Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3factsumint1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3factsumint1 39257
 Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
3factsumint1.1 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint1.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3factsumint1.3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint1.4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint1.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3factsumint1.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3factsumint1.7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint1.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
3factsumint1.9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
3factsumint1 (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘𝐵𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint1
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3factsumint1.1 . . . 4 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
2 3factsumint1.3 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
3 3factsumint1.4 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4 iccmbl 24173 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐿[,]𝑈) ∈ dom vol)
52, 3, 4syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐿[,]𝑈) ∈ dom vol)
61, 5eqeltrid 2920 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
7 3factsumint1.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
8 3factsumint1.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
98adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐹 ∈ ℂ)
10 3factsumint1.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
1110adantrl 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐺 ∈ ℂ)
12 3factsumint1.8 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 10659 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → (𝐺 · 𝐻) ∈ ℂ)
149, 13mulcld 10659 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) ∈ ℂ)
15 ovex 7182 . . . . . . 7 (𝐿[,]𝑈) ∈ V
161, 15eqeltri 2912 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
189anass1rs 654 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
1913anass1rs 654 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺 · 𝐻) ∈ ℂ)
20 eqidd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐹) = (𝑥𝐴𝐹))
21 eqidd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)))
2217, 18, 19, 20, 21offval2 7420 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑥𝐴𝐹) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹 · (𝐺 · 𝐻))))
23 3factsumint1.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
24 cnmbf 24266 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn)
256, 23, 24syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn)
2625adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn)
2712anass1rs 654 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
282adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
293adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑈 ∈ ℝ)
30 3factsumint1.9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ (𝐴cn→ℂ))
311oveq1i 7159 . . . . . . . . 9 (𝐴cn→ℂ) = ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)
3231eleq2i 2907 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐻) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴𝐻) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
3330, 32sylib 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
34 cnicciblnc 24449 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝐻) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ 𝐿1)
3528, 29, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ 𝐿1)
3610, 27, 35iblmulc2 24437 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
3731eleq2i 2907 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
3823, 37sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
39 cniccbdd 24068 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)) → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
402, 3, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
4140adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
428ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐹 ∈ ℂ)
43 dmmptg 6083 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝐹 ∈ ℂ → dom (𝑥𝐴𝐹) = 𝐴)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐹) = 𝐴)
4544, 1syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐹) = (𝐿[,]𝑈))
4645raleqdv 3402 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞))
4746rexbidv 3289 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞))
4847adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞))
4941, 48mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
50 bddmulibl 24445 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞) → ((𝑥𝐴𝐹) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1)
5126, 36, 49, 50syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑥𝐴𝐹) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1)
5222, 51eqeltrrd 2917 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹 · (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1)
536, 7, 14, 52itgfsum 24433 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘𝐵𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥))
5453simprd 499 1 (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘𝐵𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  dom cdm 5542  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘f cof 7401  Fincfn 8505  ℂcc 10533  ℝcr 10534   · cmul 10540   ≤ cle 10674  [,]cicc 12738  abscabs 14593  Σcsu 15042  –cn→ccncf 23484  volcvol 24070  MblFncmbf 24221  𝐿1cibl 24224  ∫citg 24225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226  df-itg1 24227  df-itg2 24228  df-ibl 24229  df-itg 24230  df-0p 24277 This theorem is referenced by:  3factsumint  39261
 Copyright terms: Public domain W3C validator