Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl2rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl2rev 46709
Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer ๐‘ (for example 341, see 341fppr2 46700) so that "๐‘ is prime" does not follow from 2โ†‘๐‘โ‰ก2 (mod ๐‘). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl2rev โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem nfermltl2rev
StepHypRef Expression
1 decex 12685 . . 3 341 โˆˆ V
2 eleq1 2819 . . . 4 (๐‘ = 341 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” 341 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)))
3 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ = 341 โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘341))
4 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 341 โ†’ ๐‘ = 341)
53, 4oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ = 341 โ†’ ((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = ((2โ†‘341) mod 341))
6 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ = 341 โ†’ (2 mod ๐‘) = (2 mod 341))
75, 6eqeq12d 2746 . . . . . 6 (๐‘ = 341 โ†’ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†” ((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341)))
8 eleq1 2819 . . . . . 6 (๐‘ = 341 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” 341 โˆˆ โ„™))
97, 8imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ = 341 โ†’ ((((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” (((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โ†’ 341 โˆˆ โ„™)))
109notbid 317 . . . 4 (๐‘ = 341 โ†’ (ยฌ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โ†’ 341 โˆˆ โ„™)))
112, 10anbi12d 629 . . 3 (๐‘ = 341 โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)) โ†” (341 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โ†’ 341 โˆˆ โ„™))))
12 3z 12599 . . . . 5 3 โˆˆ โ„ค
13 3nn0 12494 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
14 4nn0 12495 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•0
1513, 14deccl 12696 . . . . . . 7 34 โˆˆ โ„•0
16 1nn0 12492 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
1715, 16deccl 12696 . . . . . 6 341 โˆˆ โ„•0
1817nn0zi 12591 . . . . 5 341 โˆˆ โ„ค
1913dec0h 12703 . . . . . 6 3 = 03
20 0nn0 12491 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
21 3re 12296 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„
22 9re 12315 . . . . . . . 8 9 โˆˆ โ„
23 3lt9 12420 . . . . . . . 8 3 < 9
2421, 22, 23ltleii 11341 . . . . . . 7 3 โ‰ค 9
25 3nn 12295 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•
26 0re 11220 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
27 9pos 12329 . . . . . . . . 9 0 < 9
2826, 22, 27ltleii 11341 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 9
2925, 14, 20, 28decltdi 12720 . . . . . . 7 0 < 34
3020, 15, 13, 16, 24, 29decleh 12716 . . . . . 6 03 โ‰ค 341
3119, 30eqbrtri 5168 . . . . 5 3 โ‰ค 341
32 eluz2 12832 . . . . 5 (341 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (3 โˆˆ โ„ค โˆง 341 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 341))
3312, 18, 31, 32mpbir3an 1339 . . . 4 341 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
34 341fppr2 46700 . . . . . . 7 341 โˆˆ ( FPPr โ€˜2)
35 fpprwppr 46705 . . . . . . 7 (341 โˆˆ ( FPPr โ€˜2) โ†’ ((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6 ((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341)
37 11t31e341 46698 . . . . . . . 8 (11 ยท 31) = 341
3837eqcomi 2739 . . . . . . 7 341 = (11 ยท 31)
39 2z 12598 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
4016, 16deccl 12696 . . . . . . . . . 10 11 โˆˆ โ„•0
4140nn0zi 12591 . . . . . . . . 9 11 โˆˆ โ„ค
42 2nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
4342dec0h 12703 . . . . . . . . . 10 2 = 02
44 2re 12290 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
45 2lt9 12421 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
4644, 22, 45ltleii 11341 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰ค 9
47 0lt1 11740 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
4820, 16, 42, 16, 46, 47decleh 12716 . . . . . . . . . 10 02 โ‰ค 11
4943, 48eqbrtri 5168 . . . . . . . . 9 2 โ‰ค 11
50 eluz2 12832 . . . . . . . . 9 (11 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง 11 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค 11))
5139, 41, 49, 50mpbir3an 1339 . . . . . . . 8 11 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
5213, 16deccl 12696 . . . . . . . . . 10 31 โˆˆ โ„•0
5352nn0zi 12591 . . . . . . . . 9 31 โˆˆ โ„ค
54 3pos 12321 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
5520, 13, 42, 16, 46, 54decleh 12716 . . . . . . . . . 10 02 โ‰ค 31
5643, 55eqbrtri 5168 . . . . . . . . 9 2 โ‰ค 31
57 eluz2 12832 . . . . . . . . 9 (31 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง 31 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค 31))
5839, 53, 56, 57mpbir3an 1339 . . . . . . . 8 31 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
59 nprm 16629 . . . . . . . 8 ((11 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 31 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (11 ยท 31) โˆˆ โ„™)
6051, 58, 59mp2an 688 . . . . . . 7 ยฌ (11 ยท 31) โˆˆ โ„™
6138, 60eqneltri 2850 . . . . . 6 ยฌ 341 โˆˆ โ„™
6236, 61pm3.2i 469 . . . . 5 (((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โˆง ยฌ 341 โˆˆ โ„™)
63 annim 402 . . . . 5 ((((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โˆง ยฌ 341 โˆˆ โ„™) โ†” ยฌ (((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โ†’ 341 โˆˆ โ„™))
6462, 63mpbi 229 . . . 4 ยฌ (((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โ†’ 341 โˆˆ โ„™)
6533, 64pm3.2i 469 . . 3 (341 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((2โ†‘341) mod 341) = (2 mod 341) โ†’ 341 โˆˆ โ„™))
661, 11, 65ceqsexv2d 3527 . 2 โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™))
67 df-rex 3069 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†” โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ยฌ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)))
6866, 67mpbir 230 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) ยฌ (((2โ†‘๐‘) mod ๐‘) = (2 mod ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539  โˆƒwex 1779   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  9c9 12278  โ„คcz 12562  cdc 12681  โ„คโ‰ฅcuz 12826   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031  โ„™cprime 16612   FPPr cfppr 46690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-prm 16613  df-fppr 46691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator