Theorem nfermltl2rev 46397

Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 46388) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl2rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decex 12677	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ V
2		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)))
3		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2↑𝑝) = (2↑;;341))
4		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → 𝑝 = ;;341)
5	3, 4	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑;;341) mod ;;341))
6		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod ;;341))
7	5, 6	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)))
8		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ ;;341 ∈ ℙ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
10	9	notbid 317	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
11	2, 10	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))))
12		3z 12591	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		3nn0 12486	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14		4nn0 12487	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12688	. . . . . . 7 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
16		1nn0 12484	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12688	. . . . . 6 ⊢ ;;341 ∈ ℕ0
18	17	nn0zi 12583	. . . . 5 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
19	13	dec0h 12695	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
20		0nn0 12483	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		3re 12288	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		9re 12307	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
23		3lt9 12412	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 11333	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ 9
25		3nn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
26		0re 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		9pos 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 9
28	26, 22, 27	ltleii 11333	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 9
29	25, 14, 20, 28	decltdi 12712	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;34
30	20, 15, 13, 16, 24, 29	decleh 12708	. . . . . 6 ⊢ ;03 ≤ ;;341
31	19, 30	eqbrtri 5168	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ ;;341
32		eluz2 12824	. . . . 5 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ;;341))
33	12, 18, 31, 32	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)
34		341fppr2 46388	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)
35		fpprwppr 46393	. . . . . . 7 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
37		11t31e341 46386	. . . . . . . 8 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39		2z 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
40	16, 16	deccl 12688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0zi 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ ;11 ∈ ℤ
42		2nn0 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	dec0h 12695	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
44		2re 12282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		2lt9 12413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
46	44, 22, 45	ltleii 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
47		0lt1 11732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
48	20, 16, 42, 16, 46, 47	decleh 12708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;11
49	43, 48	eqbrtri 5168	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;11
50		eluz2 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
51	39, 41, 49, 50	mpbir3an 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
52	13, 16	deccl 12688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;31 ∈ ℕ0
53	52	nn0zi 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ ;31 ∈ ℤ
54		3pos 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
55	20, 13, 42, 16, 46, 54	decleh 12708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;31
56	43, 55	eqbrtri 5168	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;31
57		eluz2 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
58	39, 53, 56, 57	mpbir3an 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
59		nprm 16621	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
60	51, 58, 59	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
61	38, 60	eqneltri 2852	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;341 ∈ ℙ
62	36, 61	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
63		annim 404	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
64	62, 63	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)
65	33, 64	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
66	1, 11, 65	ceqsexv2d 3528	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67		df-rex 3071	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
68	66, 67	mpbir 230	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   ≤ cle 11245  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  9c9 12270  ℤcz 12554  ;cdc 12673  ℤ_≥cuz 12818   mod cmo 13830  ↑cexp 14023  ℙcprime 16604   FPPr cfppr 46378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605  df-fppr 46379

This theorem is referenced by: (None)