Theorem sumeq2dv 15664

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15663	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  2sumeq2dv  15667  sumeq12dv  15668  sumeq12rdv  15669  fsumf1o  15685  fsumss  15687  fsumsplit  15703  isummulc1  15725  isumdivc  15726  isumge0  15728  fsum2dlem  15732  fsumshftm  15743  fsum0diag2  15745  fsummulc1  15747  fsumdivc  15748  fsumneg  15749  fsumsub  15750  fsum2mul  15751  telfsumo2  15766  fsumparts  15769  hashiun  15785  hash2iun  15786  hash2iun1dif1  15787  indsum  15791  ackbijnn  15793  binomlem  15794  binom1p  15796  incexclem  15801  incexc  15802  incexc2  15803  isum1p  15806  arisum  15825  trireciplem  15827  geoserg  15831  pwdif  15833  geo2sum  15838  mertenslem1  15849  mertenslem2  15850  mertens  15851  binomfallfaclem2  16005  binomrisefac  16007  bpolylem  16013  bpolydiflem  16019  fsumkthpow  16021  efaddlem  16058  rpnnen2lem10  16190  rpnnen2lem11  16191  fsumdvds  16277  pwp1fsum  16360  phisum  16761  pcfac  16870  ramcl  17000  lagsubg2  19169  sylow2a  19594  rrxcph  25359  trirn  25367  rrxmval  25372  rrxmet  25375  ovoliunnul  25474  ovolicc2lem4  25487  uniioombllem4  25553  vitalilem5  25579  itg1addlem4  25666  itg1addlem5  25667  itg1mulc  25671  itg10a  25677  itg1climres  25681  itgss  25779  itgeqa  25781  itgsplit  25803  elply2  26161  elplyd  26167  plyeq0lem  26175  plyaddlem1  26178  plymullem1  26179  coeeulem  26189  coeeq2  26207  coemullem  26215  coe1termlem  26223  plycjlem  26241  plyrecj  26246  dvply1  26250  elqaalem3  26287  aareccl  26292  aannenlem1  26294  taylpval  26332  dvtaylp  26335  pserdvlem2  26393  pserdv2  26395  abelthlem8  26404  abelthlem9  26405  abelth  26406  logtayl  26624  leibpi  26906  birthdaylem2  26916  amgmlem  26953  emcllem5  26963  fsumharmonic  26975  lgamcvg2  27018  ftalem5  27040  basellem3  27046  basellem8  27051  sgmval2  27106  fsumdvdscom  27148  dvdsflsumcom  27151  musum  27154  musumsum  27155  muinv  27156  fsumdvdsmul  27158  sgmppw  27160  1sgmprm  27162  chtlepsi  27169  pclogsum  27178  vmasum  27179  logfac2  27180  chpval2  27181  chpchtsum  27182  logexprlim  27188  logfacrlim2  27189  perfectlem2  27193  dchrsum2  27231  sumdchr2  27233  dchrhash  27234  dchr2sum  27236  sum2dchr  27237  pcbcctr  27239  bposlem2  27248  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  chebbnd1lem1  27432  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2lem  27459  dchrvmasum2if  27460  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmasumiflem2  27465  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0fno1  27474  rpvmasum2  27475  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  dchrisum0  27483  rplogsum  27490  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulogsum  27495  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  logsqvma  27505  logsqvma2  27506  selberglem1  27508  selberglem2  27509  selberg  27511  selberg2  27514  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumo1  27528  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntsval2  27539  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntpbnd1  27549  pntlemk  27569  pntlemo  27570  axcgrrflx  28983  axcgrid  28985  axsegconlem1  28986  axsegconlem9  28994  ax5seglem1  28997  ax5seglem2  28998  ax5seglem9  29006  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027  ecgrtg  29052  finsumvtxdg2ssteplem3  29616  rusgrnumwwlks  30045  fusgrhashclwwlkn  30149  fusgreghash2wsp  30408  numclwwlk6  30460  indsumin  32921  elrgspnlem2  33304  vietadeg1  33722  eulerpartlemsv1  34500  eulerpartlemsf  34503  eulerpartlemgs2  34524  eulerpartlemn  34525  plymulx0  34691  signsvfn  34726  fsum2dsub  34751  reprsuc  34759  hashreprin  34764  reprpmtf1o  34770  breprexplema  34774  breprexplemc  34776  breprexp  34777  breprexpnat  34778  vtsprod  34783  circlemeth  34784  circlemethnat  34785  circlevma  34786  circlemethhgt  34787  hgt750lemd  34792  hgt750lemb  34800  hgt750lema  34801  subfaclim  35370  fwddifnp1  36347  knoppndvlem6  36777  rrnmet  38150  3factsumint2  42461  3factsumint3  42462  lcmineqlem1  42468  lcmineqlem3  42470  lcmineqlem6  42473  sticksstones8  42592  sticksstones9  42593  sticksstones10  42594  sticksstones11  42595  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  sticksstones17  42602  sticksstones18  42603  sticksstones19  42604  aks6d1c6lem1  42609  aks6d1c6lem3  42611  aks6d1c7lem3  42621  unitscyglem2  42635  sumcubes  42745  fltnltalem  43095  jm2.22  43423  jm2.23  43424  flcidc  43598  binomcxplemnn0  44776  binomcxplemdvsum  44782  binomcxplemnotnn0  44783  mccllem  46027  isumneg  46032  sumnnodd  46060  dvnmul  46371  dvnprodlem2  46375  dvnprodlem3  46376  stoweidlem37  46465  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  fourierdlem81  46615  fourierdlem83  46617  fourierdlem93  46627  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  elaa2lem  46661  etransclem23  46685  etransclem24  46686  etransclem31  46693  etransclem32  46694  etransclem35  46697  etransclem46  46708  rrxtopnfi  46715  rrndistlt  46718  sge0z  46803  sge0fsummpt  46818  sge0sup  46819  sge0resplit  46834  sge0split  46837  sge0ltfirpmpt2  46854  omeiunltfirp  46947  carageniuncllem2  46950  hoidmvlelem2  47024  hoidmvlelem3  47025  ppivalnn  48095  perfectALTVlem2  48198  nnsum3primesprm  48266  nnsum3primesgbe  48268  nnsum4primeseven  48276  altgsumbc  48828  altgsumbcALT  48829  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096  nn0sumshdig  49099  aacllem  50276  amgmwlem  50277