Theorem sumeq2dv 15734

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15733	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Σcsu 15718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-sum 15719

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15737  sumeq12dv  15738  sumeq12rdv  15739  fsumf1o  15755  fsumss  15757  fsumsplit  15773  isummulc1  15795  isumdivc  15796  isumge0  15798  fsum2dlem  15802  fsumshftm  15813  fsum0diag2  15815  fsummulc1  15817  fsumdivc  15818  fsumneg  15819  fsumsub  15820  fsum2mul  15821  telfsumo2  15835  fsumparts  15838  hashiun  15854  hash2iun  15855  hash2iun1dif1  15856  ackbijnn  15860  binomlem  15861  binom1p  15863  incexclem  15868  incexc  15869  incexc2  15870  isum1p  15873  arisum  15892  trireciplem  15894  geoserg  15898  pwdif  15900  geo2sum  15905  mertenslem1  15916  mertenslem2  15917  mertens  15918  binomfallfaclem2  16072  binomrisefac  16074  bpolylem  16080  bpolydiflem  16086  fsumkthpow  16088  efaddlem  16125  rpnnen2lem10  16255  rpnnen2lem11  16256  fsumdvds  16341  pwp1fsum  16424  phisum  16823  pcfac  16932  ramcl  17062  lagsubg2  19224  sylow2a  19651  rrxcph  25439  trirn  25447  rrxmval  25452  rrxmet  25455  ovoliunnul  25555  ovolicc2lem4  25568  uniioombllem4  25634  vitalilem5  25660  itg1addlem4  25747  itg1addlem4OLD  25748  itg1addlem5  25749  itg1mulc  25753  itg10a  25759  itg1climres  25763  itgss  25861  itgeqa  25863  itgsplit  25885  elply2  26249  elplyd  26255  plyeq0lem  26263  plyaddlem1  26266  plymullem1  26267  coeeulem  26277  coeeq2  26295  coemullem  26303  coe1termlem  26311  plycjlem  26330  plyrecj  26335  dvply1  26339  elqaalem3  26377  aareccl  26382  aannenlem1  26384  taylpval  26422  dvtaylp  26426  pserdvlem2  26486  pserdv2  26488  abelthlem8  26497  abelthlem9  26498  abelth  26499  logtayl  26716  leibpi  26999  birthdaylem2  27009  amgmlem  27047  emcllem5  27057  fsumharmonic  27069  lgamcvg2  27112  ftalem5  27134  basellem3  27140  basellem8  27145  sgmval2  27200  fsumdvdscom  27242  dvdsflsumcom  27245  musum  27248  musumsum  27249  muinv  27250  fsumdvdsmul  27252  fsumdvdsmulOLD  27254  sgmppw  27255  1sgmprm  27257  chtlepsi  27264  pclogsum  27273  vmasum  27274  logfac2  27275  chpval2  27276  chpchtsum  27277  logexprlim  27283  logfacrlim2  27284  perfectlem2  27288  dchrsum2  27326  sumdchr2  27328  dchrhash  27329  dchr2sum  27331  sum2dchr  27332  pcbcctr  27334  bposlem2  27343  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  chebbnd1lem1  27527  rplogsumlem1  27542  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrisumlem1  27547  dchrisumlem2  27548  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem1  27553  dchrvmasum2lem  27554  dchrvmasum2if  27555  dchrvmasumiflem1  27559  dchrvmasumiflem2  27560  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0fno1  27569  rpvmasum2  27570  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  dchrisum0lem3  27577  dchrisum0  27578  rplogsum  27585  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  mulogsum  27590  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  mulog2sumlem3  27594  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  logsqvma  27600  logsqvma2  27601  selberglem1  27603  selberglem2  27604  selberg  27606  selberg2  27609  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  pntrsumo1  27623  selbergr  27626  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntsval2  27634  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntpbnd1  27644  pntlemk  27664  pntlemo  27665  axcgrrflx  28943  axcgrid  28945  axsegconlem1  28946  axsegconlem9  28954  ax5seglem1  28957  ax5seglem2  28958  ax5seglem9  28966  axlowdimlem16  28986  axlowdimlem17  28987  ecgrtg  29012  finsumvtxdg2ssteplem3  29579  rusgrnumwwlks  30003  fusgrhashclwwlkn  30107  fusgreghash2wsp  30366  numclwwlk6  30418  elrgspnlem2  33232  indsum  34001  indsumin  34002  eulerpartlemsv1  34337  eulerpartlemsf  34340  eulerpartlemgs2  34361  eulerpartlemn  34362  plymulx0  34540  signsvfn  34575  fsum2dsub  34600  reprsuc  34608  hashreprin  34613  reprpmtf1o  34619  breprexplema  34623  breprexplemc  34625  breprexp  34626  breprexpnat  34627  vtsprod  34632  circlemeth  34633  circlemethnat  34634  circlevma  34635  circlemethhgt  34636  hgt750lemd  34641  hgt750lemb  34649  hgt750lema  34650  subfaclim  35172  fwddifnp1  36146  knoppndvlem6  36499  rrnmet  37815  3factsumint2  42003  3factsumint3  42004  lcmineqlem1  42010  lcmineqlem3  42012  lcmineqlem6  42015  sticksstones8  42134  sticksstones9  42135  sticksstones10  42136  sticksstones11  42137  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  sticksstones17  42144  sticksstones18  42145  sticksstones19  42146  aks6d1c6lem1  42151  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c7lem3  42163  unitscyglem2  42177  sumcubes  42325  fltnltalem  42648  jm2.22  42983  jm2.23  42984  flcidc  43158  binomcxplemnn0  44344  binomcxplemdvsum  44350  binomcxplemnotnn0  44351  mccllem  45552  isumneg  45557  sumnnodd  45585  dvnmul  45898  dvnprodlem2  45902  dvnprodlem3  45903  stoweidlem37  45992  dirkertrigeqlem2  46054  dirkertrigeqlem3  46055  fourierdlem81  46142  fourierdlem83  46144  fourierdlem93  46154  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  elaa2lem  46188  etransclem23  46212  etransclem24  46213  etransclem31  46220  etransclem32  46221  etransclem35  46224  etransclem46  46235  rrxtopnfi  46242  rrndistlt  46245  sge0z  46330  sge0fsummpt  46345  sge0sup  46346  sge0resplit  46361  sge0split  46364  sge0ltfirpmpt2  46381  omeiunltfirp  46474  carageniuncllem2  46477  hoidmvlelem2  46551  hoidmvlelem3  46552  perfectALTVlem2  47646  nnsum3primesprm  47714  nnsum3primesgbe  47716  nnsum4primeseven  47724  altgsumbc  48196  altgsumbcALT  48197  nn0sumshdiglemA  48468  nn0sumshdiglemB  48469  nn0sumshdig  48472  aacllem  49031  amgmwlem  49032