Theorem aks4d1p7d1 42070

Description: Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7d1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7d1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7d1.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p7d1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7d1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑝   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
2		aks4d1p7d1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7d1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7d1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7d1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6	2, 3, 4, 5	aks4d1p4 42067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
7	6	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
8		elfznn 13514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	1, 10	pccld 16821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
12	11	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12504	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℝ)
14		2re 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
19		eluzelz 12803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		3re 12266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
25		3pos 12291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
27		eluzle 12806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
28	2, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
29	22, 24, 21, 26, 28	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
30		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1lt2 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
33	30, 32	ltned 11310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
34	33	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
35	15, 17, 21, 29, 34	relogbcld 41961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36		5nn0 12462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
38	35, 37	reexpcld 14128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
39		ceilcl 13804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
41	40	zred 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
42	18, 41	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
43		9re 12285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
45		9pos 12299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
47	21, 28	3lexlogpow5ineq4 42044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	22, 44, 38, 46, 47	lttrd 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
49		ceilge 13807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
50	38, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
51	22, 38, 41, 48, 50	ltletrd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
52	51, 18	breqtrrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
53	15, 17, 42, 52, 34	relogbcld 41961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	flcld 13760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
56	55	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
57		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	20, 29	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
59		elnnz 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
60	58, 59	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
62		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
63	62	addlidd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
64	15	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
65	22, 17	gtned 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
66		logbid1 26678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
67	64, 65, 34, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
68	67	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
69	63, 68	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = (2 logb 2))
70		2z 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
72	15	leidd 11744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
73		2lt9 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 9
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 9)
75	15, 44, 74	ltled 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 9)
76	44, 38, 41, 47, 50	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
77	76, 18	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
78	44, 42, 77	ltled 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
79	15, 44, 42, 75, 78	letrd 11331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
80	71, 72, 15, 17, 42, 52, 79	logblebd 41964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
81	69, 80	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
82		0zd 12541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
83	82	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
84		flge 13767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ) → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85	53, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	81, 85	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
87	82, 54	zltp1led 41967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
88	86, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)))
89	54, 88	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90		elnnz 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	89, 90	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
93	92	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
94	61, 93	nnexpcld 14210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
95	57, 94	pccld 16821	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
96	95	nn0red 12504	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℝ)
97	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
98		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑅)
99		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 pCnt 𝑅) = (𝑝 pCnt 𝑅)
100	97, 3, 4, 5, 1, 98, 99	aks4d1p6 42069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	100	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
102	57, 61	pccld 16821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
103	102	nn0red 12504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
104	22, 55, 88	ltled 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
105	104	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
106	105	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
107		aks4d1p7d1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
108		rsp 3225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
110	109	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
111	110	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑁)
112	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
114		pcelnn 16841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
115	57, 113, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
116	111, 115	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117		nnge1 12214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
119	56, 103, 106, 118	lemulge11d 12120	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
120		zq 12913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
121	20, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
122	60	nnne0d 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
123	121, 122	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
124	123	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
125	124	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
126	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
127	126	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
128		pcexp 16830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
129	57, 125, 127, 128	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
130	119, 129	breqtrrd 5135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
131	13, 56, 96, 101, 130	letrd 11331	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
132		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
133		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	134	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
136		pceq0 16842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
137	133, 135, 136	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
138	132, 137	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) = 0)
139	112	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
140	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
141	140	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
142	139, 141	nnexpcld 14210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
143	133, 142	pccld 16821	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
144	143	nn0ge0d 12506	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
145	138, 144	eqbrtrd 5129	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
146	131, 145	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
147	146	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
148	7	elfzelzd 13486	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
149	20, 92	zexpcld 14052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
150		pc2dvds 16850	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
151	148, 149, 150	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
152	147, 151	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  infcinf 9392  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  5c5 12244  9c9 12248  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℚcq 12907  ...cfz 13468  ⌊cfl 13752  ⌈cceil 13753  ↑cexp 14026  ∏cprod 15869   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641   pCnt cpc 16807   log_b clogb 26674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-symdif 4216  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-ceil 13755  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-prod 15870  df-ef 16033  df-e 16034  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-lcm 16560  df-lcmf 16561  df-prm 16642  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-itg2 25522  df-ibl 25523  df-itg 25524  df-0p 25571  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466  df-logb 26675

This theorem is referenced by:  aks4d1p7  42071