Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl2rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl2rev 44650
 Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 44641) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl2rev 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev
StepHypRef Expression
1 decex 12141 . . 3 341 ∈ V
2 eleq1 2839 . . . 4 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ 341 ∈ (ℤ‘3)))
3 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → (2↑𝑝) = (2↑341))
4 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → 𝑝 = 341)
53, 4oveq12d 7168 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑341) mod 341))
6 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod 341))
75, 6eqeq12d 2774 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)))
8 eleq1 2839 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 341 ∈ ℙ))
97, 8imbi12d 348 . . . . 5 (𝑝 = 341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
109notbid 321 . . . 4 (𝑝 = 341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
112, 10anbi12d 633 . . 3 (𝑝 = 341 → ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))))
12 3z 12054 . . . . 5 3 ∈ ℤ
13 3nn0 11952 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
14 4nn0 11953 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12152 . . . . . . 7 34 ∈ ℕ0
16 1nn0 11950 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12152 . . . . . 6 341 ∈ ℕ0
1817nn0zi 12046 . . . . 5 341 ∈ ℤ
1913dec0h 12159 . . . . . 6 3 = 03
20 0nn0 11949 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
21 3re 11754 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
22 9re 11773 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
23 3lt9 11878 . . . . . . . 8 3 < 9
2421, 22, 23ltleii 10801 . . . . . . 7 3 ≤ 9
25 3nn 11753 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
26 0re 10681 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
27 9pos 11787 . . . . . . . . 9 0 < 9
2826, 22, 27ltleii 10801 . . . . . . . 8 0 ≤ 9
2925, 14, 20, 28decltdi 12176 . . . . . . 7 0 < 34
3020, 15, 13, 16, 24, 29decleh 12172 . . . . . 6 03 ≤ 341
3119, 30eqbrtri 5053 . . . . 5 3 ≤ 341
32 eluz2 12288 . . . . 5 (341 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 341))
3312, 18, 31, 32mpbir3an 1338 . . . 4 341 ∈ (ℤ‘3)
34 341fppr2 44641 . . . . . . 7 341 ∈ ( FPPr ‘2)
35 fpprwppr 44646 . . . . . . 7 (341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6 ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)
37 11t31e341 44639 . . . . . . . 8 (11 · 31) = 341
3837eqcomi 2767 . . . . . . 7 341 = (11 · 31)
39 2z 12053 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
4016, 16deccl 12152 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℕ0
4140nn0zi 12046 . . . . . . . . 9 11 ∈ ℤ
42 2nn0 11951 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
4342dec0h 12159 . . . . . . . . . 10 2 = 02
44 2re 11748 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
45 2lt9 11879 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
4644, 22, 45ltleii 10801 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 9
47 0lt1 11200 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
4820, 16, 42, 16, 46, 47decleh 12172 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 11
4943, 48eqbrtri 5053 . . . . . . . . 9 2 ≤ 11
50 eluz2 12288 . . . . . . . . 9 (11 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 11))
5139, 41, 49, 50mpbir3an 1338 . . . . . . . 8 11 ∈ (ℤ‘2)
5213, 16deccl 12152 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℕ0
5352nn0zi 12046 . . . . . . . . 9 31 ∈ ℤ
54 3pos 11779 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
5520, 13, 42, 16, 46, 54decleh 12172 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 31
5643, 55eqbrtri 5053 . . . . . . . . 9 2 ≤ 31
57 eluz2 12288 . . . . . . . . 9 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
5839, 53, 56, 57mpbir3an 1338 . . . . . . . 8 31 ∈ (ℤ‘2)
59 nprm 16084 . . . . . . . 8 ((11 ∈ (ℤ‘2) ∧ 31 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
6051, 58, 59mp2an 691 . . . . . . 7 ¬ (11 · 31) ∈ ℙ
6138, 60eqneltri 2845 . . . . . 6 ¬ 341 ∈ ℙ
6236, 61pm3.2i 474 . . . . 5 (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ)
63 annim 407 . . . . 5 ((((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
6462, 63mpbi 233 . . . 4 ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)
6533, 64pm3.2i 474 . . 3 (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
661, 11, 65ceqsexv2d 3459 . 2 𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67 df-rex 3076 . 2 (∃𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
6866, 67mpbir 234 1 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   · cmul 10580   ≤ cle 10714  2c2 11729  3c3 11730  4c4 11731  9c9 11736  ℤcz 12020  ;cdc 12137  ℤ≥cuz 12282   mod cmo 13286  ↑cexp 13479  ℙcprime 16067   FPPr cfppr 44631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-prm 16068  df-fppr 44632 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator