Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  257prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 257prm 42001
Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
257prm 257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 11511 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 5nn0 11514 . . . 4 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11714 . . 3 25 ∈ ℕ0
4 7nn 11392 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11720 . 2 257 ∈ ℕ
6 8nn0 11517 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11513 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11516 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1nn0 11510 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 2lt8 11422 . . 3 2 < 8
11 5lt10 11878 . . 3 5 < 10
12 7lt10 11876 . . 3 7 < 10
131, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 123decltc 11740 . 2 257 < 841
14 5nn 11390 . . . 4 5 ∈ ℕ
151, 14decnncl 11720 . . 3 25 ∈ ℕ
16 1lt10 11882 . . 3 1 < 10
1715, 8, 9, 16declti 11748 . 2 1 < 257
18 3nn0 11512 . . 3 3 ∈ ℕ0
19 3t2e6 11381 . . 3 (3 · 2) = 6
20 df-7 11286 . . 3 7 = (6 + 1)
213, 18, 19, 20dec2dvds 15974 . 2 ¬ 2 ∥ 257
22 3nn 11388 . . . 4 3 ∈ ℕ
23 2nn 11387 . . . 4 2 ∈ ℕ
24 3cn 11297 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2524mulid1i 10244 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
2625oveq1i 6803 . . . . 5 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27 3p2e5 11362 . . . . 5 (3 + 2) = 5
2826, 27eqtri 2793 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = 5
29 2lt3 11397 . . . 4 2 < 3
3022, 9, 23, 28, 29ndvdsi 15344 . . 3 ¬ 3 ∥ 5
311, 2, 83dvds2dec 15265 . . . 4 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32 5cn 11302 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
33 2cn 11293 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
34 5p2e7 11367 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
3532, 33, 34addcomli 10430 . . . . . . 7 (2 + 5) = 7
3635oveq1i 6803 . . . . . 6 ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37 7p7e14 11810 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
3836, 37eqtri 2793 . . . . 5 ((2 + 5) + 7) = 14
3938breq2i 4794 . . . 4 (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ 14)
409, 73dvdsdec 15263 . . . . 5 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41 4cn 11300 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
42 ax-1cn 10196 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
43 4p1e5 11356 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
4441, 42, 43addcomli 10430 . . . . . 6 (1 + 4) = 5
4544breq2i 4794 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
4640, 45bitri 264 . . . 4 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ 5)
4731, 39, 463bitri 286 . . 3 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ 5)
4830, 47mtbir 312 . 2 ¬ 3 ∥ 257
49 2lt5 11404 . . 3 2 < 5
503, 23, 49, 34dec5dvds2 15976 . 2 ¬ 5 ∥ 257
51 6nn0 11515 . . . 4 6 ∈ ℕ0
5218, 51deccl 11714 . . 3 36 ∈ ℕ0
53 eqid 2771 . . . . 5 36 = 36
54 7t3e21 11850 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
551, 9, 7, 54, 44decaddi 11780 . . . . 5 ((7 · 3) + 4) = 25
56 7t6e42 11853 . . . . 5 (7 · 6) = 42
578, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56decmul2c 11790 . . . 4 (7 · 36) = 252
583, 1, 2, 57, 35decaddi 11780 . . 3 ((7 · 36) + 5) = 257
59 5lt7 11412 . . 3 5 < 7
604, 52, 14, 58, 59ndvdsi 15344 . 2 ¬ 7 ∥ 257
61 1nn 11233 . . . 4 1 ∈ ℕ
629, 61decnncl 11720 . . 3 11 ∈ ℕ
631, 18deccl 11714 . . 3 23 ∈ ℕ0
64 4nn 11389 . . 3 4 ∈ ℕ
659, 9deccl 11714 . . . . 5 11 ∈ ℕ0
66 eqid 2771 . . . . 5 23 = 23
6765nn0cni 11506 . . . . . . . 8 11 ∈ ℂ
6867, 33mulcomi 10248 . . . . . . 7 (11 · 2) = (2 · 11)
6968oveq1i 6803 . . . . . 6 ((11 · 2) + 3) = ((2 · 11) + 3)
70111multnc 11793 . . . . . . 7 (2 · 11) = 22
7124, 33, 27addcomli 10430 . . . . . . 7 (2 + 3) = 5
721, 1, 18, 70, 71decaddi 11780 . . . . . 6 ((2 · 11) + 3) = 25
7369, 72eqtri 2793 . . . . 5 ((11 · 2) + 3) = 25
741811multnc 11793 . . . . . 6 (3 · 11) = 33
7524, 67, 74mulcomli 10249 . . . . 5 (11 · 3) = 33
7665, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75decmul2c 11790 . . . 4 (11 · 23) = 253
77 4p3e7 11365 . . . . 5 (4 + 3) = 7
7841, 24, 77addcomli 10430 . . . 4 (3 + 4) = 7
793, 18, 7, 76, 78decaddi 11780 . . 3 ((11 · 23) + 4) = 257
80 4lt10 11879 . . . 4 4 < 10
8161, 9, 7, 80declti 11748 . . 3 4 < 11
8262, 63, 64, 79, 81ndvdsi 15344 . 2 ¬ 11 ∥ 257
839, 22decnncl 11720 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11518 . . . 4 9 ∈ ℕ0
859, 84deccl 11714 . . 3 19 ∈ ℕ0
86 10nn 11716 . . 3 10 ∈ ℕ
879, 18deccl 11714 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
8887nn0cni 11506 . . . . . 6 13 ∈ ℂ
8985nn0cni 11506 . . . . . 6 19 ∈ ℂ
9088, 89mulcomi 10248 . . . . 5 (13 · 19) = (19 · 13)
9190oveq1i 6803 . . . 4 ((13 · 19) + 10) = ((19 · 13) + 10)
92 0nn0 11509 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
93 eqid 2771 . . . . 5 19 = 19
94 eqid 2771 . . . . 5 10 = 10
9588mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · 13) = 13
96 1p1e2 11336 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
97 eqid 2771 . . . . . . . 8 11 = 11
989, 9, 96, 97decsuc 11737 . . . . . . 7 (11 + 1) = 12
9967, 42, 98addcomli 10430 . . . . . 6 (1 + 11) = 12
1009, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27decadd 11771 . . . . 5 ((1 · 13) + (1 + 11)) = 25
101 eqid 2771 . . . . . . . 8 13 = 13
102 9cn 11310 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
103102mulid1i 10244 . . . . . . . . . 10 (9 · 1) = 9
104103oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105 9p2e11 11820 . . . . . . . . 9 (9 + 2) = 11
106104, 105eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((9 · 1) + 2) = 11
107 9t3e27 11865 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
10884, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107decmul2c 11790 . . . . . . 7 (9 · 13) = 117
109108oveq1i 6803 . . . . . 6 ((9 · 13) + 0) = (117 + 0)
11065, 8deccl 11714 . . . . . . . 8 117 ∈ ℕ0
111110nn0cni 11506 . . . . . . 7 117 ∈ ℂ
112111addid1i 10425 . . . . . 6 (117 + 0) = 117
113109, 112eqtri 2793 . . . . 5 ((9 · 13) + 0) = 117
1149, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113decmac 11767 . . . 4 ((19 · 13) + 10) = 257
11591, 114eqtri 2793 . . 3 ((13 · 19) + 10) = 257
116 3pos 11316 . . . 4 0 < 3
1179, 92, 22, 116declt 11732 . . 3 10 < 13
11883, 85, 86, 115, 117ndvdsi 15344 . 2 ¬ 13 ∥ 257
1199, 4decnncl 11720 . . 3 17 ∈ ℕ
1209, 2deccl 11714 . . 3 15 ∈ ℕ0
1219, 8deccl 11714 . . . . 5 17 ∈ ℕ0
122 eqid 2771 . . . . 5 15 = 15
123121nn0cni 11506 . . . . . . 7 17 ∈ ℂ
124123mulid1i 10244 . . . . . 6 (17 · 1) = 17
125 8cn 11308 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126 7cn 11306 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
127 8p7e15 11818 . . . . . . 7 (8 + 7) = 15
128125, 126, 127addcomli 10430 . . . . . 6 (7 + 8) = 15
1299, 8, 6, 124, 96, 2, 128decaddci 11781 . . . . 5 ((17 · 1) + 8) = 25
130 eqid 2771 . . . . . 6 17 = 17
13132mulid2i 10245 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
132131oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133 5p3e8 11368 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
134132, 133eqtri 2793 . . . . . 6 ((1 · 5) + 3) = 8
135 7t5e35 11852 . . . . . 6 (7 · 5) = 35
1362, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135decmul1c 11788 . . . . 5 (17 · 5) = 85
137121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136decmul2c 11790 . . . 4 (17 · 15) = 255
1383, 2, 1, 137, 34decaddi 11780 . . 3 ((17 · 15) + 2) = 257
139 2lt10 11881 . . . 4 2 < 10
14061, 8, 1, 139declti 11748 . . 3 2 < 17
141119, 120, 23, 138, 140ndvdsi 15344 . 2 ¬ 17 ∥ 257
142 9nn 11394 . . . 4 9 ∈ ℕ
1439, 142decnncl 11720 . . 3 19 ∈ ℕ
144 9pos 11324 . . . 4 0 < 9
1459, 92, 142, 144declt 11732 . . 3 10 < 19
146143, 87, 86, 114, 145ndvdsi 15344 . 2 ¬ 19 ∥ 257
1471, 22decnncl 11720 . . 3 23 ∈ ℕ
14865, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74decmul1c 11788 . . . 4 (23 · 11) = 253
1493, 18, 7, 148, 78decaddi 11780 . . 3 ((23 · 11) + 4) = 257
15023, 18, 7, 80declti 11748 . . 3 4 < 23
151147, 65, 64, 149, 150ndvdsi 15344 . 2 ¬ 23 ∥ 257
1525, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151prmlem2 16034 1 257 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  cdc 11695  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  fmtno3prm  42002
  Copyright terms: Public domain W3C validator