Theorem nfermltl2rev 47717

Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 47708) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl2rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decex 12629	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ V
2		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)))
3		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2↑𝑝) = (2↑;;341))
4		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → 𝑝 = ;;341)
5	3, 4	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑;;341) mod ;;341))
6		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod ;;341))
7	5, 6	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)))
8		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ ;;341 ∈ ℙ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
10	9	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
11	2, 10	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))))
12		3z 12542	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		3nn0 12436	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14		4nn0 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
16		1nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;;341 ∈ ℕ0
18	17	nn0zi 12534	. . . . 5 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
19	13	dec0h 12647	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
20		0nn0 12433	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		3re 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		9re 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
23		3lt9 12361	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 11273	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ 9
25		3nn 12241	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
26		0re 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		9pos 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 9
28	26, 22, 27	ltleii 11273	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 9
29	25, 14, 20, 28	decltdi 12664	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;34
30	20, 15, 13, 16, 24, 29	decleh 12660	. . . . . 6 ⊢ ;03 ≤ ;;341
31	19, 30	eqbrtri 5123	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ ;;341
32		eluz2 12775	. . . . 5 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ;;341))
33	12, 18, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)
34		341fppr2 47708	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)
35		fpprwppr 47713	. . . . . . 7 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
37		11t31e341 47706	. . . . . . . 8 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39		2z 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
40	16, 16	deccl 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0zi 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ ;11 ∈ ℤ
42		2nn0 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	dec0h 12647	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
44		2re 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		2lt9 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
46	44, 22, 45	ltleii 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
47		0lt1 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
48	20, 16, 42, 16, 46, 47	decleh 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;11
49	43, 48	eqbrtri 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;11
50		eluz2 12775	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
51	39, 41, 49, 50	mpbir3an 1342	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
52	13, 16	deccl 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;31 ∈ ℕ0
53	52	nn0zi 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ ;31 ∈ ℤ
54		3pos 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
55	20, 13, 42, 16, 46, 54	decleh 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;31
56	43, 55	eqbrtri 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;31
57		eluz2 12775	. . . . . . . . 9 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
58	39, 53, 56, 57	mpbir3an 1342	. . . . . . . 8 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
59		nprm 16634	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
60	51, 58, 59	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
61	38, 60	eqneltri 2847	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;341 ∈ ℙ
62	36, 61	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
63		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
64	62, 63	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)
65	33, 64	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
66	1, 11, 65	ceqsexv2d 3496	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67		df-rex 3054	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
68	66, 67	mpbir 231	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   ≤ cle 11185  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  9c9 12224  ℤcz 12505  ;cdc 12625  ℤ_≥cuz 12769   mod cmo 13807  ↑cexp 14002  ℙcprime 16617   FPPr cfppr 47698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618  df-fppr 47699

This theorem is referenced by: (None)