Theorem aks4d1p7d1 39996

Description: Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7d1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7d1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7d1.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p7d1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7d1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑝   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
2		aks4d1p7d1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7d1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7d1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7d1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6	2, 3, 4, 5	aks4d1p4 39993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
7	6	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
8		elfznn 13189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
10	9	3ad2ant1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	1, 10	pccld 16454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
12	11	3expa 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12199	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℝ)
14		2re 11952	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
19		eluzelz 12496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20	zred 12330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22		0red 10884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		3re 11958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
25		3pos 11983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
27		eluzle 12499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
28	2, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
29	22, 24, 21, 26, 28	ltletrd 11040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
30		1red 10882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1lt2 12049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
33	30, 32	ltned 11016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
34	33	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
35	15, 17, 21, 29, 34	relogbcld 39887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36		5nn0 12158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
38	35, 37	reexpcld 13784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
39		ceilcl 13465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
41	40	zred 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
42	18, 41	eqeltrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
43		9re 11977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
45		9pos 11991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
47	21, 28	3lexlogpow5ineq4 39971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	22, 44, 38, 46, 47	lttrd 11041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
49		ceilge 13468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
50	38, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
51	22, 38, 41, 48, 50	ltletrd 11040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
52	51, 18	breqtrrd 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
53	15, 17, 42, 52, 34	relogbcld 39887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	flcld 13421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
56	55	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
57		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	20, 29	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
59		elnnz 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
60	58, 59	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
62		1cnd 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
63	62	addid2d 11081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
64	15	recnd 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
65	22, 17	gtned 11015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
66		logbid1 25798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
67	64, 65, 34, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
68	67	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
69	63, 68	eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = (2 logb 2))
70		2z 12257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
72	15	leidd 11446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
73		2lt9 12083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 9
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 9)
75	15, 44, 74	ltled 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 9)
76	44, 38, 41, 47, 50	ltletrd 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
77	76, 18	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
78	44, 42, 77	ltled 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
79	15, 44, 42, 75, 78	letrd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
80	71, 72, 15, 17, 42, 52, 79	logblebd 39890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
81	69, 80	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
82		0zd 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
83	82	peano2zd 12333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
84		flge 13428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ) → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85	53, 83, 84	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	81, 85	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
87	82, 54	zltp1led 39895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
88	86, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)))
89	54, 88	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90		elnnz 12234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	89, 90	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 12198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
93	92	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
94	61, 93	nnexpcld 13863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
95	57, 94	pccld 16454	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
96	95	nn0red 12199	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℝ)
97	2	3ad2ant1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
98		simp3 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑅)
99		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 pCnt 𝑅) = (𝑝 pCnt 𝑅)
100	97, 3, 4, 5, 1, 98, 99	aks4d1p6 39995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	100	3expa 1120	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
102	57, 61	pccld 16454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
103	102	nn0red 12199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
104	22, 55, 88	ltled 11028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
105	104	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
106	105	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
107		aks4d1p7d1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
108		rsp 3130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
110	109	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
111	110	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑁)
112	60	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
113	112	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
114		pcelnn 16474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
115	57, 113, 114	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
116	111, 115	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117		nnge1 11906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
119	56, 103, 106, 118	lemulge11d 11817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
120		zq 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
121	20, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
122	60	nnne0d 11928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
123	121, 122	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
124	123	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
125	124	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
126	54	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
127	126	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
128		pcexp 16463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
129	57, 125, 127, 128	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
130	119, 129	breqtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
131	13, 56, 96, 101, 130	letrd 11037	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
132		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
133		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	9	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	134	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
136		pceq0 16475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
137	133, 135, 136	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
138	132, 137	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) = 0)
139	112	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
140	92	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
141	140	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
142	139, 141	nnexpcld 13863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
143	133, 142	pccld 16454	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
144	143	nn0ge0d 12201	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
145	138, 144	eqbrtrd 5092	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
146	131, 145	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
147	146	ralrimiva 3108	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
148	7	elfzelzd 13161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
149	20, 92	zexpcld 13711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
150		pc2dvds 16483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
151	148, 149, 150	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
152	147, 151	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3068   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  infcinf 9105  ℂcc 10775  ℝcr 10776  0cc0 10777  1c1 10778   + caddc 10780   · cmul 10782   < clt 10915   ≤ cle 10916   − cmin 11110  ℕcn 11878  2c2 11933  3c3 11934  5c5 11936  9c9 11940  ℕ₀cn0 12138  ℤcz 12224  ℤ_≥cuz 12486  ℚcq 12592  ...cfz 13143  ⌊cfl 13413  ⌈cceil 13414  ↑cexp 13685  ∏cprod 15518   ∥ cdvds 15866  ℙcprime 16279   pCnt cpc 16440   log_b clogb 25794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-inf2 9304  ax-cc 10097  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854  ax-pre-sup 10855  ax-addf 10856  ax-mulf 10857

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-symdif 4174  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-se 5535  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-isom 6424  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-of 7508  df-ofr 7509  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-supp 7946  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-2o 8245  df-oadd 8248  df-omul 8249  df-er 8433  df-map 8552  df-pm 8553  df-ixp 8621  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-fsupp 9034  df-fi 9075  df-sup 9106  df-inf 9107  df-oi 9174  df-dju 9565  df-card 9603  df-acn 9606  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-div 11538  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-uz 12487  df-q 12593  df-rp 12635  df-xneg 12752  df-xadd 12753  df-xmul 12754  df-ioo 12987  df-ioc 12988  df-ico 12989  df-icc 12990  df-fz 13144  df-fzo 13287  df-fl 13415  df-ceil 13416  df-mod 13493  df-seq 13625  df-exp 13686  df-fac 13891  df-bc 13920  df-hash 13948  df-shft 14681  df-cj 14713  df-re 14714  df-im 14715  df-sqrt 14849  df-abs 14850  df-limsup 15083  df-clim 15100  df-rlim 15101  df-sum 15301  df-prod 15519  df-ef 15680  df-e 15681  df-sin 15682  df-cos 15683  df-pi 15685  df-dvds 15867  df-gcd 16105  df-lcm 16198  df-lcmf 16199  df-prm 16280  df-pc 16441  df-struct 16751  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-plusg 16876  df-mulr 16877  df-starv 16878  df-sca 16879  df-vsca 16880  df-ip 16881  df-tset 16882  df-ple 16883  df-ds 16885  df-unif 16886  df-hom 16887  df-cco 16888  df-rest 17025  df-topn 17026  df-0g 17044  df-gsum 17045  df-topgen 17046  df-pt 17047  df-prds 17050  df-xrs 17105  df-qtop 17110  df-imas 17111  df-xps 17113  df-mre 17187  df-mrc 17188  df-acs 17190  df-mgm 18216  df-sgrp 18265  df-mnd 18276  df-submnd 18321  df-mulg 18591  df-cntz 18813  df-cmn 19278  df-psmet 20477  df-xmet 20478  df-met 20479  df-bl 20480  df-mopn 20481  df-fbas 20482  df-fg 20483  df-cnfld 20486  df-top 21926  df-topon 21943  df-topsp 21965  df-bases 21979  df-cld 22053  df-ntr 22054  df-cls 22055  df-nei 22132  df-lp 22170  df-perf 22171  df-cn 22261  df-cnp 22262  df-haus 22349  df-cmp 22421  df-tx 22596  df-hmeo 22789  df-fil 22880  df-fm 22972  df-flim 22973  df-flf 22974  df-xms 23356  df-ms 23357  df-tms 23358  df-cncf 23922  df-ovol 24508  df-vol 24509  df-mbf 24663  df-itg1 24664  df-itg2 24665  df-ibl 24666  df-itg 24667  df-0p 24714  df-limc 24910  df-dv 24911  df-log 25592  df-cxp 25593  df-logb 25795

This theorem is referenced by:  aks4d1p7  39997