Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 45863
Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 17000, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 16999, but on isprm7 16591. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 17000 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 17000). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 17000). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 12542 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 12438 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 12436 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 12535 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 12239 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 12437 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 12234 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 12259 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 12365 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 11285 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 12661 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 12776 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1342 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 4113 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 3931 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4614 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 11351 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 12667 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 16942 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 45861 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 16221 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 12305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 323 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 856 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 3931 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4614 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 16578 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 12171 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 16943 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 856 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 856 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 216 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 4240 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2856 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 12440 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 12247 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 12362 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 11285 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 12332 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 12660 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 12249 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 12345 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 12653 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 12431 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 11164 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 12273 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 11285 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 12661 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 45860 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 710 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 7373 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 12246 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 12534 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 12543 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1340 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 12240 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 11285 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 12338 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 11285 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 13438 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 710 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 13474 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 12224 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 13503 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 12302 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4703 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2769 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 12226 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 12544 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 13503 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 12306 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4703 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2765 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2769 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 4126 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2769 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 4173 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2856 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 3067 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 16591 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 710 1 31 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  cun 3913  cin 3914  {cpr 4593   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  9c9 12222  cz 12506  cdc 12625  cuz 12770  ...cfz 13431  cfl 13702  csqrt 15125  cdvds 16143  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  m5prm  45864
  Copyright terms: Public domain W3C validator