Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 43196
Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 16271, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 16270, but on isprm7 15869. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 16271 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 16271). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 16271). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 11852 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 11752 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 11750 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11951 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 11845 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 11553 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 11751 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 11548 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 11573 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 11679 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 10599 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 11972 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 12088 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1332 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 4041 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 4085 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3435 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4489 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 11749 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 11549 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 10665 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 11978 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 16216 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 4959 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 328 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 43194 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 15502 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 11619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 4964 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 276 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 324 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 4959 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 328 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 852 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 218 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 4085 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4489 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 15856 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42syl6bi 254 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 11486 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 11654 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 16217 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 4959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 852 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 218 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 852 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 218 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 4167 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2899 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 11754 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 11561 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 11676 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 10599 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 11646 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 11971 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 11563 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 11659 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 11964 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 11745 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 10478 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 11587 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 10599 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 11972 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 43193 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 224 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 707 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 7018 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 11560 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 11844 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 11853 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1330 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 11554 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 10599 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 11652 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 10599 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 12738 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 707 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 12772 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 11538 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 7018 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 12801 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 11616 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4574 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2821 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 7017 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 11540 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 7018 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 11854 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 12801 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 11620 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4574 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2817 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2821 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 4053 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2821 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 4100 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2899 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 3113 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 15869 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 707 1 31 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  cun 3852  cin 3853  {cpr 4468   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   < clt 10510  cle 10511  2c2 11529  3c3 11530  4c4 11531  5c5 11532  6c6 11533  9c9 11536  cz 11818  cdc 11936  cuz 12082  ...cfz 12731  cfl 12998  csqrt 14414  cdvds 15428  cprime 15832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-dvds 15429  df-prm 15833
This theorem is referenced by:  m5prm  43197
  Copyright terms: Public domain W3C validator