Theorem sumeq2dv 15623

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15622	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Σcsu 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-sum 15608

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15626  sumeq12dv  15627  sumeq12rdv  15628  fsumf1o  15644  fsumss  15646  fsumsplit  15662  isummulc1  15684  isumdivc  15685  isumge0  15687  fsum2dlem  15691  fsumshftm  15702  fsum0diag2  15704  fsummulc1  15706  fsumdivc  15707  fsumneg  15708  fsumsub  15709  fsum2mul  15710  telfsumo2  15724  fsumparts  15727  hashiun  15743  hash2iun  15744  hash2iun1dif1  15745  ackbijnn  15749  binomlem  15750  binom1p  15752  incexclem  15757  incexc  15758  incexc2  15759  isum1p  15762  arisum  15781  trireciplem  15783  geoserg  15787  pwdif  15789  geo2sum  15794  mertenslem1  15805  mertenslem2  15806  mertens  15807  binomfallfaclem2  15961  binomrisefac  15963  bpolylem  15969  bpolydiflem  15975  fsumkthpow  15977  efaddlem  16014  rpnnen2lem10  16146  rpnnen2lem11  16147  fsumdvds  16233  pwp1fsum  16316  phisum  16716  pcfac  16825  ramcl  16955  lagsubg2  19121  sylow2a  19546  rrxcph  25346  trirn  25354  rrxmval  25359  rrxmet  25362  ovoliunnul  25462  ovolicc2lem4  25475  uniioombllem4  25541  vitalilem5  25567  itg1addlem4  25654  itg1addlem5  25655  itg1mulc  25659  itg10a  25665  itg1climres  25669  itgss  25767  itgeqa  25769  itgsplit  25791  elply2  26155  elplyd  26161  plyeq0lem  26169  plyaddlem1  26172  plymullem1  26173  coeeulem  26183  coeeq2  26201  coemullem  26209  coe1termlem  26217  plycjlem  26236  plyrecj  26241  dvply1  26245  elqaalem3  26283  aareccl  26288  aannenlem1  26290  taylpval  26328  dvtaylp  26332  pserdvlem2  26392  pserdv2  26394  abelthlem8  26403  abelthlem9  26404  abelth  26405  logtayl  26623  leibpi  26906  birthdaylem2  26916  amgmlem  26954  emcllem5  26964  fsumharmonic  26976  lgamcvg2  27019  ftalem5  27041  basellem3  27047  basellem8  27052  sgmval2  27107  fsumdvdscom  27149  dvdsflsumcom  27152  musum  27155  musumsum  27156  muinv  27157  fsumdvdsmul  27159  fsumdvdsmulOLD  27161  sgmppw  27162  1sgmprm  27164  chtlepsi  27171  pclogsum  27180  vmasum  27181  logfac2  27182  chpval2  27183  chpchtsum  27184  logexprlim  27190  logfacrlim2  27191  perfectlem2  27195  dchrsum2  27233  sumdchr2  27235  dchrhash  27236  dchr2sum  27238  sum2dchr  27239  pcbcctr  27241  bposlem2  27250  lgsquadlem1  27345  lgsquadlem2  27346  chebbnd1lem1  27434  rplogsumlem1  27449  rplogsumlem2  27450  rpvmasumlem  27452  dchrisumlem1  27454  dchrisumlem2  27455  dchrmusum2  27459  dchrvmasumlem1  27460  dchrvmasum2lem  27461  dchrvmasum2if  27462  dchrvmasumiflem1  27466  dchrvmasumiflem2  27467  dchrisum0flblem1  27473  dchrisum0fno1  27476  rpvmasum2  27477  dchrisum0lem2a  27482  dchrisum0lem2  27483  dchrisum0lem3  27484  dchrisum0  27485  rplogsum  27492  mudivsum  27495  mulogsumlem  27496  mulogsum  27497  mulog2sumlem1  27499  mulog2sumlem2  27500  mulog2sumlem3  27501  vmalogdivsum2  27503  vmalogdivsum  27504  2vmadivsumlem  27505  logsqvma  27507  logsqvma2  27508  selberglem1  27510  selberglem2  27511  selberg  27513  selberg2  27516  selberg3lem1  27522  selberg4lem1  27525  selberg4  27526  pntrsumo1  27530  selbergr  27533  selberg3r  27534  selberg4r  27535  selberg34r  27536  pntsval2  27541  pntrlog2bndlem4  27545  pntrlog2bndlem5  27546  pntpbnd1  27551  pntlemk  27571  pntlemo  27572  axcgrrflx  28936  axcgrid  28938  axsegconlem1  28939  axsegconlem9  28947  ax5seglem1  28950  ax5seglem2  28951  ax5seglem9  28959  axlowdimlem16  28979  axlowdimlem17  28980  ecgrtg  29005  finsumvtxdg2ssteplem3  29570  rusgrnumwwlks  29999  fusgrhashclwwlkn  30103  fusgreghash2wsp  30362  numclwwlk6  30414  indsum  32891  indsumin  32892  elrgspnlem2  33274  vietadeg1  33683  eulerpartlemsv1  34462  eulerpartlemsf  34465  eulerpartlemgs2  34486  eulerpartlemn  34487  plymulx0  34653  signsvfn  34688  fsum2dsub  34713  reprsuc  34721  hashreprin  34726  reprpmtf1o  34732  breprexplema  34736  breprexplemc  34738  breprexp  34739  breprexpnat  34740  vtsprod  34745  circlemeth  34746  circlemethnat  34747  circlevma  34748  circlemethhgt  34749  hgt750lemd  34754  hgt750lemb  34762  hgt750lema  34763  subfaclim  35331  fwddifnp1  36308  knoppndvlem6  36660  rrnmet  37969  3factsumint2  42215  3factsumint3  42216  lcmineqlem1  42222  lcmineqlem3  42224  lcmineqlem6  42227  sticksstones8  42346  sticksstones9  42347  sticksstones10  42348  sticksstones11  42349  sticksstones12a  42350  sticksstones12  42351  sticksstones17  42356  sticksstones18  42357  sticksstones19  42358  aks6d1c6lem1  42363  aks6d1c6lem3  42365  aks6d1c7lem3  42375  unitscyglem2  42389  sumcubes  42510  fltnltalem  42847  jm2.22  43179  jm2.23  43180  flcidc  43354  binomcxplemnn0  44532  binomcxplemdvsum  44538  binomcxplemnotnn0  44539  mccllem  45785  isumneg  45790  sumnnodd  45818  dvnmul  46129  dvnprodlem2  46133  dvnprodlem3  46134  stoweidlem37  46223  dirkertrigeqlem2  46285  dirkertrigeqlem3  46286  fourierdlem81  46373  fourierdlem83  46375  fourierdlem93  46385  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  elaa2lem  46419  etransclem23  46443  etransclem24  46444  etransclem31  46451  etransclem32  46452  etransclem35  46455  etransclem46  46466  rrxtopnfi  46473  rrndistlt  46476  sge0z  46561  sge0fsummpt  46576  sge0sup  46577  sge0resplit  46592  sge0split  46595  sge0ltfirpmpt2  46612  omeiunltfirp  46705  carageniuncllem2  46708  hoidmvlelem2  46782  hoidmvlelem3  46783  perfectALTVlem2  47910  nnsum3primesprm  47978  nnsum3primesgbe  47980  nnsum4primeseven  47988  altgsumbc  48540  altgsumbcALT  48541  nn0sumshdiglemA  48807  nn0sumshdiglemB  48808  nn0sumshdig  48811  aacllem  49988  amgmwlem  49989