Theorem aks4d1p7d1 42541

Description: Technical step in AKS lemma 4.1. (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7d1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7d1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7d1.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p7d1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7d1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑝   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
2		aks4d1p7d1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7d1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7d1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7d1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6	2, 3, 4, 5	aks4d1p4 42538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
7	6	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
8		elfznn 13502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	1, 10	pccld 16816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
12	11	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℝ)
14		2re 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
19		eluzelz 12793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20	zred 12628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22		0red 11142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		3re 12256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
25		3pos 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
27		eluzle 12796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
28	2, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
29	22, 24, 21, 26, 28	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
30		1red 11140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1lt2 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
33	30, 32	ltned 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
34	33	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
35	15, 17, 21, 29, 34	relogbcld 42433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36		5nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
38	35, 37	reexpcld 14120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
39		ceilcl 13796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
41	40	zred 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
42	18, 41	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
43		9re 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
45		9pos 12289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
47	21, 28	3lexlogpow5ineq4 42515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	22, 44, 38, 46, 47	lttrd 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
49		ceilge 13799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
50	38, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
51	22, 38, 41, 48, 50	ltletrd 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
52	51, 18	breqtrrd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
53	15, 17, 42, 52, 34	relogbcld 42433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	flcld 13752	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
56	55	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
57		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	20, 29	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
59		elnnz 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
60	58, 59	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
62		1cnd 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
63	62	addlidd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
64	15	recnd 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
65	22, 17	gtned 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
66		logbid1 26749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
67	64, 65, 34, 66	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
68	67	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
69	63, 68	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = (2 logb 2))
70		2z 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
72	15	leidd 11711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
73		2lt9 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 9
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 9)
75	15, 44, 74	ltled 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 9)
76	44, 38, 41, 47, 50	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
77	76, 18	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
78	44, 42, 77	ltled 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
79	15, 44, 42, 75, 78	letrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
80	71, 72, 15, 17, 42, 52, 79	logblebd 42436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
81	69, 80	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
82		0zd 12531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
83	82	peano2zd 12631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
84		flge 13759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ) → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85	53, 83, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	81, 85	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
87	82, 54	zltp1led 12577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
88	86, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)))
89	54, 88	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90		elnnz 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	89, 90	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
93	92	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
94	61, 93	nnexpcld 14202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
95	57, 94	pccld 16816	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
96	95	nn0red 12494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℝ)
97	2	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
98		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑅)
99		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 pCnt 𝑅) = (𝑝 pCnt 𝑅)
100	97, 3, 4, 5, 1, 98, 99	aks4d1p6 42540	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	100	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
102	57, 61	pccld 16816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
103	102	nn0red 12494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
104	22, 55, 88	ltled 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
105	104	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
106	105	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
107		aks4d1p7d1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
108		rsp 3226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
110	109	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
111	110	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑁)
112	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
114		pcelnn 16836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
115	57, 113, 114	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
116	111, 115	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117		nnge1 12200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
119	56, 103, 106, 118	lemulge11d 12088	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
120		zq 12899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
121	20, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
122	60	nnne0d 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
123	121, 122	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
124	123	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
125	124	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
126	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
127	126	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
128		pcexp 16825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
129	57, 125, 127, 128	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
130	119, 129	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
131	13, 56, 96, 101, 130	letrd 11298	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
132		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
133		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	134	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
136		pceq0 16837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
137	133, 135, 136	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
138	132, 137	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) = 0)
139	112	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
140	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
141	140	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
142	139, 141	nnexpcld 14202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
143	133, 142	pccld 16816	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
144	143	nn0ge0d 12496	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
145	138, 144	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
146	131, 145	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
147	146	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
148	7	elfzelzd 13474	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
149	20, 92	zexpcld 14044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
150		pc2dvds 16845	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
151	148, 149, 150	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
152	147, 151	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  infcinf 9349  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  5c5 12234  9c9 12238  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ℚcq 12893  ...cfz 13456  ⌊cfl 13744  ⌈cceil 13745  ↑cexp 14018  ∏cprod 15863   ∥ cdvds 16216  ℙcprime 16635   pCnt cpc 16802   log_b clogb 26745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4194  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9820  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-ceil 13747  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-prod 15864  df-ef 16027  df-e 16028  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-lcm 16554  df-lcmf 16555  df-prm 16636  df-pc 16803  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-perf 23116  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-haus 23294  df-cmp 23366  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-cncf 24859  df-ovol 25445  df-vol 25446  df-mbf 25600  df-itg1 25601  df-itg2 25602  df-ibl 25603  df-itg 25604  df-0p 25651  df-limc 25847  df-dv 25848  df-log 26537  df-cxp 26538  df-logb 26746

This theorem is referenced by:  aks4d1p7  42542