Theorem nfermltl2rev 45147

Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 45138) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl2rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decex 12423	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ V
2		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)))
3		oveq2 7276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2↑𝑝) = (2↑;;341))
4		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → 𝑝 = ;;341)
5	3, 4	oveq12d 7286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑;;341) mod ;;341))
6		oveq2 7276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod ;;341))
7	5, 6	eqeq12d 2755	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)))
8		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ ;;341 ∈ ℙ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
10	9	notbid 317	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
11	2, 10	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))))
12		3z 12336	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		3nn0 12234	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14		4nn0 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12434	. . . . . . 7 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
16		1nn0 12232	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12434	. . . . . 6 ⊢ ;;341 ∈ ℕ0
18	17	nn0zi 12328	. . . . 5 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
19	13	dec0h 12441	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
20		0nn0 12231	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		3re 12036	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		9re 12055	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
23		3lt9 12160	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 11081	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ 9
25		3nn 12035	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
26		0re 10961	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		9pos 12069	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 9
28	26, 22, 27	ltleii 11081	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 9
29	25, 14, 20, 28	decltdi 12458	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;34
30	20, 15, 13, 16, 24, 29	decleh 12454	. . . . . 6 ⊢ ;03 ≤ ;;341
31	19, 30	eqbrtri 5099	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ ;;341
32		eluz2 12570	. . . . 5 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ;;341))
33	12, 18, 31, 32	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)
34		341fppr2 45138	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)
35		fpprwppr 45143	. . . . . . 7 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
37		11t31e341 45136	. . . . . . . 8 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39		2z 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
40	16, 16	deccl 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0zi 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ ;11 ∈ ℤ
42		2nn0 12233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	dec0h 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
44		2re 12030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		2lt9 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
46	44, 22, 45	ltleii 11081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
47		0lt1 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
48	20, 16, 42, 16, 46, 47	decleh 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;11
49	43, 48	eqbrtri 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;11
50		eluz2 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
51	39, 41, 49, 50	mpbir3an 1339	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
52	13, 16	deccl 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;31 ∈ ℕ0
53	52	nn0zi 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ ;31 ∈ ℤ
54		3pos 12061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
55	20, 13, 42, 16, 46, 54	decleh 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;31
56	43, 55	eqbrtri 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;31
57		eluz2 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
58	39, 53, 56, 57	mpbir3an 1339	. . . . . . . 8 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
59		nprm 16374	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
60	51, 58, 59	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
61	38, 60	eqneltri 2833	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;341 ∈ ℙ
62	36, 61	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
63		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
64	62, 63	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)
65	33, 64	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
66	1, 11, 65	ceqsexv2d 3479	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67		df-rex 3071	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
68	66, 67	mpbir 230	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1785   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3066   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856   · cmul 10860   ≤ cle 10994  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  9c9 12018  ℤcz 12302  ;cdc 12419  ℤ_≥cuz 12564   mod cmo 13570  ↑cexp 13763  ℙcprime 16357   FPPr cfppr 45128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-prm 16358  df-fppr 45129

This theorem is referenced by: (None)