Theorem 257prm 45071

Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
257prm	⊢ ;;257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12296	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		5nn0 12299	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
4		7nn 12111	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12503	. 2 ⊢ ;;257 ∈ ℕ
6		8nn0 12302	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12298	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 12301	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1nn0 12295	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		2lt8 12216	. . 3 ⊢ 2 < 8
11		5lt10 12618	. . 3 ⊢ 5 < ;10
12		7lt10 12616	. . 3 ⊢ 7 < ;10
13	1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12	3decltc 12516	. 2 ⊢ ;;257 < ;;841
14		5nn 12105	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
15	1, 14	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ
16		1lt10 12622	. . 3 ⊢ 1 < ;10
17	15, 8, 9, 16	declti 12521	. 2 ⊢ 1 < ;;257
18		3nn0 12297	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		3t2e6 12185	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
20		df-7 12087	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
21	3, 18, 19, 20	dec2dvds 16809	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;257
22		3nn 12098	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
23		2nn 12092	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		3cn 12100	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
25	24	mulid1i 11025	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
26	25	oveq1i 7317	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27		3p2e5 12170	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
28	26, 27	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
29		2lt3 12191	. . . 4 ⊢ 2 < 3
30	22, 9, 23, 28, 29	ndvdsi 16166	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
31	1, 2, 8	3dvds2dec 16087	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32		5cn 12107	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
33		2cn 12094	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		5p2e7 12175	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 2) = 7
35	32, 33, 34	addcomli 11213	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 5) = 7
36	35	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37		7p7e14 12562	. . . . . 6 ⊢ (7 + 7) = ;14
38	36, 37	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((2 + 5) + 7) = ;14
39	38	breq2i 5089	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ ;14)
40	9, 7	3dvdsdec 16086	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41		4cn 12104	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		ax-1cn 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
43		4p1e5 12165	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
44	41, 42, 43	addcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (1 + 4) = 5
45	44	breq2i 5089	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
46	40, 45	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ 5)
47	31, 39, 46	3bitri 297	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ 5)
48	30, 47	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;257
49		2lt5 12198	. . 3 ⊢ 2 < 5
50	3, 23, 49, 34	dec5dvds2 16811	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;257
51		6nn0 12300	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
52	18, 51	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
53		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;36 = ;36
54		7t3e21 12593	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
55	1, 9, 7, 54, 44	decaddi 12543	. . . . 5 ⊢ ((7 · 3) + 4) = ;25
56		7t6e42 12596	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
57	8, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56	decmul2c 12549	. . . 4 ⊢ (7 · ;36) = ;;252
58	3, 1, 2, 57, 35	decaddi 12543	. . 3 ⊢ ((7 · ;36) + 5) = ;;257
59		5lt7 12206	. . 3 ⊢ 5 < 7
60	4, 52, 14, 58, 59	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;257
61		1nn 12030	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	9, 61	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	1, 18	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
64		4nn 12102	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
65	9, 9	deccl 12498	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
66		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
67	65	nn0cni 12291	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℂ
68	67, 33	mulcomi 11029	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 2) = (2 · ;11)
69	68	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ((2 · ;11) + 3)
70	1	11multnc 12551	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;11) = ;22
71	24, 33, 27	addcomli 11213	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 3) = 5
72	1, 1, 18, 70, 71	decaddi 12543	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;11) + 3) = ;25
73	69, 72	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ;25
74	18	11multnc 12551	. . . . . 6 ⊢ (3 · ;11) = ;33
75	24, 67, 74	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (;11 · 3) = ;33
76	65, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75	decmul2c 12549	. . . 4 ⊢ (;11 · ;23) = ;;253
77		4p3e7 12173	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
78	41, 24, 77	addcomli 11213	. . . 4 ⊢ (3 + 4) = 7
79	3, 18, 7, 76, 78	decaddi 12543	. . 3 ⊢ ((;11 · ;23) + 4) = ;;257
80		4lt10 12619	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
81	61, 9, 7, 80	declti 12521	. . 3 ⊢ 4 < ;11
82	62, 63, 64, 79, 81	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;257
83	9, 22	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 12303	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85	9, 84	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
86		10nn 12499	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
87	9, 18	deccl 12498	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
88	87	nn0cni 12291	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℂ
89	85	nn0cni 12291	. . . . . 6 ⊢ ;19 ∈ ℂ
90	88, 89	mulcomi 11029	. . . . 5 ⊢ (;13 · ;19) = (;19 · ;13)
91	90	oveq1i 7317	. . . 4 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ((;19 · ;13) + ;10)
92		0nn0 12294	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
93		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;19 = ;19
94		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;10 = ;10
95	88	mulid2i 11026	. . . . . 6 ⊢ (1 · ;13) = ;13
96		1p1e2 12144	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
97		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 = ;11
98	9, 9, 96, 97	decsuc 12514	. . . . . . 7 ⊢ (;11 + 1) = ;12
99	67, 42, 98	addcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (1 + ;11) = ;12
100	9, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27	decadd 12537	. . . . 5 ⊢ ((1 · ;13) + (1 + ;11)) = ;25
101		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 = ;13
102		9cn 12119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
103	102	mulid1i 11025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 1) = 9
104	103	oveq1i 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105		9p2e11 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 2) = ;11
106	104, 105	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 · 1) + 2) = ;11
107		9t3e27 12606	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	84, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107	decmul2c 12549	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ;13) = ;;117
109	108	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = (;;117 + 0)
110	65, 8	deccl 12498	. . . . . . . 8 ⊢ ;;117 ∈ ℕ0
111	110	nn0cni 12291	. . . . . . 7 ⊢ ;;117 ∈ ℂ
112	111	addid1i 11208	. . . . . 6 ⊢ (;;117 + 0) = ;;117
113	109, 112	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = ;;117
114	9, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113	decmac 12535	. . . 4 ⊢ ((;19 · ;13) + ;10) = ;;257
115	91, 114	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ;;257
116		3pos 12124	. . . 4 ⊢ 0 < 3
117	9, 92, 22, 116	declt 12511	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
118	83, 85, 86, 115, 117	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;257
119	9, 4	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
120	9, 2	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
121	9, 8	deccl 12498	. . . . 5 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
122		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;15 = ;15
123	121	nn0cni 12291	. . . . . . 7 ⊢ ;17 ∈ ℂ
124	123	mulid1i 11025	. . . . . 6 ⊢ (;17 · 1) = ;17
125		8cn 12116	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126		7cn 12113	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
127		8p7e15 12568	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 7) = ;15
128	125, 126, 127	addcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (7 + 8) = ;15
129	9, 8, 6, 124, 96, 2, 128	decaddci 12544	. . . . 5 ⊢ ((;17 · 1) + 8) = ;25
130		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
131	32	mulid2i 11026	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 5) = 5
132	131	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133		5p3e8 12176	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
134	132, 133	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 5) + 3) = 8
135		7t5e35 12595	. . . . . 6 ⊢ (7 · 5) = ;35
136	2, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135	decmul1c 12548	. . . . 5 ⊢ (;17 · 5) = ;85
137	121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136	decmul2c 12549	. . . 4 ⊢ (;17 · ;15) = ;;255
138	3, 2, 1, 137, 34	decaddi 12543	. . 3 ⊢ ((;17 · ;15) + 2) = ;;257
139		2lt10 12621	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
140	61, 8, 1, 139	declti 12521	. . 3 ⊢ 2 < ;17
141	119, 120, 23, 138, 140	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;257
142		9nn 12117	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
143	9, 142	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
144		9pos 12132	. . . 4 ⊢ 0 < 9
145	9, 92, 142, 144	declt 12511	. . 3 ⊢ ;10 < ;19
146	143, 87, 86, 114, 145	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;257
147	1, 22	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148	65, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74	decmul1c 12548	. . . 4 ⊢ (;23 · ;11) = ;;253
149	3, 18, 7, 148, 78	decaddi 12543	. . 3 ⊢ ((;23 · ;11) + 4) = ;;257
150	23, 18, 7, 80	declti 12521	. . 3 ⊢ 4 < ;23
151	147, 65, 64, 149, 150	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;257
152	5, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151	prmlem2 16866	1 ⊢ ;;257 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  5c5 12077  6c6 12078  7c7 12079  8c8 12080  9c9 12081  ;cdc 12483   ∥ cdvds 16008  ℙcprime 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-prm 16422

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  45072