Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  257prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 257prm 46901
Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
257prm 257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 12520 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 5nn0 12523 . . . 4 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12723 . . 3 25 ∈ ℕ0
4 7nn 12335 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12728 . 2 257 ∈ ℕ
6 8nn0 12526 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12522 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 12525 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1nn0 12519 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 2lt8 12440 . . 3 2 < 8
11 5lt10 12843 . . 3 5 < 10
12 7lt10 12841 . . 3 7 < 10
131, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 123decltc 12741 . 2 257 < 841
14 5nn 12329 . . . 4 5 ∈ ℕ
151, 14decnncl 12728 . . 3 25 ∈ ℕ
16 1lt10 12847 . . 3 1 < 10
1715, 8, 9, 16declti 12746 . 2 1 < 257
18 3nn0 12521 . . 3 3 ∈ ℕ0
19 3t2e6 12409 . . 3 (3 · 2) = 6
20 df-7 12311 . . 3 7 = (6 + 1)
213, 18, 19, 20dec2dvds 17032 . 2 ¬ 2 ∥ 257
22 3nn 12322 . . . 4 3 ∈ ℕ
23 2nn 12316 . . . 4 2 ∈ ℕ
24 3cn 12324 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2524mulridi 11249 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
2625oveq1i 7430 . . . . 5 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27 3p2e5 12394 . . . . 5 (3 + 2) = 5
2826, 27eqtri 2756 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = 5
29 2lt3 12415 . . . 4 2 < 3
3022, 9, 23, 28, 29ndvdsi 16389 . . 3 ¬ 3 ∥ 5
311, 2, 83dvds2dec 16310 . . . 4 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32 5cn 12331 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
33 2cn 12318 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
34 5p2e7 12399 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
3532, 33, 34addcomli 11437 . . . . . . 7 (2 + 5) = 7
3635oveq1i 7430 . . . . . 6 ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37 7p7e14 12787 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
3836, 37eqtri 2756 . . . . 5 ((2 + 5) + 7) = 14
3938breq2i 5156 . . . 4 (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ 14)
409, 73dvdsdec 16309 . . . . 5 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41 4cn 12328 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
42 ax-1cn 11197 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
43 4p1e5 12389 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
4441, 42, 43addcomli 11437 . . . . . 6 (1 + 4) = 5
4544breq2i 5156 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
4640, 45bitri 275 . . . 4 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ 5)
4731, 39, 463bitri 297 . . 3 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ 5)
4830, 47mtbir 323 . 2 ¬ 3 ∥ 257
49 2lt5 12422 . . 3 2 < 5
503, 23, 49, 34dec5dvds2 17034 . 2 ¬ 5 ∥ 257
51 6nn0 12524 . . . 4 6 ∈ ℕ0
5218, 51deccl 12723 . . 3 36 ∈ ℕ0
53 eqid 2728 . . . . 5 36 = 36
54 7t3e21 12818 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
551, 9, 7, 54, 44decaddi 12768 . . . . 5 ((7 · 3) + 4) = 25
56 7t6e42 12821 . . . . 5 (7 · 6) = 42
578, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56decmul2c 12774 . . . 4 (7 · 36) = 252
583, 1, 2, 57, 35decaddi 12768 . . 3 ((7 · 36) + 5) = 257
59 5lt7 12430 . . 3 5 < 7
604, 52, 14, 58, 59ndvdsi 16389 . 2 ¬ 7 ∥ 257
61 1nn 12254 . . . 4 1 ∈ ℕ
629, 61decnncl 12728 . . 3 11 ∈ ℕ
631, 18deccl 12723 . . 3 23 ∈ ℕ0
64 4nn 12326 . . 3 4 ∈ ℕ
659, 9deccl 12723 . . . . 5 11 ∈ ℕ0
66 eqid 2728 . . . . 5 23 = 23
6765nn0cni 12515 . . . . . . . 8 11 ∈ ℂ
6867, 33mulcomi 11253 . . . . . . 7 (11 · 2) = (2 · 11)
6968oveq1i 7430 . . . . . 6 ((11 · 2) + 3) = ((2 · 11) + 3)
70111multnc 12776 . . . . . . 7 (2 · 11) = 22
7124, 33, 27addcomli 11437 . . . . . . 7 (2 + 3) = 5
721, 1, 18, 70, 71decaddi 12768 . . . . . 6 ((2 · 11) + 3) = 25
7369, 72eqtri 2756 . . . . 5 ((11 · 2) + 3) = 25
741811multnc 12776 . . . . . 6 (3 · 11) = 33
7524, 67, 74mulcomli 11254 . . . . 5 (11 · 3) = 33
7665, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75decmul2c 12774 . . . 4 (11 · 23) = 253
77 4p3e7 12397 . . . . 5 (4 + 3) = 7
7841, 24, 77addcomli 11437 . . . 4 (3 + 4) = 7
793, 18, 7, 76, 78decaddi 12768 . . 3 ((11 · 23) + 4) = 257
80 4lt10 12844 . . . 4 4 < 10
8161, 9, 7, 80declti 12746 . . 3 4 < 11
8262, 63, 64, 79, 81ndvdsi 16389 . 2 ¬ 11 ∥ 257
839, 22decnncl 12728 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 12527 . . . 4 9 ∈ ℕ0
859, 84deccl 12723 . . 3 19 ∈ ℕ0
86 10nn 12724 . . 3 10 ∈ ℕ
879, 18deccl 12723 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
8887nn0cni 12515 . . . . . 6 13 ∈ ℂ
8985nn0cni 12515 . . . . . 6 19 ∈ ℂ
9088, 89mulcomi 11253 . . . . 5 (13 · 19) = (19 · 13)
9190oveq1i 7430 . . . 4 ((13 · 19) + 10) = ((19 · 13) + 10)
92 0nn0 12518 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
93 eqid 2728 . . . . 5 19 = 19
94 eqid 2728 . . . . 5 10 = 10
9588mullidi 11250 . . . . . 6 (1 · 13) = 13
96 1p1e2 12368 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
97 eqid 2728 . . . . . . . 8 11 = 11
989, 9, 96, 97decsuc 12739 . . . . . . 7 (11 + 1) = 12
9967, 42, 98addcomli 11437 . . . . . 6 (1 + 11) = 12
1009, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27decadd 12762 . . . . 5 ((1 · 13) + (1 + 11)) = 25
101 eqid 2728 . . . . . . . 8 13 = 13
102 9cn 12343 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
103102mulridi 11249 . . . . . . . . . 10 (9 · 1) = 9
104103oveq1i 7430 . . . . . . . . 9 ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105 9p2e11 12795 . . . . . . . . 9 (9 + 2) = 11
106104, 105eqtri 2756 . . . . . . . 8 ((9 · 1) + 2) = 11
107 9t3e27 12831 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
10884, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107decmul2c 12774 . . . . . . 7 (9 · 13) = 117
109108oveq1i 7430 . . . . . 6 ((9 · 13) + 0) = (117 + 0)
11065, 8deccl 12723 . . . . . . . 8 117 ∈ ℕ0
111110nn0cni 12515 . . . . . . 7 117 ∈ ℂ
112111addridi 11432 . . . . . 6 (117 + 0) = 117
113109, 112eqtri 2756 . . . . 5 ((9 · 13) + 0) = 117
1149, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113decmac 12760 . . . 4 ((19 · 13) + 10) = 257
11591, 114eqtri 2756 . . 3 ((13 · 19) + 10) = 257
116 3pos 12348 . . . 4 0 < 3
1179, 92, 22, 116declt 12736 . . 3 10 < 13
11883, 85, 86, 115, 117ndvdsi 16389 . 2 ¬ 13 ∥ 257
1199, 4decnncl 12728 . . 3 17 ∈ ℕ
1209, 2deccl 12723 . . 3 15 ∈ ℕ0
1219, 8deccl 12723 . . . . 5 17 ∈ ℕ0
122 eqid 2728 . . . . 5 15 = 15
123121nn0cni 12515 . . . . . . 7 17 ∈ ℂ
124123mulridi 11249 . . . . . 6 (17 · 1) = 17
125 8cn 12340 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126 7cn 12337 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
127 8p7e15 12793 . . . . . . 7 (8 + 7) = 15
128125, 126, 127addcomli 11437 . . . . . 6 (7 + 8) = 15
1299, 8, 6, 124, 96, 2, 128decaddci 12769 . . . . 5 ((17 · 1) + 8) = 25
130 eqid 2728 . . . . . 6 17 = 17
13132mullidi 11250 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
132131oveq1i 7430 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133 5p3e8 12400 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
134132, 133eqtri 2756 . . . . . 6 ((1 · 5) + 3) = 8
135 7t5e35 12820 . . . . . 6 (7 · 5) = 35
1362, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135decmul1c 12773 . . . . 5 (17 · 5) = 85
137121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136decmul2c 12774 . . . 4 (17 · 15) = 255
1383, 2, 1, 137, 34decaddi 12768 . . 3 ((17 · 15) + 2) = 257
139 2lt10 12846 . . . 4 2 < 10
14061, 8, 1, 139declti 12746 . . 3 2 < 17
141119, 120, 23, 138, 140ndvdsi 16389 . 2 ¬ 17 ∥ 257
142 9nn 12341 . . . 4 9 ∈ ℕ
1439, 142decnncl 12728 . . 3 19 ∈ ℕ
144 9pos 12356 . . . 4 0 < 9
1459, 92, 142, 144declt 12736 . . 3 10 < 19
146143, 87, 86, 114, 145ndvdsi 16389 . 2 ¬ 19 ∥ 257
1471, 22decnncl 12728 . . 3 23 ∈ ℕ
14865, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74decmul1c 12773 . . . 4 (23 · 11) = 253
1493, 18, 7, 148, 78decaddi 12768 . . 3 ((23 · 11) + 4) = 257
15023, 18, 7, 80declti 12746 . . 3 4 < 23
151147, 65, 64, 149, 150ndvdsi 16389 . 2 ¬ 23 ∥ 257
1525, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151prmlem2 17089 1 257 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  7c7 12303  8c8 12304  9c9 12305  cdc 12708  cdvds 16231  cprime 16642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-prm 16643
This theorem is referenced by:  fmtno3prm  46902
  Copyright terms: Public domain W3C validator