp1  34512  knoppndvlem6  34742  rrnmet  36031  3factsumint2  40072  3factsumint3  40073  lcmineqlem1  40079  lcmineqlem3  40081  lcmineqlem6  40084  sticksstones8  40151  sticksstones9  40152  sticksstones10  40153  sticksstones11  40154  sticksstones12a  40155  sticksstones12  40156  sticksstones17  40161  sticksstones18  40162  sticksstones19  40163  fltnltalem  40536  jm2.22  40855  jm2.23  40856  flcidc  41037  binomcxplemnn0  42005  binomcxplemdvsum  42011  binomcxplemnotnn0  42012  mccllem  43187  isumneg  43192  sumnnodd  43220  dvnmul  43533  dvnprodlem2  43537  dvnprodlem3  43538  stoweidlem37  43627  dirkertrigeqlem2  43689  dirkertrigeqlem3  43690  fourierdlem81  43777  fourierdlem83  43779  fourierdlem93  43789  fourierdlem103  43799  fourierdlem104  43800  elaa2lem  43823  etransclem23  43847  etransclem24  43848  etransclem31  43855  etransclem32  43856  etransclem35  43859  etransclem46  43870  rrxtopnfi  43877  rrndistlt  43880  sge0z  43963  sge0fsummpt  43978  sge0sup  43979  sge0resplit  43994  sge0split  43997  sge0ltfirpmpt2  44014  omeiunltfirp  44107  carageniuncllem2  44110  hoidmvlelem2  44184  hoidmvlelem3  44185  perfectALTVlem2  45232  nnsum3primesprm  45300  nnsum3primesgbe  45302  nnsum4primeseven  45310  altgsumbc  45746  altgsumbcALT  45747  nn0sumshdiglemA  46023  nn0sumshdiglemB  46024  nn0sumshdig  46027  aacllem  46563  amgmwlem  46564