Theorem 257prm 42001

Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
257prm	⊢ ;;257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11511	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		5nn0 11514	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
4		7nn 11392	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11720	. 2 ⊢ ;;257 ∈ ℕ
6		8nn0 11517	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11513	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 11516	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1nn0 11510	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		2lt8 11422	. . 3 ⊢ 2 < 8
11		5lt10 11878	. . 3 ⊢ 5 < ;10
12		7lt10 11876	. . 3 ⊢ 7 < ;10
13	1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12	3decltc 11740	. 2 ⊢ ;;257 < ;;841
14		5nn 11390	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
15	1, 14	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ
16		1lt10 11882	. . 3 ⊢ 1 < ;10
17	15, 8, 9, 16	declti 11748	. 2 ⊢ 1 < ;;257
18		3nn0 11512	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		3t2e6 11381	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
20		df-7 11286	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
21	3, 18, 19, 20	dec2dvds 15974	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;257
22		3nn 11388	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
23		2nn 11387	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		3cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
25	24	mulid1i 10244	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
26	25	oveq1i 6803	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27		3p2e5 11362	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
28	26, 27	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
29		2lt3 11397	. . . 4 ⊢ 2 < 3
30	22, 9, 23, 28, 29	ndvdsi 15344	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
31	1, 2, 8	3dvds2dec 15265	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32		5cn 11302	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
33		2cn 11293	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		5p2e7 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 2) = 7
35	32, 33, 34	addcomli 10430	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 5) = 7
36	35	oveq1i 6803	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37		7p7e14 11810	. . . . . 6 ⊢ (7 + 7) = ;14
38	36, 37	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ ((2 + 5) + 7) = ;14
39	38	breq2i 4794	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ ;14)
40	9, 7	3dvdsdec 15263	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41		4cn 11300	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		ax-1cn 10196	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
43		4p1e5 11356	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
44	41, 42, 43	addcomli 10430	. . . . . 6 ⊢ (1 + 4) = 5
45	44	breq2i 4794	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
46	40, 45	bitri 264	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ 5)
47	31, 39, 46	3bitri 286	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ 5)
48	30, 47	mtbir 312	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;257
49		2lt5 11404	. . 3 ⊢ 2 < 5
50	3, 23, 49, 34	dec5dvds2 15976	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;257
51		6nn0 11515	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
52	18, 51	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
53		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;36 = ;36
54		7t3e21 11850	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
55	1, 9, 7, 54, 44	decaddi 11780	. . . . 5 ⊢ ((7 · 3) + 4) = ;25
56		7t6e42 11853	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
57	8, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56	decmul2c 11790	. . . 4 ⊢ (7 · ;36) = ;;252
58	3, 1, 2, 57, 35	decaddi 11780	. . 3 ⊢ ((7 · ;36) + 5) = ;;257
59		5lt7 11412	. . 3 ⊢ 5 < 7
60	4, 52, 14, 58, 59	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;257
61		1nn 11233	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	9, 61	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	1, 18	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
64		4nn 11389	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
65	9, 9	deccl 11714	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
66		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
67	65	nn0cni 11506	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℂ
68	67, 33	mulcomi 10248	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 2) = (2 · ;11)
69	68	oveq1i 6803	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ((2 · ;11) + 3)
70	1	11multnc 11793	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;11) = ;22
71	24, 33, 27	addcomli 10430	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 3) = 5
72	1, 1, 18, 70, 71	decaddi 11780	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;11) + 3) = ;25
73	69, 72	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ;25
74	18	11multnc 11793	. . . . . 6 ⊢ (3 · ;11) = ;33
75	24, 67, 74	mulcomli 10249	. . . . 5 ⊢ (;11 · 3) = ;33
76	65, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75	decmul2c 11790	. . . 4 ⊢ (;11 · ;23) = ;;253
77		4p3e7 11365	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
78	41, 24, 77	addcomli 10430	. . . 4 ⊢ (3 + 4) = 7
79	3, 18, 7, 76, 78	decaddi 11780	. . 3 ⊢ ((;11 · ;23) + 4) = ;;257
80		4lt10 11879	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
81	61, 9, 7, 80	declti 11748	. . 3 ⊢ 4 < ;11
82	62, 63, 64, 79, 81	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;257
83	9, 22	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 11518	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85	9, 84	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
86		10nn 11716	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
87	9, 18	deccl 11714	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
88	87	nn0cni 11506	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℂ
89	85	nn0cni 11506	. . . . . 6 ⊢ ;19 ∈ ℂ
90	88, 89	mulcomi 10248	. . . . 5 ⊢ (;13 · ;19) = (;19 · ;13)
91	90	oveq1i 6803	. . . 4 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ((;19 · ;13) + ;10)
92		0nn0 11509	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
93		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;19 = ;19
94		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;10 = ;10
95	88	mulid2i 10245	. . . . . 6 ⊢ (1 · ;13) = ;13
96		1p1e2 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
97		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 = ;11
98	9, 9, 96, 97	decsuc 11737	. . . . . . 7 ⊢ (;11 + 1) = ;12
99	67, 42, 98	addcomli 10430	. . . . . 6 ⊢ (1 + ;11) = ;12
100	9, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27	decadd 11771	. . . . 5 ⊢ ((1 · ;13) + (1 + ;11)) = ;25
101		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 = ;13
102		9cn 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
103	102	mulid1i 10244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 1) = 9
104	103	oveq1i 6803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105		9p2e11 11820	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 2) = ;11
106	104, 105	eqtri 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 · 1) + 2) = ;11
107		9t3e27 11865	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	84, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107	decmul2c 11790	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ;13) = ;;117
109	108	oveq1i 6803	. . . . . 6 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = (;;117 + 0)
110	65, 8	deccl 11714	. . . . . . . 8 ⊢ ;;117 ∈ ℕ0
111	110	nn0cni 11506	. . . . . . 7 ⊢ ;;117 ∈ ℂ
112	111	addid1i 10425	. . . . . 6 ⊢ (;;117 + 0) = ;;117
113	109, 112	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = ;;117
114	9, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113	decmac 11767	. . . 4 ⊢ ((;19 · ;13) + ;10) = ;;257
115	91, 114	eqtri 2793	. . 3 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ;;257
116		3pos 11316	. . . 4 ⊢ 0 < 3
117	9, 92, 22, 116	declt 11732	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
118	83, 85, 86, 115, 117	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;257
119	9, 4	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
120	9, 2	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
121	9, 8	deccl 11714	. . . . 5 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
122		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;15 = ;15
123	121	nn0cni 11506	. . . . . . 7 ⊢ ;17 ∈ ℂ
124	123	mulid1i 10244	. . . . . 6 ⊢ (;17 · 1) = ;17
125		8cn 11308	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126		7cn 11306	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
127		8p7e15 11818	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 7) = ;15
128	125, 126, 127	addcomli 10430	. . . . . 6 ⊢ (7 + 8) = ;15
129	9, 8, 6, 124, 96, 2, 128	decaddci 11781	. . . . 5 ⊢ ((;17 · 1) + 8) = ;25
130		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
131	32	mulid2i 10245	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 5) = 5
132	131	oveq1i 6803	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133		5p3e8 11368	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
134	132, 133	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 5) + 3) = 8
135		7t5e35 11852	. . . . . 6 ⊢ (7 · 5) = ;35
136	2, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135	decmul1c 11788	. . . . 5 ⊢ (;17 · 5) = ;85
137	121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136	decmul2c 11790	. . . 4 ⊢ (;17 · ;15) = ;;255
138	3, 2, 1, 137, 34	decaddi 11780	. . 3 ⊢ ((;17 · ;15) + 2) = ;;257
139		2lt10 11881	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
140	61, 8, 1, 139	declti 11748	. . 3 ⊢ 2 < ;17
141	119, 120, 23, 138, 140	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;257
142		9nn 11394	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
143	9, 142	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
144		9pos 11324	. . . 4 ⊢ 0 < 9
145	9, 92, 142, 144	declt 11732	. . 3 ⊢ ;10 < ;19
146	143, 87, 86, 114, 145	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;257
147	1, 22	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148	65, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74	decmul1c 11788	. . . 4 ⊢ (;23 · ;11) = ;;253
149	3, 18, 7, 148, 78	decaddi 11780	. . 3 ⊢ ((;23 · ;11) + 4) = ;;257
150	23, 18, 7, 80	declti 11748	. . 3 ⊢ 4 < ;23
151	147, 65, 64, 149, 150	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;257
152	5, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151	prmlem2 16034	1 ⊢ ;;257 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  ;cdc 11695   ∥ cdvds 15189  ℙcprime 15592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  42002