Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl2rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl2rev 46397
Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 46388) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl2rev 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev
StepHypRef Expression
1 decex 12677 . . 3 341 ∈ V
2 eleq1 2821 . . . 4 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ 341 ∈ (ℤ‘3)))
3 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → (2↑𝑝) = (2↑341))
4 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → 𝑝 = 341)
53, 4oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑341) mod 341))
6 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod 341))
75, 6eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)))
8 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 341 ∈ ℙ))
97, 8imbi12d 344 . . . . 5 (𝑝 = 341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
109notbid 317 . . . 4 (𝑝 = 341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
112, 10anbi12d 631 . . 3 (𝑝 = 341 → ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))))
12 3z 12591 . . . . 5 3 ∈ ℤ
13 3nn0 12486 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
14 4nn0 12487 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12688 . . . . . . 7 34 ∈ ℕ0
16 1nn0 12484 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12688 . . . . . 6 341 ∈ ℕ0
1817nn0zi 12583 . . . . 5 341 ∈ ℤ
1913dec0h 12695 . . . . . 6 3 = 03
20 0nn0 12483 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
21 3re 12288 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
22 9re 12307 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
23 3lt9 12412 . . . . . . . 8 3 < 9
2421, 22, 23ltleii 11333 . . . . . . 7 3 ≤ 9
25 3nn 12287 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
26 0re 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
27 9pos 12321 . . . . . . . . 9 0 < 9
2826, 22, 27ltleii 11333 . . . . . . . 8 0 ≤ 9
2925, 14, 20, 28decltdi 12712 . . . . . . 7 0 < 34
3020, 15, 13, 16, 24, 29decleh 12708 . . . . . 6 03 ≤ 341
3119, 30eqbrtri 5168 . . . . 5 3 ≤ 341
32 eluz2 12824 . . . . 5 (341 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 341))
3312, 18, 31, 32mpbir3an 1341 . . . 4 341 ∈ (ℤ‘3)
34 341fppr2 46388 . . . . . . 7 341 ∈ ( FPPr ‘2)
35 fpprwppr 46393 . . . . . . 7 (341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6 ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)
37 11t31e341 46386 . . . . . . . 8 (11 · 31) = 341
3837eqcomi 2741 . . . . . . 7 341 = (11 · 31)
39 2z 12590 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
4016, 16deccl 12688 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℕ0
4140nn0zi 12583 . . . . . . . . 9 11 ∈ ℤ
42 2nn0 12485 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
4342dec0h 12695 . . . . . . . . . 10 2 = 02
44 2re 12282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
45 2lt9 12413 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
4644, 22, 45ltleii 11333 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 9
47 0lt1 11732 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
4820, 16, 42, 16, 46, 47decleh 12708 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 11
4943, 48eqbrtri 5168 . . . . . . . . 9 2 ≤ 11
50 eluz2 12824 . . . . . . . . 9 (11 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 11))
5139, 41, 49, 50mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 11 ∈ (ℤ‘2)
5213, 16deccl 12688 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℕ0
5352nn0zi 12583 . . . . . . . . 9 31 ∈ ℤ
54 3pos 12313 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
5520, 13, 42, 16, 46, 54decleh 12708 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 31
5643, 55eqbrtri 5168 . . . . . . . . 9 2 ≤ 31
57 eluz2 12824 . . . . . . . . 9 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
5839, 53, 56, 57mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 31 ∈ (ℤ‘2)
59 nprm 16621 . . . . . . . 8 ((11 ∈ (ℤ‘2) ∧ 31 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
6051, 58, 59mp2an 690 . . . . . . 7 ¬ (11 · 31) ∈ ℙ
6138, 60eqneltri 2852 . . . . . 6 ¬ 341 ∈ ℙ
6236, 61pm3.2i 471 . . . . 5 (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ)
63 annim 404 . . . . 5 ((((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
6462, 63mpbi 229 . . . 4 ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)
6533, 64pm3.2i 471 . . 3 (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
661, 11, 65ceqsexv2d 3528 . 2 𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67 df-rex 3071 . 2 (∃𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
6866, 67mpbir 230 1 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3070   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  cle 11245  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  9c9 12270  cz 12554  cdc 12673  cuz 12818   mod cmo 13830  cexp 14023  cprime 16604   FPPr cfppr 46378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605  df-fppr 46379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator