Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  257prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 257prm 43205
Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
257prm 257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 11762 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 5nn0 11765 . . . 4 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11962 . . 3 25 ∈ ℕ0
4 7nn 11577 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11967 . 2 257 ∈ ℕ
6 8nn0 11768 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11764 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11767 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1nn0 11761 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 2lt8 11682 . . 3 2 < 8
11 5lt10 12083 . . 3 5 < 10
12 7lt10 12081 . . 3 7 < 10
131, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 123decltc 11980 . 2 257 < 841
14 5nn 11571 . . . 4 5 ∈ ℕ
151, 14decnncl 11967 . . 3 25 ∈ ℕ
16 1lt10 12087 . . 3 1 < 10
1715, 8, 9, 16declti 11985 . 2 1 < 257
18 3nn0 11763 . . 3 3 ∈ ℕ0
19 3t2e6 11651 . . 3 (3 · 2) = 6
20 df-7 11553 . . 3 7 = (6 + 1)
213, 18, 19, 20dec2dvds 16228 . 2 ¬ 2 ∥ 257
22 3nn 11564 . . . 4 3 ∈ ℕ
23 2nn 11558 . . . 4 2 ∈ ℕ
24 3cn 11566 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2524mulid1i 10491 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
2625oveq1i 7026 . . . . 5 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27 3p2e5 11636 . . . . 5 (3 + 2) = 5
2826, 27eqtri 2819 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = 5
29 2lt3 11657 . . . 4 2 < 3
3022, 9, 23, 28, 29ndvdsi 15596 . . 3 ¬ 3 ∥ 5
311, 2, 83dvds2dec 15515 . . . 4 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32 5cn 11573 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
33 2cn 11560 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
34 5p2e7 11641 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
3532, 33, 34addcomli 10679 . . . . . . 7 (2 + 5) = 7
3635oveq1i 7026 . . . . . 6 ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37 7p7e14 12027 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
3836, 37eqtri 2819 . . . . 5 ((2 + 5) + 7) = 14
3938breq2i 4970 . . . 4 (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ 14)
409, 73dvdsdec 15514 . . . . 5 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41 4cn 11570 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
42 ax-1cn 10441 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
43 4p1e5 11631 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
4441, 42, 43addcomli 10679 . . . . . 6 (1 + 4) = 5
4544breq2i 4970 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
4640, 45bitri 276 . . . 4 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ 5)
4731, 39, 463bitri 298 . . 3 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ 5)
4830, 47mtbir 324 . 2 ¬ 3 ∥ 257
49 2lt5 11664 . . 3 2 < 5
503, 23, 49, 34dec5dvds2 16230 . 2 ¬ 5 ∥ 257
51 6nn0 11766 . . . 4 6 ∈ ℕ0
5218, 51deccl 11962 . . 3 36 ∈ ℕ0
53 eqid 2795 . . . . 5 36 = 36
54 7t3e21 12058 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
551, 9, 7, 54, 44decaddi 12007 . . . . 5 ((7 · 3) + 4) = 25
56 7t6e42 12061 . . . . 5 (7 · 6) = 42
578, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56decmul2c 12014 . . . 4 (7 · 36) = 252
583, 1, 2, 57, 35decaddi 12007 . . 3 ((7 · 36) + 5) = 257
59 5lt7 11672 . . 3 5 < 7
604, 52, 14, 58, 59ndvdsi 15596 . 2 ¬ 7 ∥ 257
61 1nn 11497 . . . 4 1 ∈ ℕ
629, 61decnncl 11967 . . 3 11 ∈ ℕ
631, 18deccl 11962 . . 3 23 ∈ ℕ0
64 4nn 11568 . . 3 4 ∈ ℕ
659, 9deccl 11962 . . . . 5 11 ∈ ℕ0
66 eqid 2795 . . . . 5 23 = 23
6765nn0cni 11757 . . . . . . . 8 11 ∈ ℂ
6867, 33mulcomi 10495 . . . . . . 7 (11 · 2) = (2 · 11)
6968oveq1i 7026 . . . . . 6 ((11 · 2) + 3) = ((2 · 11) + 3)
70111multnc 12016 . . . . . . 7 (2 · 11) = 22
7124, 33, 27addcomli 10679 . . . . . . 7 (2 + 3) = 5
721, 1, 18, 70, 71decaddi 12007 . . . . . 6 ((2 · 11) + 3) = 25
7369, 72eqtri 2819 . . . . 5 ((11 · 2) + 3) = 25
741811multnc 12016 . . . . . 6 (3 · 11) = 33
7524, 67, 74mulcomli 10496 . . . . 5 (11 · 3) = 33
7665, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75decmul2c 12014 . . . 4 (11 · 23) = 253
77 4p3e7 11639 . . . . 5 (4 + 3) = 7
7841, 24, 77addcomli 10679 . . . 4 (3 + 4) = 7
793, 18, 7, 76, 78decaddi 12007 . . 3 ((11 · 23) + 4) = 257
80 4lt10 12084 . . . 4 4 < 10
8161, 9, 7, 80declti 11985 . . 3 4 < 11
8262, 63, 64, 79, 81ndvdsi 15596 . 2 ¬ 11 ∥ 257
839, 22decnncl 11967 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11769 . . . 4 9 ∈ ℕ0
859, 84deccl 11962 . . 3 19 ∈ ℕ0
86 10nn 11963 . . 3 10 ∈ ℕ
879, 18deccl 11962 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
8887nn0cni 11757 . . . . . 6 13 ∈ ℂ
8985nn0cni 11757 . . . . . 6 19 ∈ ℂ
9088, 89mulcomi 10495 . . . . 5 (13 · 19) = (19 · 13)
9190oveq1i 7026 . . . 4 ((13 · 19) + 10) = ((19 · 13) + 10)
92 0nn0 11760 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
93 eqid 2795 . . . . 5 19 = 19
94 eqid 2795 . . . . 5 10 = 10
9588mulid2i 10492 . . . . . 6 (1 · 13) = 13
96 1p1e2 11610 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
97 eqid 2795 . . . . . . . 8 11 = 11
989, 9, 96, 97decsuc 11978 . . . . . . 7 (11 + 1) = 12
9967, 42, 98addcomli 10679 . . . . . 6 (1 + 11) = 12
1009, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27decadd 12001 . . . . 5 ((1 · 13) + (1 + 11)) = 25
101 eqid 2795 . . . . . . . 8 13 = 13
102 9cn 11585 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
103102mulid1i 10491 . . . . . . . . . 10 (9 · 1) = 9
104103oveq1i 7026 . . . . . . . . 9 ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105 9p2e11 12035 . . . . . . . . 9 (9 + 2) = 11
106104, 105eqtri 2819 . . . . . . . 8 ((9 · 1) + 2) = 11
107 9t3e27 12071 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
10884, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107decmul2c 12014 . . . . . . 7 (9 · 13) = 117
109108oveq1i 7026 . . . . . 6 ((9 · 13) + 0) = (117 + 0)
11065, 8deccl 11962 . . . . . . . 8 117 ∈ ℕ0
111110nn0cni 11757 . . . . . . 7 117 ∈ ℂ
112111addid1i 10674 . . . . . 6 (117 + 0) = 117
113109, 112eqtri 2819 . . . . 5 ((9 · 13) + 0) = 117
1149, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113decmac 11999 . . . 4 ((19 · 13) + 10) = 257
11591, 114eqtri 2819 . . 3 ((13 · 19) + 10) = 257
116 3pos 11590 . . . 4 0 < 3
1179, 92, 22, 116declt 11975 . . 3 10 < 13
11883, 85, 86, 115, 117ndvdsi 15596 . 2 ¬ 13 ∥ 257
1199, 4decnncl 11967 . . 3 17 ∈ ℕ
1209, 2deccl 11962 . . 3 15 ∈ ℕ0
1219, 8deccl 11962 . . . . 5 17 ∈ ℕ0
122 eqid 2795 . . . . 5 15 = 15
123121nn0cni 11757 . . . . . . 7 17 ∈ ℂ
124123mulid1i 10491 . . . . . 6 (17 · 1) = 17
125 8cn 11582 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126 7cn 11579 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
127 8p7e15 12033 . . . . . . 7 (8 + 7) = 15
128125, 126, 127addcomli 10679 . . . . . 6 (7 + 8) = 15
1299, 8, 6, 124, 96, 2, 128decaddci 12008 . . . . 5 ((17 · 1) + 8) = 25
130 eqid 2795 . . . . . 6 17 = 17
13132mulid2i 10492 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
132131oveq1i 7026 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133 5p3e8 11642 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
134132, 133eqtri 2819 . . . . . 6 ((1 · 5) + 3) = 8
135 7t5e35 12060 . . . . . 6 (7 · 5) = 35
1362, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135decmul1c 12013 . . . . 5 (17 · 5) = 85
137121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136decmul2c 12014 . . . 4 (17 · 15) = 255
1383, 2, 1, 137, 34decaddi 12007 . . 3 ((17 · 15) + 2) = 257
139 2lt10 12086 . . . 4 2 < 10
14061, 8, 1, 139declti 11985 . . 3 2 < 17
141119, 120, 23, 138, 140ndvdsi 15596 . 2 ¬ 17 ∥ 257
142 9nn 11583 . . . 4 9 ∈ ℕ
1439, 142decnncl 11967 . . 3 19 ∈ ℕ
144 9pos 11598 . . . 4 0 < 9
1459, 92, 142, 144declt 11975 . . 3 10 < 19
146143, 87, 86, 114, 145ndvdsi 15596 . 2 ¬ 19 ∥ 257
1471, 22decnncl 11967 . . 3 23 ∈ ℕ
14865, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74decmul1c 12013 . . . 4 (23 · 11) = 253
1493, 18, 7, 148, 78decaddi 12007 . . 3 ((23 · 11) + 4) = 257
15023, 18, 7, 80declti 11985 . . 3 4 < 23
151147, 65, 64, 149, 150ndvdsi 15596 . 2 ¬ 23 ∥ 257
1525, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151prmlem2 16282 1 257 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  cdc 11947  cdvds 15440  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  fmtno3prm  43206
  Copyright terms: Public domain W3C validator