Theorem nfermltl2rev 47782

Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 47773) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl2rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decex 12592	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ V
2		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)))
3		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2↑𝑝) = (2↑;;341))
4		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → 𝑝 = ;;341)
5	3, 4	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑;;341) mod ;;341))
6		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod ;;341))
7	5, 6	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)))
8		eleq1 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ ;;341 ∈ ℙ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
10	9	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
11	2, 10	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))))
12		3z 12505	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		3nn0 12399	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14		4nn0 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12603	. . . . . . 7 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
16		1nn0 12397	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12603	. . . . . 6 ⊢ ;;341 ∈ ℕ0
18	17	nn0zi 12497	. . . . 5 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
19	13	dec0h 12610	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
20		0nn0 12396	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		3re 12205	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		9re 12224	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
23		3lt9 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 11236	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ 9
25		3nn 12204	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
26		0re 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		9pos 12238	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 9
28	26, 22, 27	ltleii 11236	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 9
29	25, 14, 20, 28	decltdi 12627	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;34
30	20, 15, 13, 16, 24, 29	decleh 12623	. . . . . 6 ⊢ ;03 ≤ ;;341
31	19, 30	eqbrtri 5110	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ ;;341
32		eluz2 12738	. . . . 5 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ;;341))
33	12, 18, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)
34		341fppr2 47773	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)
35		fpprwppr 47778	. . . . . . 7 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
37		11t31e341 47771	. . . . . . . 8 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39		2z 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
40	16, 16	deccl 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0zi 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ;11 ∈ ℤ
42		2nn0 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	dec0h 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
44		2re 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		2lt9 12325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
46	44, 22, 45	ltleii 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
47		0lt1 11639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
48	20, 16, 42, 16, 46, 47	decleh 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;11
49	43, 48	eqbrtri 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;11
50		eluz2 12738	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
51	39, 41, 49, 50	mpbir3an 1342	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
52	13, 16	deccl 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;31 ∈ ℕ0
53	52	nn0zi 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ;31 ∈ ℤ
54		3pos 12230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
55	20, 13, 42, 16, 46, 54	decleh 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;31
56	43, 55	eqbrtri 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;31
57		eluz2 12738	. . . . . . . . 9 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
58	39, 53, 56, 57	mpbir3an 1342	. . . . . . . 8 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
59		nprm 16599	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
60	51, 58, 59	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
61	38, 60	eqneltri 2850	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;341 ∈ ℙ
62	36, 61	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
63		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
64	62, 63	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)
65	33, 64	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
66	1, 11, 65	ceqsexv2d 3487	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67		df-rex 3057	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
68	66, 67	mpbir 231	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   ≤ cle 11147  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  9c9 12187  ℤcz 12468  ;cdc 12588  ℤ_≥cuz 12732   mod cmo 13773  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582   FPPr cfppr 47763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583  df-fppr 47764

This theorem is referenced by: (None)