Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 42188
Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 16101, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 16100, but on isprm7 15699. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 16101 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 16101). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 16101). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 11656 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 11558 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 11556 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11755 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 11649 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 11351 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 11557 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 11346 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 11377 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 11483 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 10414 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 11777 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 11892 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1441 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 3915 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 3958 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4357 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 11555 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 11347 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 10479 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 11783 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 16046 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 4812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 42186 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 15338 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 11423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 4817 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 266 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 314 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 4812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 883 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 208 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 3958 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4357 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 15687 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 117 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42syl6bi 244 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 11458 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 16047 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 883 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 395 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 208 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 883 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 208 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 4040 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2862 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 11560 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 11361 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 11480 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 10414 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 11450 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 11776 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 11364 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 11463 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 11769 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 11550 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 10295 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 11392 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 10414 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 11777 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 462 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 42185 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 214 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 702 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 6853 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 11360 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 11648 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 11657 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1438 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 11352 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 10414 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 11456 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 10414 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 462 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 12540 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 702 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 12574 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 11336 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 6853 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 12603 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 11421 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4427 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2791 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 6852 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 11338 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 6853 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 11658 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 12603 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 11424 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4427 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2787 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2791 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 3927 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2791 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 3972 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2862 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 3069 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 15699 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 702 1 31 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cun 3730  cin 3731  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  5c5 11330  6c6 11331  9c9 11334  cz 11624  cdc 11740  cuz 11886  ...cfz 12533  cfl 12799  csqrt 14258  cdvds 15265  cprime 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-dvds 15266  df-prm 15666
This theorem is referenced by:  m5prm  42189
  Copyright terms: Public domain W3C validator