Theorem 257prm 43205

Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
257prm	⊢ ;;257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11762	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		5nn0 11765	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
4		7nn 11577	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11967	. 2 ⊢ ;;257 ∈ ℕ
6		8nn0 11768	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11764	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 11767	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1nn0 11761	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		2lt8 11682	. . 3 ⊢ 2 < 8
11		5lt10 12083	. . 3 ⊢ 5 < ;10
12		7lt10 12081	. . 3 ⊢ 7 < ;10
13	1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12	3decltc 11980	. 2 ⊢ ;;257 < ;;841
14		5nn 11571	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
15	1, 14	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ
16		1lt10 12087	. . 3 ⊢ 1 < ;10
17	15, 8, 9, 16	declti 11985	. 2 ⊢ 1 < ;;257
18		3nn0 11763	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		3t2e6 11651	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
20		df-7 11553	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
21	3, 18, 19, 20	dec2dvds 16228	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;257
22		3nn 11564	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
23		2nn 11558	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		3cn 11566	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
25	24	mulid1i 10491	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
26	25	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27		3p2e5 11636	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
28	26, 27	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
29		2lt3 11657	. . . 4 ⊢ 2 < 3
30	22, 9, 23, 28, 29	ndvdsi 15596	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
31	1, 2, 8	3dvds2dec 15515	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32		5cn 11573	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
33		2cn 11560	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		5p2e7 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 2) = 7
35	32, 33, 34	addcomli 10679	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 5) = 7
36	35	oveq1i 7026	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37		7p7e14 12027	. . . . . 6 ⊢ (7 + 7) = ;14
38	36, 37	eqtri 2819	. . . . 5 ⊢ ((2 + 5) + 7) = ;14
39	38	breq2i 4970	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ ;14)
40	9, 7	3dvdsdec 15514	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41		4cn 11570	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		ax-1cn 10441	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
43		4p1e5 11631	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
44	41, 42, 43	addcomli 10679	. . . . . 6 ⊢ (1 + 4) = 5
45	44	breq2i 4970	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
46	40, 45	bitri 276	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ 5)
47	31, 39, 46	3bitri 298	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ 5)
48	30, 47	mtbir 324	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;257
49		2lt5 11664	. . 3 ⊢ 2 < 5
50	3, 23, 49, 34	dec5dvds2 16230	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;257
51		6nn0 11766	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
52	18, 51	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
53		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;36 = ;36
54		7t3e21 12058	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
55	1, 9, 7, 54, 44	decaddi 12007	. . . . 5 ⊢ ((7 · 3) + 4) = ;25
56		7t6e42 12061	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
57	8, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56	decmul2c 12014	. . . 4 ⊢ (7 · ;36) = ;;252
58	3, 1, 2, 57, 35	decaddi 12007	. . 3 ⊢ ((7 · ;36) + 5) = ;;257
59		5lt7 11672	. . 3 ⊢ 5 < 7
60	4, 52, 14, 58, 59	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;257
61		1nn 11497	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	9, 61	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	1, 18	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
64		4nn 11568	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
65	9, 9	deccl 11962	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
66		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
67	65	nn0cni 11757	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℂ
68	67, 33	mulcomi 10495	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 2) = (2 · ;11)
69	68	oveq1i 7026	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ((2 · ;11) + 3)
70	1	11multnc 12016	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;11) = ;22
71	24, 33, 27	addcomli 10679	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 3) = 5
72	1, 1, 18, 70, 71	decaddi 12007	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;11) + 3) = ;25
73	69, 72	eqtri 2819	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ;25
74	18	11multnc 12016	. . . . . 6 ⊢ (3 · ;11) = ;33
75	24, 67, 74	mulcomli 10496	. . . . 5 ⊢ (;11 · 3) = ;33
76	65, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75	decmul2c 12014	. . . 4 ⊢ (;11 · ;23) = ;;253
77		4p3e7 11639	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
78	41, 24, 77	addcomli 10679	. . . 4 ⊢ (3 + 4) = 7
79	3, 18, 7, 76, 78	decaddi 12007	. . 3 ⊢ ((;11 · ;23) + 4) = ;;257
80		4lt10 12084	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
81	61, 9, 7, 80	declti 11985	. . 3 ⊢ 4 < ;11
82	62, 63, 64, 79, 81	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;257
83	9, 22	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 11769	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85	9, 84	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
86		10nn 11963	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
87	9, 18	deccl 11962	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
88	87	nn0cni 11757	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℂ
89	85	nn0cni 11757	. . . . . 6 ⊢ ;19 ∈ ℂ
90	88, 89	mulcomi 10495	. . . . 5 ⊢ (;13 · ;19) = (;19 · ;13)
91	90	oveq1i 7026	. . . 4 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ((;19 · ;13) + ;10)
92		0nn0 11760	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
93		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;19 = ;19
94		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;10 = ;10
95	88	mulid2i 10492	. . . . . 6 ⊢ (1 · ;13) = ;13
96		1p1e2 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
97		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 = ;11
98	9, 9, 96, 97	decsuc 11978	. . . . . . 7 ⊢ (;11 + 1) = ;12
99	67, 42, 98	addcomli 10679	. . . . . 6 ⊢ (1 + ;11) = ;12
100	9, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27	decadd 12001	. . . . 5 ⊢ ((1 · ;13) + (1 + ;11)) = ;25
101		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 = ;13
102		9cn 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
103	102	mulid1i 10491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 1) = 9
104	103	oveq1i 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105		9p2e11 12035	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 2) = ;11
106	104, 105	eqtri 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 · 1) + 2) = ;11
107		9t3e27 12071	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	84, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107	decmul2c 12014	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ;13) = ;;117
109	108	oveq1i 7026	. . . . . 6 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = (;;117 + 0)
110	65, 8	deccl 11962	. . . . . . . 8 ⊢ ;;117 ∈ ℕ0
111	110	nn0cni 11757	. . . . . . 7 ⊢ ;;117 ∈ ℂ
112	111	addid1i 10674	. . . . . 6 ⊢ (;;117 + 0) = ;;117
113	109, 112	eqtri 2819	. . . . 5 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = ;;117
114	9, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113	decmac 11999	. . . 4 ⊢ ((;19 · ;13) + ;10) = ;;257
115	91, 114	eqtri 2819	. . 3 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ;;257
116		3pos 11590	. . . 4 ⊢ 0 < 3
117	9, 92, 22, 116	declt 11975	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
118	83, 85, 86, 115, 117	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;257
119	9, 4	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
120	9, 2	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
121	9, 8	deccl 11962	. . . . 5 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
122		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;15 = ;15
123	121	nn0cni 11757	. . . . . . 7 ⊢ ;17 ∈ ℂ
124	123	mulid1i 10491	. . . . . 6 ⊢ (;17 · 1) = ;17
125		8cn 11582	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126		7cn 11579	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
127		8p7e15 12033	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 7) = ;15
128	125, 126, 127	addcomli 10679	. . . . . 6 ⊢ (7 + 8) = ;15
129	9, 8, 6, 124, 96, 2, 128	decaddci 12008	. . . . 5 ⊢ ((;17 · 1) + 8) = ;25
130		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
131	32	mulid2i 10492	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 5) = 5
132	131	oveq1i 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133		5p3e8 11642	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
134	132, 133	eqtri 2819	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 5) + 3) = 8
135		7t5e35 12060	. . . . . 6 ⊢ (7 · 5) = ;35
136	2, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135	decmul1c 12013	. . . . 5 ⊢ (;17 · 5) = ;85
137	121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136	decmul2c 12014	. . . 4 ⊢ (;17 · ;15) = ;;255
138	3, 2, 1, 137, 34	decaddi 12007	. . 3 ⊢ ((;17 · ;15) + 2) = ;;257
139		2lt10 12086	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
140	61, 8, 1, 139	declti 11985	. . 3 ⊢ 2 < ;17
141	119, 120, 23, 138, 140	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;257
142		9nn 11583	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
143	9, 142	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
144		9pos 11598	. . . 4 ⊢ 0 < 9
145	9, 92, 142, 144	declt 11975	. . 3 ⊢ ;10 < ;19
146	143, 87, 86, 114, 145	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;257
147	1, 22	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148	65, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74	decmul1c 12013	. . . 4 ⊢ (;23 · ;11) = ;;253
149	3, 18, 7, 148, 78	decaddi 12007	. . 3 ⊢ ((;23 · ;11) + 4) = ;;257
150	23, 18, 7, 80	declti 11985	. . 3 ⊢ 4 < ;23
151	147, 65, 64, 149, 150	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;257
152	5, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151	prmlem2 16282	1 ⊢ ;;257 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  ;cdc 11947   ∥ cdvds 15440  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  43206