Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl2rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl2rev 43736
Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 43727) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl2rev 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev
StepHypRef Expression
1 decex 12094 . . 3 341 ∈ V
2 eleq1 2904 . . . 4 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ 341 ∈ (ℤ‘3)))
3 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → (2↑𝑝) = (2↑341))
4 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → 𝑝 = 341)
53, 4oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑341) mod 341))
6 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod 341))
75, 6eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)))
8 eleq1 2904 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 341 ∈ ℙ))
97, 8imbi12d 346 . . . . 5 (𝑝 = 341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
109notbid 319 . . . 4 (𝑝 = 341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
112, 10anbi12d 630 . . 3 (𝑝 = 341 → ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))))
12 3z 12007 . . . . 5 3 ∈ ℤ
13 3nn0 11907 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
14 4nn0 11908 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12105 . . . . . . 7 34 ∈ ℕ0
16 1nn0 11905 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12105 . . . . . 6 341 ∈ ℕ0
1817nn0zi 11999 . . . . 5 341 ∈ ℤ
1913dec0h 12112 . . . . . 6 3 = 03
20 0nn0 11904 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
21 3re 11709 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
22 9re 11728 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
23 3lt9 11833 . . . . . . . 8 3 < 9
2421, 22, 23ltleii 10755 . . . . . . 7 3 ≤ 9
25 3nn 11708 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
26 0re 10635 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
27 9pos 11742 . . . . . . . . 9 0 < 9
2826, 22, 27ltleii 10755 . . . . . . . 8 0 ≤ 9
2925, 14, 20, 28decltdi 12129 . . . . . . 7 0 < 34
3020, 15, 13, 16, 24, 29decleh 12125 . . . . . 6 03 ≤ 341
3119, 30eqbrtri 5083 . . . . 5 3 ≤ 341
32 eluz2 12241 . . . . 5 (341 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 341))
3312, 18, 31, 32mpbir3an 1335 . . . 4 341 ∈ (ℤ‘3)
34 341fppr2 43727 . . . . . . 7 341 ∈ ( FPPr ‘2)
35 fpprwppr 43732 . . . . . . 7 (341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6 ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)
37 11t31e341 43725 . . . . . . . 8 (11 · 31) = 341
3837eqcomi 2834 . . . . . . 7 341 = (11 · 31)
39 2z 12006 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
4016, 16deccl 12105 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℕ0
4140nn0zi 11999 . . . . . . . . 9 11 ∈ ℤ
42 2nn0 11906 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
4342dec0h 12112 . . . . . . . . . 10 2 = 02
44 2re 11703 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
45 2lt9 11834 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
4644, 22, 45ltleii 10755 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 9
47 0lt1 11154 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
4820, 16, 42, 16, 46, 47decleh 12125 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 11
4943, 48eqbrtri 5083 . . . . . . . . 9 2 ≤ 11
50 eluz2 12241 . . . . . . . . 9 (11 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 11))
5139, 41, 49, 50mpbir3an 1335 . . . . . . . 8 11 ∈ (ℤ‘2)
5213, 16deccl 12105 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℕ0
5352nn0zi 11999 . . . . . . . . 9 31 ∈ ℤ
54 3pos 11734 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
5520, 13, 42, 16, 46, 54decleh 12125 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 31
5643, 55eqbrtri 5083 . . . . . . . . 9 2 ≤ 31
57 eluz2 12241 . . . . . . . . 9 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
5839, 53, 56, 57mpbir3an 1335 . . . . . . . 8 31 ∈ (ℤ‘2)
59 nprm 16024 . . . . . . . 8 ((11 ∈ (ℤ‘2) ∧ 31 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
6051, 58, 59mp2an 688 . . . . . . 7 ¬ (11 · 31) ∈ ℙ
6138, 60eqneltri 2910 . . . . . 6 ¬ 341 ∈ ℙ
6236, 61pm3.2i 471 . . . . 5 (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ)
63 annim 404 . . . . 5 ((((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
6462, 63mpbi 231 . . . 4 ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)
6533, 64pm3.2i 471 . . 3 (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
661, 11, 65ceqsexv2d 3547 . 2 𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67 df-rex 3148 . 2 (∃𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
6866, 67mpbir 232 1 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wrex 3143   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  cle 10668  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  9c9 11691  cz 11973  cdc 12090  cuz 12235   mod cmo 13230  cexp 13422  cprime 16007   FPPr cfppr 43717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15600  df-prm 16008  df-fppr 43718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator