Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3factsumint1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3factsumint1 42022
Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
3factsumint1.1 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint1.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3factsumint1.3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint1.4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint1.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
3factsumint1.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3factsumint1.7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint1.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
3factsumint1.9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
3factsumint1 (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘𝐵𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint1
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3factsumint1.1 . . . 4 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
2 3factsumint1.3 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
3 3factsumint1.4 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4 iccmbl 25601 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐿[,]𝑈) ∈ dom vol)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐿[,]𝑈) ∈ dom vol)
61, 5eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
7 3factsumint1.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
8 3factsumint1.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
98adantrr 717 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐹 ∈ ℂ)
10 3factsumint1.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
1110adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐺 ∈ ℂ)
12 3factsumint1.8 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 11281 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → (𝐺 · 𝐻) ∈ ℂ)
149, 13mulcld 11281 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) ∈ ℂ)
15 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐿[,]𝑈) ∈ V
161, 15eqeltri 2837 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
189anass1rs 655 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
1913anass1rs 655 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺 · 𝐻) ∈ ℂ)
20 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐹) = (𝑥𝐴𝐹))
21 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)))
2217, 18, 19, 20, 21offval2 7717 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑥𝐴𝐹) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹 · (𝐺 · 𝐻))))
23 3factsumint1.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
24 cnmbf 25694 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn)
256, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn)
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn)
2712anass1rs 655 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
282adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐿 ∈ ℝ)
293adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑈 ∈ ℝ)
30 3factsumint1.9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ (𝐴cn→ℂ))
311oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (𝐴cn→ℂ) = ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)
3231eleq2i 2833 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐻) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴𝐻) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
3330, 32sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
34 cnicciblnc 25878 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝐻) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ 𝐿1)
3528, 29, 33, 34syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐻) ∈ 𝐿1)
3610, 27, 35iblmulc2 25866 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)) ∈ 𝐿1)
3731eleq2i 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
3823, 37sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ))
39 cniccbdd 25496 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝐿[,]𝑈)–cn→ℂ)) → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
402, 3, 38, 39syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
4140adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
428ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐹 ∈ ℂ)
43 dmmptg 6262 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝐹 ∈ ℂ → dom (𝑥𝐴𝐹) = 𝐴)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐹) = 𝐴)
4544, 1eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐹) = (𝐿[,]𝑈))
4645raleqdv 3326 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞))
4746rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞))
4847adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ (𝐿[,]𝑈)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞))
4941, 48mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞)
50 bddmulibl 25874 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝐹) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ dom (𝑥𝐴𝐹)(abs‘((𝑥𝐴𝐹)‘𝑟)) ≤ 𝑞) → ((𝑥𝐴𝐹) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1)
5126, 36, 49, 50syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑥𝐴𝐹) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1)
5222, 51eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹 · (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1)
536, 7, 14, 52itgfsum 25862 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻))) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘𝐵𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥))
5453simprd 495 1 (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘𝐵𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154   · cmul 11160  cle 11296  [,]cicc 13390  abscabs 15273  Σcsu 15722  cnccncf 24902  volcvol 25498  MblFncmbf 25649  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  3factsumint  42026
  Copyright terms: Public domain W3C validator