Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 44129
 Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 16448, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 16447, but on isprm7 16044. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 16448 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 16448). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 16448). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 12004 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 11905 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 11903 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12103 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 11997 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 11706 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 11904 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 11701 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 11726 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 11832 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 10754 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 12124 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 12239 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1338 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 4076 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 3897 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3444 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4548 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 11902 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 10820 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 12130 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 16391 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 5033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 44127 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 15675 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 11772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 5038 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 278 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 326 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 5033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 854 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 3897 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4548 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 16031 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42syl6bi 256 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 11807 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 16392 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 854 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 410 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 854 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 220 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 4202 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2908 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 11907 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 11714 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 11829 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 10754 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 11799 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 12123 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 11716 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 11812 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 12116 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 11898 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 10634 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 11740 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 10754 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 12124 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 44126 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 226 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 710 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 7146 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 11713 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 11996 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 12005 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1336 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 11707 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 10754 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 11805 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 10754 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 474 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 12894 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 710 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 12930 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 11691 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 7146 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 12959 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 11769 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4633 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2825 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 7145 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 11693 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 7146 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 12006 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 12959 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 11773 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4633 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2821 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2825 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 4088 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2825 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 4135 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2908 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 3116 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 16044 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 710 1 31 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  {cpr 4527   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   < clt 10666   ≤ cle 10667  2c2 11682  3c3 11683  4c4 11684  5c5 11685  6c6 11686  9c9 11689  ℤcz 11971  ;cdc 12088  ℤ≥cuz 12233  ...cfz 12887  ⌊cfl 13157  √csqrt 14586   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fl 13159  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16008 This theorem is referenced by:  m5prm  44130
 Copyright terms: Public domain W3C validator