Theorem sumeq2dv 15644

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15643	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15647  sumeq12dv  15648  sumeq12rdv  15649  fsumf1o  15665  fsumss  15667  fsumsplit  15683  isummulc1  15705  isumdivc  15706  isumge0  15708  fsum2dlem  15712  fsumshftm  15723  fsum0diag2  15725  fsummulc1  15727  fsumdivc  15728  fsumneg  15729  fsumsub  15730  fsum2mul  15731  telfsumo2  15745  fsumparts  15748  hashiun  15764  hash2iun  15765  hash2iun1dif1  15766  ackbijnn  15770  binomlem  15771  binom1p  15773  incexclem  15778  incexc  15779  incexc2  15780  isum1p  15783  arisum  15802  trireciplem  15804  geoserg  15808  pwdif  15810  geo2sum  15815  mertenslem1  15826  mertenslem2  15827  mertens  15828  binomfallfaclem2  15982  binomrisefac  15984  bpolylem  15990  bpolydiflem  15996  fsumkthpow  15998  efaddlem  16035  rpnnen2lem10  16167  rpnnen2lem11  16168  fsumdvds  16254  pwp1fsum  16337  phisum  16737  pcfac  16846  ramcl  16976  lagsubg2  19108  sylow2a  19533  rrxcph  25325  trirn  25333  rrxmval  25338  rrxmet  25341  ovoliunnul  25441  ovolicc2lem4  25454  uniioombllem4  25520  vitalilem5  25546  itg1addlem4  25633  itg1addlem5  25634  itg1mulc  25638  itg10a  25644  itg1climres  25648  itgss  25746  itgeqa  25748  itgsplit  25770  elply2  26134  elplyd  26140  plyeq0lem  26148  plyaddlem1  26151  plymullem1  26152  coeeulem  26162  coeeq2  26180  coemullem  26188  coe1termlem  26196  plycjlem  26215  plyrecj  26220  dvply1  26224  elqaalem3  26262  aareccl  26267  aannenlem1  26269  taylpval  26307  dvtaylp  26311  pserdvlem2  26371  pserdv2  26373  abelthlem8  26382  abelthlem9  26383  abelth  26384  logtayl  26602  leibpi  26885  birthdaylem2  26895  amgmlem  26933  emcllem5  26943  fsumharmonic  26955  lgamcvg2  26998  ftalem5  27020  basellem3  27026  basellem8  27031  sgmval2  27086  fsumdvdscom  27128  dvdsflsumcom  27131  musum  27134  musumsum  27135  muinv  27136  fsumdvdsmul  27138  fsumdvdsmulOLD  27140  sgmppw  27141  1sgmprm  27143  chtlepsi  27150  pclogsum  27159  vmasum  27160  logfac2  27161  chpval2  27162  chpchtsum  27163  logexprlim  27169  logfacrlim2  27170  perfectlem2  27174  dchrsum2  27212  sumdchr2  27214  dchrhash  27215  dchr2sum  27217  sum2dchr  27218  pcbcctr  27220  bposlem2  27229  lgsquadlem1  27324  lgsquadlem2  27325  chebbnd1lem1  27413  rplogsumlem1  27428  rplogsumlem2  27429  rpvmasumlem  27431  dchrisumlem1  27433  dchrisumlem2  27434  dchrmusum2  27438  dchrvmasumlem1  27439  dchrvmasum2lem  27440  dchrvmasum2if  27441  dchrvmasumiflem1  27445  dchrvmasumiflem2  27446  dchrisum0flblem1  27452  dchrisum0fno1  27455  rpvmasum2  27456  dchrisum0lem2a  27461  dchrisum0lem2  27462  dchrisum0lem3  27463  dchrisum0  27464  rplogsum  27471  mudivsum  27474  mulogsumlem  27475  mulogsum  27476  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  mulog2sumlem3  27480  vmalogdivsum2  27482  vmalogdivsum  27483  2vmadivsumlem  27484  logsqvma  27486  logsqvma2  27487  selberglem1  27489  selberglem2  27490  selberg  27492  selberg2  27495  selberg3lem1  27501  selberg4lem1  27504  selberg4  27505  pntrsumo1  27509  selbergr  27512  selberg3r  27513  selberg4r  27514  selberg34r  27515  pntsval2  27520  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntpbnd1  27530  pntlemk  27550  pntlemo  27551  axcgrrflx  28894  axcgrid  28896  axsegconlem1  28897  axsegconlem9  28905  ax5seglem1  28908  ax5seglem2  28909  ax5seglem9  28917  axlowdimlem16  28937  axlowdimlem17  28938  ecgrtg  28963  finsumvtxdg2ssteplem3  29528  rusgrnumwwlks  29954  fusgrhashclwwlkn  30058  fusgreghash2wsp  30317  numclwwlk6  30369  indsum  32834  indsumin  32835  elrgspnlem2  33210  eulerpartlemsv1  34340  eulerpartlemsf  34343  eulerpartlemgs2  34364  eulerpartlemn  34365  plymulx0  34531  signsvfn  34566  fsum2dsub  34591  reprsuc  34599  hashreprin  34604  reprpmtf1o  34610  breprexplema  34614  breprexplemc  34616  breprexp  34617  breprexpnat  34618  vtsprod  34623  circlemeth  34624  circlemethnat  34625  circlevma  34626  circlemethhgt  34627  hgt750lemd  34632  hgt750lemb  34640  hgt750lema  34641  subfaclim  35168  fwddifnp1  36146  knoppndvlem6  36498  rrnmet  37816  3factsumint2  42003  3factsumint3  42004  lcmineqlem1  42010  lcmineqlem3  42012  lcmineqlem6  42015  sticksstones8  42134  sticksstones9  42135  sticksstones10  42136  sticksstones11  42137  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  sticksstones17  42144  sticksstones18  42145  sticksstones19  42146  aks6d1c6lem1  42151  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c7lem3  42163  unitscyglem2  42177  sumcubes  42294  fltnltalem  42643  jm2.22  42977  jm2.23  42978  flcidc  43152  binomcxplemnn0  44331  binomcxplemdvsum  44337  binomcxplemnotnn0  44338  mccllem  45588  isumneg  45593  sumnnodd  45621  dvnmul  45934  dvnprodlem2  45938  dvnprodlem3  45939  stoweidlem37  46028  dirkertrigeqlem2  46090  dirkertrigeqlem3  46091  fourierdlem81  46178  fourierdlem83  46180  fourierdlem93  46190  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  elaa2lem  46224  etransclem23  46248  etransclem24  46249  etransclem31  46256  etransclem32  46257  etransclem35  46260  etransclem46  46271  rrxtopnfi  46278  rrndistlt  46281  sge0z  46366  sge0fsummpt  46381  sge0sup  46382  sge0resplit  46397  sge0split  46400  sge0ltfirpmpt2  46417  omeiunltfirp  46510  carageniuncllem2  46513  hoidmvlelem2  46587  hoidmvlelem3  46588  perfectALTVlem2  47716  nnsum3primesprm  47784  nnsum3primesgbe  47786  nnsum4primeseven  47794  altgsumbc  48333  altgsumbcALT  48334  nn0sumshdiglemA  48601  nn0sumshdiglemB  48602  nn0sumshdig  48605  aacllem  49783  amgmwlem  49784