Theorem 257prm 48313

Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
257prm	⊢ ;;257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12516	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		5nn0 12519	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
4		7nn 12328	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12730	. 2 ⊢ ;;257 ∈ ℕ
6		8nn0 12522	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12518	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 12521	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1nn0 12515	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		2lt8 12435	. . 3 ⊢ 2 < 8
11		5lt10 12847	. . 3 ⊢ 5 < ;10
12		7lt10 12845	. . 3 ⊢ 7 < ;10
13	1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12	3decltc 12744	. 2 ⊢ ;;257 < ;;841
14		5nn 12322	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
15	1, 14	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ
16		1lt10 12851	. . 3 ⊢ 1 < ;10
17	15, 8, 9, 16	declti 12749	. 2 ⊢ 1 < ;;257
18		3nn0 12517	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		3t2e6 12401	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
20		df-7 12303	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
21	3, 18, 19, 20	dec2dvds 17118	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;257
22		3nn 12315	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
23		2nn 12309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		3cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
25	24	mulridi 11208	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
26	25	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27		3p2e5 12386	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
28	26, 27	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
29		2lt3 12409	. . . 4 ⊢ 2 < 3
30	22, 9, 23, 28, 29	ndvdsi 16465	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
31	1, 2, 8	3dvds2dec 16386	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32		5cn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
33		2cn 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		5p2e7 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 2) = 7
35	32, 33, 34	addcomli 11397	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 5) = 7
36	35	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37		7p7e14 12790	. . . . . 6 ⊢ (7 + 7) = ;14
38	36, 37	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2 + 5) + 7) = ;14
39	38	breq2i 5117	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ ;14)
40	9, 7	3dvdsdec 16385	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41		4cn 12321	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		ax-1cn 11153	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
43		4p1e5 12381	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
44	41, 42, 43	addcomli 11397	. . . . . 6 ⊢ (1 + 4) = 5
45	44	breq2i 5117	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
46	40, 45	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ 5)
47	31, 39, 46	3bitri 300	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ 5)
48	30, 47	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;257
49		2lt5 12417	. . 3 ⊢ 2 < 5
50	3, 23, 49, 34	dec5dvds2 17120	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;257
51		6nn0 12520	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
52	18, 51	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
53		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;36 = ;36
54		7t3e21 12821	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
55	1, 9, 7, 54, 44	decaddi 12771	. . . . 5 ⊢ ((7 · 3) + 4) = ;25
56		7t6e42 12824	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
57	8, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56	decmul2c 12777	. . . 4 ⊢ (7 · ;36) = ;;252
58	3, 1, 2, 57, 35	decaddi 12771	. . 3 ⊢ ((7 · ;36) + 5) = ;;257
59		5lt7 12425	. . 3 ⊢ 5 < 7
60	4, 52, 14, 58, 59	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;257
61		1nn 12239	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	9, 61	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	1, 18	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
64		4nn 12319	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
65	9, 9	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
66		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
67	65	nn0cni 12511	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℂ
68	67, 33	mulcomi 11212	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 2) = (2 · ;11)
69	68	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ((2 · ;11) + 3)
70	1	11multnc 12779	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;11) = ;22
71	24, 33, 27	addcomli 11397	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 3) = 5
72	1, 1, 18, 70, 71	decaddi 12771	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;11) + 3) = ;25
73	69, 72	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ;25
74	18	11multnc 12779	. . . . . 6 ⊢ (3 · ;11) = ;33
75	24, 67, 74	mulcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (;11 · 3) = ;33
76	65, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75	decmul2c 12777	. . . 4 ⊢ (;11 · ;23) = ;;253
77		4p3e7 12389	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
78	41, 24, 77	addcomli 11397	. . . 4 ⊢ (3 + 4) = 7
79	3, 18, 7, 76, 78	decaddi 12771	. . 3 ⊢ ((;11 · ;23) + 4) = ;;257
80		4lt10 12848	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
81	61, 9, 7, 80	declti 12749	. . 3 ⊢ 4 < ;11
82	62, 63, 64, 79, 81	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;257
83	9, 22	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 12523	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85	9, 84	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
86		10nn 12726	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
87	9, 18	deccl 12721	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
88	87	nn0cni 12511	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℂ
89	85	nn0cni 12511	. . . . . 6 ⊢ ;19 ∈ ℂ
90	88, 89	mulcomi 11212	. . . . 5 ⊢ (;13 · ;19) = (;19 · ;13)
91	90	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ((;19 · ;13) + ;10)
92		0nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
93		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;19 = ;19
94		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;10 = ;10
95	88	mullidi 11209	. . . . . 6 ⊢ (1 · ;13) = ;13
96		1p1e2 12359	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
97		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 = ;11
98	9, 9, 96, 97	decsuc 12742	. . . . . . 7 ⊢ (;11 + 1) = ;12
99	67, 42, 98	addcomli 11397	. . . . . 6 ⊢ (1 + ;11) = ;12
100	9, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27	decadd 12765	. . . . 5 ⊢ ((1 · ;13) + (1 + ;11)) = ;25
101		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 = ;13
102		9cn 12336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
103	102	mulridi 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 1) = 9
104	103	oveq1i 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105		9p2e11 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 2) = ;11
106	104, 105	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 · 1) + 2) = ;11
107		9t3e27 12834	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	84, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107	decmul2c 12777	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ;13) = ;;117
109	108	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = (;;117 + 0)
110	65, 8	deccl 12721	. . . . . . . 8 ⊢ ;;117 ∈ ℕ0
111	110	nn0cni 12511	. . . . . . 7 ⊢ ;;117 ∈ ℂ
112	111	addridi 11392	. . . . . 6 ⊢ (;;117 + 0) = ;;117
113	109, 112	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = ;;117
114	9, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113	decmac 12763	. . . 4 ⊢ ((;19 · ;13) + ;10) = ;;257
115	91, 114	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ;;257
116		3pos 12344	. . . 4 ⊢ 0 < 3
117	9, 92, 22, 116	declt 12739	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
118	83, 85, 86, 115, 117	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;257
119	9, 4	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
120	9, 2	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
121	9, 8	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
122		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;15 = ;15
123	121	nn0cni 12511	. . . . . . 7 ⊢ ;17 ∈ ℂ
124	123	mulridi 11208	. . . . . 6 ⊢ (;17 · 1) = ;17
125		8cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126		7cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
127		8p7e15 12796	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 7) = ;15
128	125, 126, 127	addcomli 11397	. . . . . 6 ⊢ (7 + 8) = ;15
129	9, 8, 6, 124, 96, 2, 128	decaddci 12772	. . . . 5 ⊢ ((;17 · 1) + 8) = ;25
130		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
131	32	mullidi 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 5) = 5
132	131	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133		5p3e8 12392	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
134	132, 133	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 5) + 3) = 8
135		7t5e35 12823	. . . . . 6 ⊢ (7 · 5) = ;35
136	2, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135	decmul1c 12776	. . . . 5 ⊢ (;17 · 5) = ;85
137	121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136	decmul2c 12777	. . . 4 ⊢ (;17 · ;15) = ;;255
138	3, 2, 1, 137, 34	decaddi 12771	. . 3 ⊢ ((;17 · ;15) + 2) = ;;257
139		2lt10 12850	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
140	61, 8, 1, 139	declti 12749	. . 3 ⊢ 2 < ;17
141	119, 120, 23, 138, 140	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;257
142		9nn 12334	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
143	9, 142	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
144		9pos 12352	. . . 4 ⊢ 0 < 9
145	9, 92, 142, 144	declt 12739	. . 3 ⊢ ;10 < ;19
146	143, 87, 86, 114, 145	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;257
147	1, 22	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148	65, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74	decmul1c 12776	. . . 4 ⊢ (;23 · ;11) = ;;253
149	3, 18, 7, 148, 78	decaddi 12771	. . 3 ⊢ ((;23 · ;11) + 4) = ;;257
150	23, 18, 7, 80	declti 12749	. . 3 ⊢ 4 < ;23
151	147, 65, 64, 149, 150	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;257
152	5, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151	prmlem2 17175	1 ⊢ ;;257 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  5c5 12293  6c6 12294  7c7 12295  8c8 12296  9c9 12297  ;cdc 12706   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-prm 16725

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  48314