Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nfermltl2rev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfermltl2rev 47349
Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 47340) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nfermltl2rev 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev
StepHypRef Expression
1 decex 12725 . . 3 341 ∈ V
2 eleq1 2814 . . . 4 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ 341 ∈ (ℤ‘3)))
3 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → (2↑𝑝) = (2↑341))
4 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 341 → 𝑝 = 341)
53, 4oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑341) mod 341))
6 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑝 = 341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod 341))
75, 6eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)))
8 eleq1 2814 . . . . . 6 (𝑝 = 341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 341 ∈ ℙ))
97, 8imbi12d 343 . . . . 5 (𝑝 = 341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
109notbid 317 . . . 4 (𝑝 = 341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)))
112, 10anbi12d 630 . . 3 (𝑝 = 341 → ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))))
12 3z 12639 . . . . 5 3 ∈ ℤ
13 3nn0 12534 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
14 4nn0 12535 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12736 . . . . . . 7 34 ∈ ℕ0
16 1nn0 12532 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12736 . . . . . 6 341 ∈ ℕ0
1817nn0zi 12631 . . . . 5 341 ∈ ℤ
1913dec0h 12743 . . . . . 6 3 = 03
20 0nn0 12531 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
21 3re 12336 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
22 9re 12355 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
23 3lt9 12460 . . . . . . . 8 3 < 9
2421, 22, 23ltleii 11376 . . . . . . 7 3 ≤ 9
25 3nn 12335 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
26 0re 11255 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
27 9pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 9
2826, 22, 27ltleii 11376 . . . . . . . 8 0 ≤ 9
2925, 14, 20, 28decltdi 12760 . . . . . . 7 0 < 34
3020, 15, 13, 16, 24, 29decleh 12756 . . . . . 6 03 ≤ 341
3119, 30eqbrtri 5165 . . . . 5 3 ≤ 341
32 eluz2 12872 . . . . 5 (341 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 341))
3312, 18, 31, 32mpbir3an 1338 . . . 4 341 ∈ (ℤ‘3)
34 341fppr2 47340 . . . . . . 7 341 ∈ ( FPPr ‘2)
35 fpprwppr 47345 . . . . . . 7 (341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6 ((2↑341) mod 341) = (2 mod 341)
37 11t31e341 47338 . . . . . . . 8 (11 · 31) = 341
3837eqcomi 2735 . . . . . . 7 341 = (11 · 31)
39 2z 12638 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
4016, 16deccl 12736 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℕ0
4140nn0zi 12631 . . . . . . . . 9 11 ∈ ℤ
42 2nn0 12533 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
4342dec0h 12743 . . . . . . . . . 10 2 = 02
44 2re 12330 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
45 2lt9 12461 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
4644, 22, 45ltleii 11376 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 9
47 0lt1 11775 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
4820, 16, 42, 16, 46, 47decleh 12756 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 11
4943, 48eqbrtri 5165 . . . . . . . . 9 2 ≤ 11
50 eluz2 12872 . . . . . . . . 9 (11 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 11))
5139, 41, 49, 50mpbir3an 1338 . . . . . . . 8 11 ∈ (ℤ‘2)
5213, 16deccl 12736 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℕ0
5352nn0zi 12631 . . . . . . . . 9 31 ∈ ℤ
54 3pos 12361 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
5520, 13, 42, 16, 46, 54decleh 12756 . . . . . . . . . 10 02 ≤ 31
5643, 55eqbrtri 5165 . . . . . . . . 9 2 ≤ 31
57 eluz2 12872 . . . . . . . . 9 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
5839, 53, 56, 57mpbir3an 1338 . . . . . . . 8 31 ∈ (ℤ‘2)
59 nprm 16682 . . . . . . . 8 ((11 ∈ (ℤ‘2) ∧ 31 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
6051, 58, 59mp2an 690 . . . . . . 7 ¬ (11 · 31) ∈ ℙ
6138, 60eqneltri 2845 . . . . . 6 ¬ 341 ∈ ℙ
6236, 61pm3.2i 469 . . . . 5 (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ)
63 annim 402 . . . . 5 ((((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) ∧ ¬ 341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
6462, 63mpbi 229 . . . 4 ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ)
6533, 64pm3.2i 469 . . 3 (341 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑341) mod 341) = (2 mod 341) → 341 ∈ ℙ))
661, 11, 65ceqsexv2d 3519 . 2 𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67 df-rex 3061 . 2 (∃𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
6866, 67mpbir 230 1 𝑝 ∈ (ℤ‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wrex 3060   class class class wbr 5144  cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  1c1 11148   · cmul 11152  cle 11288  2c2 12311  3c3 12312  4c4 12313  9c9 12318  cz 12602  cdc 12721  cuz 12866   mod cmo 13881  cexp 14073  cprime 16665   FPPr cfppr 47330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-dvds 16250  df-prm 16666  df-fppr 47331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator