Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 47584
Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 17158, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 17157, but on isprm7 16745. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 17158 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 17158). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 17158). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 12649 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 12544 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 12542 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12748 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 12642 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 12345 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 12543 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 12340 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 12365 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 12471 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 11384 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 12769 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 12884 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1342 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 4153 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 3967 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4650 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 11450 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 12775 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 17101 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 47582 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 16369 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 12411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 323 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 858 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 3967 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4650 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 16732 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42biimtrdi 253 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 12446 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 17102 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 858 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 406 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 858 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 217 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 4286 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2859 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 12546 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 12353 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 12468 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 11384 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 12438 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 12768 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 12355 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 12451 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 12761 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 12537 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 11263 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 12379 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 11384 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 12769 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 47581 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 223 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 711 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 7442 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 12352 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 12641 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 12650 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1340 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 12346 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 11384 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 12444 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 11384 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 13554 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 711 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 13590 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 12330 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 13619 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 12408 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4737 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2769 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 12332 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 12651 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 13619 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 12412 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4737 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2765 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2769 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 4166 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2769 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 4216 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2859 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 3063 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 16745 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 711 1 31 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cun 3949  cin 3950  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  9c9 12328  cz 12613  cdc 12733  cuz 12878  ...cfz 13547  cfl 13830  csqrt 15272  cdvds 16290  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  m5prm  47585
  Copyright terms: Public domain W3C validator