Theorem aks4d1lem1 41665

Description: Technical lemma to reduce proof size. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1lem1.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1lem1	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))

Proof of Theorem aks4d1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1lem1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluzelz 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 11249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		3re 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12		3pos 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
14		eluzle 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
16	9, 11, 8, 13, 15	ltletrd 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17		1red 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 2985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	2, 4, 8, 16, 21	relogbcld 41575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
23		5nn0 12525	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
25	22, 24	reexpcld 14163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
26	25	ceilcld 13844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
27		9re 12344	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
29	26	zred 12699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
30		9pos 12358	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
32	8, 15	3lexlogpow5ineq4 41659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
33		ceilge 13846	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	25, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
35	28, 25, 29, 32, 34	ltletrd 11406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
36	9, 28, 29, 31, 35	lttrd 11407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
37	26, 36	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
38		elnnz 12601	. . . 4 ⊢ ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
39	37, 38	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℕ)
40		aks4d1lem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
41	40	eleq1i 2816	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℕ)
42	39, 41	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
43	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	35, 43	breqtrrd 5177	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
45	42, 44	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   < clt 11280   ≤ cle 11281  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  5c5 12303  9c9 12307  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ⌈cceil 13792  ↑cexp 14062   log_b clogb 26741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-ceil 13794  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536  df-logb 26742

This theorem is referenced by:  aks4d1p9  41691