Theorem aks4d1p7d1 42882

Description: Technical step in AKS lemma 4.1. (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7d1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7d1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7d1.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p7d1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7d1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑝   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘, 𝑝)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
2		aks4d1p7d1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7d1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7d1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7d1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6	2, 3, 4, 5	aks4d1p4 42879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
7	6	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
8		elfznn 13600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	1, 10	pccld 16935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
12	11	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℝ)
14		2re 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12363	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
19		eluzelz 12890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	2, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22		0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		3re 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
25		3pos 12367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
27		eluzle 12893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
28	2, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
29	22, 24, 21, 26, 28	ltletrd 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
30		1red 11227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1lt2 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
33	30, 32	ltned 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
34	33	necomd 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
35	15, 17, 21, 29, 34	relogbcld 42774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36		5nn0 12542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
38	35, 37	reexpcld 14219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
39		ceilcl 13895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
41	40	zred 12718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
42	18, 41	eqeltrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
43		9re 12358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
45		9pos 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
47	21, 28	3lexlogpow5ineq4 42856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	22, 44, 38, 46, 47	lttrd 11389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
49		ceilge 13898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
50	38, 49	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
51	22, 38, 41, 48, 50	ltletrd 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
52	51, 18	breqtrrd 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
53	15, 17, 42, 52, 34	relogbcld 42774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	flcld 13851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
56	55	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
57		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	20, 29	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
59		elnnz 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
60	58, 59	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
62		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
63	62	addlidd 11429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
64	15	recnd 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
65	22, 17	gtned 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
66		logbid1 26963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
67	64, 65, 34, 66	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
68	67	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
69	63, 68	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = (2 logb 2))
70		2z 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
72	15	leidd 11798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
73		2lt9 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 9
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 9)
75	15, 44, 74	ltled 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 9)
76	44, 38, 41, 47, 50	ltletrd 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
77	76, 18	breqtrrd 5144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
78	44, 42, 77	ltled 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
79	15, 44, 42, 75, 78	letrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
80	71, 72, 15, 17, 42, 52, 79	logblebd 42777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
81	69, 80	eqbrtrd 5138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
82		0zd 12621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
83	82	peano2zd 12721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
84		flge 13858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ) → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85	53, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	81, 85	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
87	82, 54	zltp1led 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
88	86, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)))
89	54, 88	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90		elnnz 12619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	89, 90	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
93	92	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
94	61, 93	nnexpcld 14301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
95	57, 94	pccld 16935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
96	95	nn0red 12584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℝ)
97	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
98		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑅)
99		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 pCnt 𝑅) = (𝑝 pCnt 𝑅)
100	97, 3, 4, 5, 1, 98, 99	aks4d1p6 42881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	100	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
102	57, 61	pccld 16935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
103	102	nn0red 12584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
104	22, 55, 88	ltled 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
105	104	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
106	105	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
107		aks4d1p7d1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
108		rsp 3256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
109	107, 108	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
110	109	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
111	110	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑁)
112	60	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
113	112	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
114		pcelnn 16955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
115	57, 113, 114	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
116	111, 115	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117		nnge1 12282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
118	116, 117	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
119	56, 103, 106, 118	lemulge11d 12170	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
120		zq 12996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
121	20, 120	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
122	60	nnne0d 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
123	121, 122	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
124	123	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
125	124	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
126	54	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
127	126	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
128		pcexp 16944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
129	57, 125, 127, 128	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
130	119, 129	breqtrrd 5144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
131	13, 56, 96, 101, 130	letrd 11385	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
132		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
133		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	134	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
136		pceq0 16956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
137	133, 135, 136	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
138	132, 137	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) = 0)
139	112	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
140	92	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
141	140	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
142	139, 141	nnexpcld 14301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
143	133, 142	pccld 16935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
144	143	nn0ge0d 12586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
145	138, 144	eqbrtrd 5138	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
146	131, 145	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
147	146	ralrimiva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
148	7	elfzelzd 13571	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
149	20, 92	zexpcld 14143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
150		pc2dvds 16964	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
151	148, 149, 150	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
152	147, 151	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  {crab 3419   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  infcinf 9411  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  5c5 12316  9c9 12320  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ℚcq 12990  ...cfz 13553  ⌊cfl 13843  ⌈cceil 13844  ↑cexp 14117  ∏cprod 15983   ∥ cdvds 16335  ℙcprime 16754   pCnt cpc 16921   log_b clogb 26959

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-symdif 4209  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-ceil 13846  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15984  df-ef 16146  df-e 16147  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-lcm 16673  df-lcmf 16674  df-prm 16755  df-pc 16922  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-submnd 18867  df-mulg 19159  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-cmp 23574  df-tx 23749  df-hmeo 23942  df-fil 24033  df-fm 24125  df-flim 24126  df-flf 24127  df-xms 24507  df-ms 24508  df-tms 24509  df-cncf 25067  df-ovol 25653  df-vol 25654  df-mbf 25808  df-itg1 25809  df-itg2 25810  df-ibl 25811  df-itg 25812  df-0p 25859  df-limc 26055  df-dv 26056  df-log 26751  df-cxp 26752  df-logb 26960

This theorem is used by:  aks4d1p7  42883