Theorem nfermltl2rev 47617

Description: Fermat's little theorem with base 2 reversed is not generally true: There is an integer 𝑝 (for example 341, see 341fppr2 47608) so that "𝑝 is prime" does not follow from 2↑𝑝≡2 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltl2rev	⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Proof of Theorem nfermltl2rev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decex 12762	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ V
2		eleq1 2832	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)))
3		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2↑𝑝) = (2↑;;341))
4		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ;;341 → 𝑝 = ;;341)
5	3, 4	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((2↑𝑝) mod 𝑝) = ((2↑;;341) mod ;;341))
6		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (2 mod 𝑝) = (2 mod ;;341))
7	5, 6	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) ↔ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)))
8		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ ;;341 ∈ ℙ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
10	9	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ;;341 → (¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)))
11	2, 10	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑝 = ;;341 → ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))))
12		3z 12676	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		3nn0 12571	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14		4nn0 12572	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12773	. . . . . . 7 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
16		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;;341 ∈ ℕ0
18	17	nn0zi 12668	. . . . 5 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
19	13	dec0h 12780	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
20		0nn0 12568	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		3re 12373	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		9re 12392	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
23		3lt9 12497	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 11413	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ 9
25		3nn 12372	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
26		0re 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		9pos 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 9
28	26, 22, 27	ltleii 11413	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 9
29	25, 14, 20, 28	decltdi 12797	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;34
30	20, 15, 13, 16, 24, 29	decleh 12793	. . . . . 6 ⊢ ;03 ≤ ;;341
31	19, 30	eqbrtri 5187	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ ;;341
32		eluz2 12909	. . . . 5 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ;;341))
33	12, 18, 31, 32	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘3)
34		341fppr2 47608	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)
35		fpprwppr 47613	. . . . . . 7 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
37		11t31e341 47606	. . . . . . . 8 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2749	. . . . . . 7 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39		2z 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
40	16, 16	deccl 12773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0zi 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ ;11 ∈ ℤ
42		2nn0 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	dec0h 12780	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
44		2re 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		2lt9 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
46	44, 22, 45	ltleii 11413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
47		0lt1 11812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
48	20, 16, 42, 16, 46, 47	decleh 12793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;11
49	43, 48	eqbrtri 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;11
50		eluz2 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
51	39, 41, 49, 50	mpbir3an 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
52	13, 16	deccl 12773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;31 ∈ ℕ0
53	52	nn0zi 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ ;31 ∈ ℤ
54		3pos 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
55	20, 13, 42, 16, 46, 54	decleh 12793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;02 ≤ ;31
56	43, 55	eqbrtri 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ ;31
57		eluz2 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
58	39, 53, 56, 57	mpbir3an 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
59		nprm 16735	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
60	51, 58, 59	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
61	38, 60	eqneltri 2863	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;341 ∈ ℙ
62	36, 61	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
63		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) ∧ ¬ ;;341 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
64	62, 63	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ)
65	33, 64	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑;;341) mod ;;341) = (2 mod ;;341) → ;;341 ∈ ℙ))
66	1, 11, 65	ceqsexv2d 3545	. 2 ⊢ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
67		df-rex 3077	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
68	66, 67	mpbir 231	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((2↑𝑝) mod 𝑝) = (2 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   ≤ cle 11325  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  9c9 12355  ℤcz 12639  ;cdc 12758  ℤ_≥cuz 12903   mod cmo 13920  ↑cexp 14112  ℙcprime 16718   FPPr cfppr 47598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-fppr 47599

This theorem is referenced by: (None)