Theorem sumeq2dv 15609

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15608	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15612  sumeq12dv  15613  sumeq12rdv  15614  fsumf1o  15630  fsumss  15632  fsumsplit  15648  isummulc1  15670  isumdivc  15671  isumge0  15673  fsum2dlem  15677  fsumshftm  15688  fsum0diag2  15690  fsummulc1  15692  fsumdivc  15693  fsumneg  15694  fsumsub  15695  fsum2mul  15696  telfsumo2  15710  fsumparts  15713  hashiun  15729  hash2iun  15730  hash2iun1dif1  15731  ackbijnn  15735  binomlem  15736  binom1p  15738  incexclem  15743  incexc  15744  incexc2  15745  isum1p  15748  arisum  15767  trireciplem  15769  geoserg  15773  pwdif  15775  geo2sum  15780  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  mertens  15793  binomfallfaclem2  15947  binomrisefac  15949  bpolylem  15955  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  efaddlem  16000  rpnnen2lem10  16132  rpnnen2lem11  16133  fsumdvds  16219  pwp1fsum  16302  phisum  16702  pcfac  16811  ramcl  16941  lagsubg2  19106  sylow2a  19531  rrxcph  25319  trirn  25327  rrxmval  25332  rrxmet  25335  ovoliunnul  25435  ovolicc2lem4  25448  uniioombllem4  25514  vitalilem5  25540  itg1addlem4  25627  itg1addlem5  25628  itg1mulc  25632  itg10a  25638  itg1climres  25642  itgss  25740  itgeqa  25742  itgsplit  25764  elply2  26128  elplyd  26134  plyeq0lem  26142  plyaddlem1  26145  plymullem1  26146  coeeulem  26156  coeeq2  26174  coemullem  26182  coe1termlem  26190  plycjlem  26209  plyrecj  26214  dvply1  26218  elqaalem3  26256  aareccl  26261  aannenlem1  26263  taylpval  26301  dvtaylp  26305  pserdvlem2  26365  pserdv2  26367  abelthlem8  26376  abelthlem9  26377  abelth  26378  logtayl  26596  leibpi  26879  birthdaylem2  26889  amgmlem  26927  emcllem5  26937  fsumharmonic  26949  lgamcvg2  26992  ftalem5  27014  basellem3  27020  basellem8  27025  sgmval2  27080  fsumdvdscom  27122  dvdsflsumcom  27125  musum  27128  musumsum  27129  muinv  27130  fsumdvdsmul  27132  fsumdvdsmulOLD  27134  sgmppw  27135  1sgmprm  27137  chtlepsi  27144  pclogsum  27153  vmasum  27154  logfac2  27155  chpval2  27156  chpchtsum  27157  logexprlim  27163  logfacrlim2  27164  perfectlem2  27168  dchrsum2  27206  sumdchr2  27208  dchrhash  27209  dchr2sum  27211  sum2dchr  27212  pcbcctr  27214  bposlem2  27223  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  chebbnd1lem1  27407  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem1  27427  dchrisumlem2  27428  dchrmusum2  27432  dchrvmasumlem1  27433  dchrvmasum2lem  27434  dchrvmasum2if  27435  dchrvmasumiflem1  27439  dchrvmasumiflem2  27440  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0fno1  27449  rpvmasum2  27450  dchrisum0lem2a  27455  dchrisum0lem2  27456  dchrisum0lem3  27457  dchrisum0  27458  rplogsum  27465  mudivsum  27468  mulogsumlem  27469  mulogsum  27470  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  mulog2sumlem3  27474  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  logsqvma  27480  logsqvma2  27481  selberglem1  27483  selberglem2  27484  selberg  27486  selberg2  27489  selberg3lem1  27495  selberg4lem1  27498  selberg4  27499  pntrsumo1  27503  selbergr  27506  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntsval2  27514  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntpbnd1  27524  pntlemk  27544  pntlemo  27545  axcgrrflx  28892  axcgrid  28894  axsegconlem1  28895  axsegconlem9  28903  ax5seglem1  28906  ax5seglem2  28907  ax5seglem9  28915  axlowdimlem16  28935  axlowdimlem17  28936  ecgrtg  28961  finsumvtxdg2ssteplem3  29526  rusgrnumwwlks  29955  fusgrhashclwwlkn  30059  fusgreghash2wsp  30318  numclwwlk6  30370  indsum  32842  indsumin  32843  elrgspnlem2  33210  eulerpartlemsv1  34369  eulerpartlemsf  34372  eulerpartlemgs2  34393  eulerpartlemn  34394  plymulx0  34560  signsvfn  34595  fsum2dsub  34620  reprsuc  34628  hashreprin  34633  reprpmtf1o  34639  breprexplema  34643  breprexplemc  34645  breprexp  34646  breprexpnat  34647  vtsprod  34652  circlemeth  34653  circlemethnat  34654  circlevma  34655  circlemethhgt  34656  hgt750lemd  34661  hgt750lemb  34669  hgt750lema  34670  subfaclim  35232  fwddifnp1  36209  knoppndvlem6  36561  rrnmet  37879  3factsumint2  42125  3factsumint3  42126  lcmineqlem1  42132  lcmineqlem3  42134  lcmineqlem6  42137  sticksstones8  42256  sticksstones9  42257  sticksstones10  42258  sticksstones11  42259  sticksstones12a  42260  sticksstones12  42261  sticksstones17  42266  sticksstones18  42267  sticksstones19  42268  aks6d1c6lem1  42273  aks6d1c6lem3  42275  aks6d1c7lem3  42285  unitscyglem2  42299  sumcubes  42416  fltnltalem  42765  jm2.22  43098  jm2.23  43099  flcidc  43273  binomcxplemnn0  44452  binomcxplemdvsum  44458  binomcxplemnotnn0  44459  mccllem  45707  isumneg  45712  sumnnodd  45740  dvnmul  46051  dvnprodlem2  46055  dvnprodlem3  46056  stoweidlem37  46145  dirkertrigeqlem2  46207  dirkertrigeqlem3  46208  fourierdlem81  46295  fourierdlem83  46297  fourierdlem93  46307  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  elaa2lem  46341  etransclem23  46365  etransclem24  46366  etransclem31  46373  etransclem32  46374  etransclem35  46377  etransclem46  46388  rrxtopnfi  46395  rrndistlt  46398  sge0z  46483  sge0fsummpt  46498  sge0sup  46499  sge0resplit  46514  sge0split  46517  sge0ltfirpmpt2  46534  omeiunltfirp  46627  carageniuncllem2  46630  hoidmvlelem2  46704  hoidmvlelem3  46705  perfectALTVlem2  47832  nnsum3primesprm  47900  nnsum3primesgbe  47902  nnsum4primeseven  47910  altgsumbc  48462  altgsumbcALT  48463  nn0sumshdiglemA  48730  nn0sumshdiglemB  48731  nn0sumshdig  48734  aacllem  49912  amgmwlem  49913