Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  257prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 257prm 43600
Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
257prm 257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 11902 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 5nn0 11905 . . . 4 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12101 . . 3 25 ∈ ℕ0
4 7nn 11717 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12106 . 2 257 ∈ ℕ
6 8nn0 11908 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11904 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11907 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1nn0 11901 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 2lt8 11822 . . 3 2 < 8
11 5lt10 12221 . . 3 5 < 10
12 7lt10 12219 . . 3 7 < 10
131, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 123decltc 12119 . 2 257 < 841
14 5nn 11711 . . . 4 5 ∈ ℕ
151, 14decnncl 12106 . . 3 25 ∈ ℕ
16 1lt10 12225 . . 3 1 < 10
1715, 8, 9, 16declti 12124 . 2 1 < 257
18 3nn0 11903 . . 3 3 ∈ ℕ0
19 3t2e6 11791 . . 3 (3 · 2) = 6
20 df-7 11693 . . 3 7 = (6 + 1)
213, 18, 19, 20dec2dvds 16387 . 2 ¬ 2 ∥ 257
22 3nn 11704 . . . 4 3 ∈ ℕ
23 2nn 11698 . . . 4 2 ∈ ℕ
24 3cn 11706 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2524mulid1i 10633 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
2625oveq1i 7155 . . . . 5 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27 3p2e5 11776 . . . . 5 (3 + 2) = 5
2826, 27eqtri 2841 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = 5
29 2lt3 11797 . . . 4 2 < 3
3022, 9, 23, 28, 29ndvdsi 15751 . . 3 ¬ 3 ∥ 5
311, 2, 83dvds2dec 15670 . . . 4 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32 5cn 11713 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
33 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
34 5p2e7 11781 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
3532, 33, 34addcomli 10820 . . . . . . 7 (2 + 5) = 7
3635oveq1i 7155 . . . . . 6 ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37 7p7e14 12165 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
3836, 37eqtri 2841 . . . . 5 ((2 + 5) + 7) = 14
3938breq2i 5065 . . . 4 (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ 14)
409, 73dvdsdec 15669 . . . . 5 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41 4cn 11710 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
42 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
43 4p1e5 11771 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
4441, 42, 43addcomli 10820 . . . . . 6 (1 + 4) = 5
4544breq2i 5065 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
4640, 45bitri 276 . . . 4 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ 5)
4731, 39, 463bitri 298 . . 3 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ 5)
4830, 47mtbir 324 . 2 ¬ 3 ∥ 257
49 2lt5 11804 . . 3 2 < 5
503, 23, 49, 34dec5dvds2 16389 . 2 ¬ 5 ∥ 257
51 6nn0 11906 . . . 4 6 ∈ ℕ0
5218, 51deccl 12101 . . 3 36 ∈ ℕ0
53 eqid 2818 . . . . 5 36 = 36
54 7t3e21 12196 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
551, 9, 7, 54, 44decaddi 12146 . . . . 5 ((7 · 3) + 4) = 25
56 7t6e42 12199 . . . . 5 (7 · 6) = 42
578, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56decmul2c 12152 . . . 4 (7 · 36) = 252
583, 1, 2, 57, 35decaddi 12146 . . 3 ((7 · 36) + 5) = 257
59 5lt7 11812 . . 3 5 < 7
604, 52, 14, 58, 59ndvdsi 15751 . 2 ¬ 7 ∥ 257
61 1nn 11637 . . . 4 1 ∈ ℕ
629, 61decnncl 12106 . . 3 11 ∈ ℕ
631, 18deccl 12101 . . 3 23 ∈ ℕ0
64 4nn 11708 . . 3 4 ∈ ℕ
659, 9deccl 12101 . . . . 5 11 ∈ ℕ0
66 eqid 2818 . . . . 5 23 = 23
6765nn0cni 11897 . . . . . . . 8 11 ∈ ℂ
6867, 33mulcomi 10637 . . . . . . 7 (11 · 2) = (2 · 11)
6968oveq1i 7155 . . . . . 6 ((11 · 2) + 3) = ((2 · 11) + 3)
70111multnc 12154 . . . . . . 7 (2 · 11) = 22
7124, 33, 27addcomli 10820 . . . . . . 7 (2 + 3) = 5
721, 1, 18, 70, 71decaddi 12146 . . . . . 6 ((2 · 11) + 3) = 25
7369, 72eqtri 2841 . . . . 5 ((11 · 2) + 3) = 25
741811multnc 12154 . . . . . 6 (3 · 11) = 33
7524, 67, 74mulcomli 10638 . . . . 5 (11 · 3) = 33
7665, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75decmul2c 12152 . . . 4 (11 · 23) = 253
77 4p3e7 11779 . . . . 5 (4 + 3) = 7
7841, 24, 77addcomli 10820 . . . 4 (3 + 4) = 7
793, 18, 7, 76, 78decaddi 12146 . . 3 ((11 · 23) + 4) = 257
80 4lt10 12222 . . . 4 4 < 10
8161, 9, 7, 80declti 12124 . . 3 4 < 11
8262, 63, 64, 79, 81ndvdsi 15751 . 2 ¬ 11 ∥ 257
839, 22decnncl 12106 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11909 . . . 4 9 ∈ ℕ0
859, 84deccl 12101 . . 3 19 ∈ ℕ0
86 10nn 12102 . . 3 10 ∈ ℕ
879, 18deccl 12101 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
8887nn0cni 11897 . . . . . 6 13 ∈ ℂ
8985nn0cni 11897 . . . . . 6 19 ∈ ℂ
9088, 89mulcomi 10637 . . . . 5 (13 · 19) = (19 · 13)
9190oveq1i 7155 . . . 4 ((13 · 19) + 10) = ((19 · 13) + 10)
92 0nn0 11900 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
93 eqid 2818 . . . . 5 19 = 19
94 eqid 2818 . . . . 5 10 = 10
9588mulid2i 10634 . . . . . 6 (1 · 13) = 13
96 1p1e2 11750 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
97 eqid 2818 . . . . . . . 8 11 = 11
989, 9, 96, 97decsuc 12117 . . . . . . 7 (11 + 1) = 12
9967, 42, 98addcomli 10820 . . . . . 6 (1 + 11) = 12
1009, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27decadd 12140 . . . . 5 ((1 · 13) + (1 + 11)) = 25
101 eqid 2818 . . . . . . . 8 13 = 13
102 9cn 11725 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
103102mulid1i 10633 . . . . . . . . . 10 (9 · 1) = 9
104103oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105 9p2e11 12173 . . . . . . . . 9 (9 + 2) = 11
106104, 105eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((9 · 1) + 2) = 11
107 9t3e27 12209 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
10884, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107decmul2c 12152 . . . . . . 7 (9 · 13) = 117
109108oveq1i 7155 . . . . . 6 ((9 · 13) + 0) = (117 + 0)
11065, 8deccl 12101 . . . . . . . 8 117 ∈ ℕ0
111110nn0cni 11897 . . . . . . 7 117 ∈ ℂ
112111addid1i 10815 . . . . . 6 (117 + 0) = 117
113109, 112eqtri 2841 . . . . 5 ((9 · 13) + 0) = 117
1149, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113decmac 12138 . . . 4 ((19 · 13) + 10) = 257
11591, 114eqtri 2841 . . 3 ((13 · 19) + 10) = 257
116 3pos 11730 . . . 4 0 < 3
1179, 92, 22, 116declt 12114 . . 3 10 < 13
11883, 85, 86, 115, 117ndvdsi 15751 . 2 ¬ 13 ∥ 257
1199, 4decnncl 12106 . . 3 17 ∈ ℕ
1209, 2deccl 12101 . . 3 15 ∈ ℕ0
1219, 8deccl 12101 . . . . 5 17 ∈ ℕ0
122 eqid 2818 . . . . 5 15 = 15
123121nn0cni 11897 . . . . . . 7 17 ∈ ℂ
124123mulid1i 10633 . . . . . 6 (17 · 1) = 17
125 8cn 11722 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126 7cn 11719 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
127 8p7e15 12171 . . . . . . 7 (8 + 7) = 15
128125, 126, 127addcomli 10820 . . . . . 6 (7 + 8) = 15
1299, 8, 6, 124, 96, 2, 128decaddci 12147 . . . . 5 ((17 · 1) + 8) = 25
130 eqid 2818 . . . . . 6 17 = 17
13132mulid2i 10634 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
132131oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133 5p3e8 11782 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
134132, 133eqtri 2841 . . . . . 6 ((1 · 5) + 3) = 8
135 7t5e35 12198 . . . . . 6 (7 · 5) = 35
1362, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135decmul1c 12151 . . . . 5 (17 · 5) = 85
137121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136decmul2c 12152 . . . 4 (17 · 15) = 255
1383, 2, 1, 137, 34decaddi 12146 . . 3 ((17 · 15) + 2) = 257
139 2lt10 12224 . . . 4 2 < 10
14061, 8, 1, 139declti 12124 . . 3 2 < 17
141119, 120, 23, 138, 140ndvdsi 15751 . 2 ¬ 17 ∥ 257
142 9nn 11723 . . . 4 9 ∈ ℕ
1439, 142decnncl 12106 . . 3 19 ∈ ℕ
144 9pos 11738 . . . 4 0 < 9
1459, 92, 142, 144declt 12114 . . 3 10 < 19
146143, 87, 86, 114, 145ndvdsi 15751 . 2 ¬ 19 ∥ 257
1471, 22decnncl 12106 . . 3 23 ∈ ℕ
14865, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74decmul1c 12151 . . . 4 (23 · 11) = 253
1493, 18, 7, 148, 78decaddi 12146 . . 3 ((23 · 11) + 4) = 257
15023, 18, 7, 80declti 12124 . . 3 4 < 23
151147, 65, 64, 149, 150ndvdsi 15751 . 2 ¬ 23 ∥ 257
1525, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151prmlem2 16441 1 257 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cdc 12086  cdvds 15595  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  fmtno3prm  43601
  Copyright terms: Public domain W3C validator