Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  257prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 257prm 47169
Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
257prm 257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 12535 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 5nn0 12538 . . . 4 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12738 . . 3 25 ∈ ℕ0
4 7nn 12350 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12743 . 2 257 ∈ ℕ
6 8nn0 12541 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12537 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 12540 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1nn0 12534 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 2lt8 12455 . . 3 2 < 8
11 5lt10 12858 . . 3 5 < 10
12 7lt10 12856 . . 3 7 < 10
131, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 123decltc 12756 . 2 257 < 841
14 5nn 12344 . . . 4 5 ∈ ℕ
151, 14decnncl 12743 . . 3 25 ∈ ℕ
16 1lt10 12862 . . 3 1 < 10
1715, 8, 9, 16declti 12761 . 2 1 < 257
18 3nn0 12536 . . 3 3 ∈ ℕ0
19 3t2e6 12424 . . 3 (3 · 2) = 6
20 df-7 12326 . . 3 7 = (6 + 1)
213, 18, 19, 20dec2dvds 17060 . 2 ¬ 2 ∥ 257
22 3nn 12337 . . . 4 3 ∈ ℕ
23 2nn 12331 . . . 4 2 ∈ ℕ
24 3cn 12339 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2524mulridi 11259 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
2625oveq1i 7426 . . . . 5 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27 3p2e5 12409 . . . . 5 (3 + 2) = 5
2826, 27eqtri 2754 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = 5
29 2lt3 12430 . . . 4 2 < 3
3022, 9, 23, 28, 29ndvdsi 16409 . . 3 ¬ 3 ∥ 5
311, 2, 83dvds2dec 16330 . . . 4 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32 5cn 12346 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
33 2cn 12333 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
34 5p2e7 12414 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
3532, 33, 34addcomli 11447 . . . . . . 7 (2 + 5) = 7
3635oveq1i 7426 . . . . . 6 ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37 7p7e14 12802 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
3836, 37eqtri 2754 . . . . 5 ((2 + 5) + 7) = 14
3938breq2i 5153 . . . 4 (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ 14)
409, 73dvdsdec 16329 . . . . 5 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41 4cn 12343 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
42 ax-1cn 11207 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
43 4p1e5 12404 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
4441, 42, 43addcomli 11447 . . . . . 6 (1 + 4) = 5
4544breq2i 5153 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
4640, 45bitri 274 . . . 4 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ 5)
4731, 39, 463bitri 296 . . 3 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ 5)
4830, 47mtbir 322 . 2 ¬ 3 ∥ 257
49 2lt5 12437 . . 3 2 < 5
503, 23, 49, 34dec5dvds2 17062 . 2 ¬ 5 ∥ 257
51 6nn0 12539 . . . 4 6 ∈ ℕ0
5218, 51deccl 12738 . . 3 36 ∈ ℕ0
53 eqid 2726 . . . . 5 36 = 36
54 7t3e21 12833 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
551, 9, 7, 54, 44decaddi 12783 . . . . 5 ((7 · 3) + 4) = 25
56 7t6e42 12836 . . . . 5 (7 · 6) = 42
578, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56decmul2c 12789 . . . 4 (7 · 36) = 252
583, 1, 2, 57, 35decaddi 12783 . . 3 ((7 · 36) + 5) = 257
59 5lt7 12445 . . 3 5 < 7
604, 52, 14, 58, 59ndvdsi 16409 . 2 ¬ 7 ∥ 257
61 1nn 12269 . . . 4 1 ∈ ℕ
629, 61decnncl 12743 . . 3 11 ∈ ℕ
631, 18deccl 12738 . . 3 23 ∈ ℕ0
64 4nn 12341 . . 3 4 ∈ ℕ
659, 9deccl 12738 . . . . 5 11 ∈ ℕ0
66 eqid 2726 . . . . 5 23 = 23
6765nn0cni 12530 . . . . . . . 8 11 ∈ ℂ
6867, 33mulcomi 11263 . . . . . . 7 (11 · 2) = (2 · 11)
6968oveq1i 7426 . . . . . 6 ((11 · 2) + 3) = ((2 · 11) + 3)
70111multnc 12791 . . . . . . 7 (2 · 11) = 22
7124, 33, 27addcomli 11447 . . . . . . 7 (2 + 3) = 5
721, 1, 18, 70, 71decaddi 12783 . . . . . 6 ((2 · 11) + 3) = 25
7369, 72eqtri 2754 . . . . 5 ((11 · 2) + 3) = 25
741811multnc 12791 . . . . . 6 (3 · 11) = 33
7524, 67, 74mulcomli 11264 . . . . 5 (11 · 3) = 33
7665, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75decmul2c 12789 . . . 4 (11 · 23) = 253
77 4p3e7 12412 . . . . 5 (4 + 3) = 7
7841, 24, 77addcomli 11447 . . . 4 (3 + 4) = 7
793, 18, 7, 76, 78decaddi 12783 . . 3 ((11 · 23) + 4) = 257
80 4lt10 12859 . . . 4 4 < 10
8161, 9, 7, 80declti 12761 . . 3 4 < 11
8262, 63, 64, 79, 81ndvdsi 16409 . 2 ¬ 11 ∥ 257
839, 22decnncl 12743 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 12542 . . . 4 9 ∈ ℕ0
859, 84deccl 12738 . . 3 19 ∈ ℕ0
86 10nn 12739 . . 3 10 ∈ ℕ
879, 18deccl 12738 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
8887nn0cni 12530 . . . . . 6 13 ∈ ℂ
8985nn0cni 12530 . . . . . 6 19 ∈ ℂ
9088, 89mulcomi 11263 . . . . 5 (13 · 19) = (19 · 13)
9190oveq1i 7426 . . . 4 ((13 · 19) + 10) = ((19 · 13) + 10)
92 0nn0 12533 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
93 eqid 2726 . . . . 5 19 = 19
94 eqid 2726 . . . . 5 10 = 10
9588mullidi 11260 . . . . . 6 (1 · 13) = 13
96 1p1e2 12383 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
97 eqid 2726 . . . . . . . 8 11 = 11
989, 9, 96, 97decsuc 12754 . . . . . . 7 (11 + 1) = 12
9967, 42, 98addcomli 11447 . . . . . 6 (1 + 11) = 12
1009, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27decadd 12777 . . . . 5 ((1 · 13) + (1 + 11)) = 25
101 eqid 2726 . . . . . . . 8 13 = 13
102 9cn 12358 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
103102mulridi 11259 . . . . . . . . . 10 (9 · 1) = 9
104103oveq1i 7426 . . . . . . . . 9 ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105 9p2e11 12810 . . . . . . . . 9 (9 + 2) = 11
106104, 105eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((9 · 1) + 2) = 11
107 9t3e27 12846 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
10884, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107decmul2c 12789 . . . . . . 7 (9 · 13) = 117
109108oveq1i 7426 . . . . . 6 ((9 · 13) + 0) = (117 + 0)
11065, 8deccl 12738 . . . . . . . 8 117 ∈ ℕ0
111110nn0cni 12530 . . . . . . 7 117 ∈ ℂ
112111addridi 11442 . . . . . 6 (117 + 0) = 117
113109, 112eqtri 2754 . . . . 5 ((9 · 13) + 0) = 117
1149, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113decmac 12775 . . . 4 ((19 · 13) + 10) = 257
11591, 114eqtri 2754 . . 3 ((13 · 19) + 10) = 257
116 3pos 12363 . . . 4 0 < 3
1179, 92, 22, 116declt 12751 . . 3 10 < 13
11883, 85, 86, 115, 117ndvdsi 16409 . 2 ¬ 13 ∥ 257
1199, 4decnncl 12743 . . 3 17 ∈ ℕ
1209, 2deccl 12738 . . 3 15 ∈ ℕ0
1219, 8deccl 12738 . . . . 5 17 ∈ ℕ0
122 eqid 2726 . . . . 5 15 = 15
123121nn0cni 12530 . . . . . . 7 17 ∈ ℂ
124123mulridi 11259 . . . . . 6 (17 · 1) = 17
125 8cn 12355 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126 7cn 12352 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
127 8p7e15 12808 . . . . . . 7 (8 + 7) = 15
128125, 126, 127addcomli 11447 . . . . . 6 (7 + 8) = 15
1299, 8, 6, 124, 96, 2, 128decaddci 12784 . . . . 5 ((17 · 1) + 8) = 25
130 eqid 2726 . . . . . 6 17 = 17
13132mullidi 11260 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
132131oveq1i 7426 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133 5p3e8 12415 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
134132, 133eqtri 2754 . . . . . 6 ((1 · 5) + 3) = 8
135 7t5e35 12835 . . . . . 6 (7 · 5) = 35
1362, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135decmul1c 12788 . . . . 5 (17 · 5) = 85
137121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136decmul2c 12789 . . . 4 (17 · 15) = 255
1383, 2, 1, 137, 34decaddi 12783 . . 3 ((17 · 15) + 2) = 257
139 2lt10 12861 . . . 4 2 < 10
14061, 8, 1, 139declti 12761 . . 3 2 < 17
141119, 120, 23, 138, 140ndvdsi 16409 . 2 ¬ 17 ∥ 257
142 9nn 12356 . . . 4 9 ∈ ℕ
1439, 142decnncl 12743 . . 3 19 ∈ ℕ
144 9pos 12371 . . . 4 0 < 9
1459, 92, 142, 144declt 12751 . . 3 10 < 19
146143, 87, 86, 114, 145ndvdsi 16409 . 2 ¬ 19 ∥ 257
1471, 22decnncl 12743 . . 3 23 ∈ ℕ
14865, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74decmul1c 12788 . . . 4 (23 · 11) = 253
1493, 18, 7, 148, 78decaddi 12783 . . 3 ((23 · 11) + 4) = 257
15023, 18, 7, 80declti 12761 . . 3 4 < 23
151147, 65, 64, 149, 150ndvdsi 16409 . 2 ¬ 23 ∥ 257
1525, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151prmlem2 17117 1 257 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  7c7 12318  8c8 12319  9c9 12320  cdc 12723  cdvds 16251  cprime 16667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-prm 16668
This theorem is referenced by:  fmtno3prm  47170
  Copyright terms: Public domain W3C validator