Theorem aks4d1lem1 43112

Description: Technical lemma to reduce proof size. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1lem1.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1lem1	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))

Proof of Theorem aks4d1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1lem1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
6		eluzelz 12975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		3re 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
12		3pos 12451	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
14		eluzle 12978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
15	5, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
16	9, 11, 8, 13, 15	ltletrd 11470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17		1red 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	2, 4, 8, 16, 21	relogbcld 43024	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
23		5nn0 12626	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
25	22, 24	reexpcld 14306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
26	25	ceilcld 13983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
27		9re 12442	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
29	26	zred 12803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
30		9pos 12459	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
32	8, 15	3lexlogpow5ineq4 43106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
33		ceilge 13985	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	25, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
35	28, 25, 29, 32, 34	ltletrd 11470	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
36	9, 28, 29, 31, 35	lttrd 11471	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
37	26, 36	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
38		elnnz 12703	. . . 4 ⊢ ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
39	37, 38	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℕ)
40		aks4d1lem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
41	40	eleq1i 2852	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℕ)
42	39, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
43	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	35, 43	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
45	42, 44	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℕ ∧ 9 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  5c5 12400  9c9 12404  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ⌈cceil 13931  ↑cexp 14204   log_b clogb 27092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-ceil 13933  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093

This theorem is used by:  aks4d1p9  43138