Theorem aks4d1p7d1 42774

Description: Technical step in AKS lemma 4.1. (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7d1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7d1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7d1.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p7d1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7d1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑝   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
2		aks4d1p7d1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7d1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7d1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7d1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6	2, 3, 4, 5	aks4d1p4 42771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
7	6	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
8		elfznn 13581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
10	9	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	1, 10	pccld 16910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
12	11	3expa 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12566	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ∈ ℝ)
14		2re 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
16		2pos 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
18	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
19		eluzelz 12872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	2, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22		0red 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		3re 12321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
25		3pos 12349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
27		eluzle 12875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
28	2, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
29	22, 24, 21, 26, 28	ltletrd 11370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
30		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		1lt2 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
33	30, 32	ltned 11346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
34	33	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
35	15, 17, 21, 29, 34	relogbcld 42666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36		5nn0 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
38	35, 37	reexpcld 14199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
39		ceilcl 13875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
41	40	zred 12700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
42	18, 41	eqeltrd 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
43		9re 12340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
45		9pos 12357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
47	21, 28	3lexlogpow5ineq4 42748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	22, 44, 38, 46, 47	lttrd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
49		ceilge 13878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
50	38, 49	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
51	22, 38, 41, 48, 50	ltletrd 11370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
52	51, 18	breqtrrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
53	15, 17, 42, 52, 34	relogbcld 42666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	flcld 13831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
56	55	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
57		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
58	20, 29	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
59		elnnz 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
60	58, 59	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
62		1cnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
63	62	addlidd 11411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
64	15	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
65	22, 17	gtned 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
66		logbid1 26899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
67	64, 65, 34, 66	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
68	67	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
69	63, 68	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = (2 logb 2))
70		2z 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
72	15	leidd 11780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
73		2lt9 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 9
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 9)
75	15, 44, 74	ltled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 9)
76	44, 38, 41, 47, 50	ltletrd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
77	76, 18	breqtrrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
78	44, 42, 77	ltled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
79	15, 44, 42, 75, 78	letrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
80	71, 72, 15, 17, 42, 52, 79	logblebd 42669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
81	69, 80	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
82		0zd 12603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
83	82	peano2zd 12703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
84		flge 13838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ (0 + 1) ∈ ℤ) → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85	53, 83, 84	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	81, 85	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
87	82, 54	zltp1led 12649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
88	86, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵)))
89	54, 88	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90		elnnz 12601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	89, 90	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
93	92	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
94	61, 93	nnexpcld 14281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
95	57, 94	pccld 16910	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
96	95	nn0red 12566	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℝ)
97	2	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
98		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑅)
99		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 pCnt 𝑅) = (𝑝 pCnt 𝑅)
100	97, 3, 4, 5, 1, 98, 99	aks4d1p6 42773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	100	3expa 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
102	57, 61	pccld 16910	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
103	102	nn0red 12566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
104	22, 55, 88	ltled 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
105	104	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
106	105	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
107		aks4d1p7d1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
108		rsp 3259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
109	107, 108	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)))
110	109	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
111	110	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∥ 𝑁)
112	60	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
113	112	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
114		pcelnn 16930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
115	57, 113, 114	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
116	111, 115	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117		nnge1 12264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
118	116, 117	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝑁))
119	56, 103, 106, 118	lemulge11d 12152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
120		zq 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
121	20, 120	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
122	60	nnne0d 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
123	121, 122	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
124	123	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
125	124	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0))
126	54	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
127	126	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
128		pcexp 16919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
129	57, 125, 127, 128	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) = ((⌊‘(2 logb 𝐵)) · (𝑝 pCnt 𝑁)))
130	119, 129	breqtrrd 5141	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
131	13, 56, 96, 101, 130	letrd 11367	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
132		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
133		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑝 ∈ ℙ)
134	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	134	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℕ)
136		pceq0 16931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
137	133, 135, 136	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → ((𝑝 pCnt 𝑅) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅))
138	132, 137	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) = 0)
139	112	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 𝑁 ∈ ℕ)
140	92	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
141	140	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
142	139, 141	nnexpcld 14281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
143	133, 142	pccld 16910	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) ∈ ℕ0)
144	143	nn0ge0d 12568	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
145	138, 144	eqbrtrd 5135	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
146	131, 145	pm2.61dan 824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
147	146	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
148	7	elfzelzd 13553	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
149	20, 92	zexpcld 14123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
150		pc2dvds 16939	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
151	148, 149, 150	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑅) ≤ (𝑝 pCnt (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))))
152	147, 151	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3422   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  infcinf 9401  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  5c5 12298  9c9 12302  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ℚcq 12972  ...cfz 13535  ⌊cfl 13823  ⌈cceil 13824  ↑cexp 14097  ∏cprod 15957   ∥ cdvds 16310  ℙcprime 16729   pCnt cpc 16896   log_b clogb 26895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-symdif 4212  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-ceil 13826  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-prod 15958  df-ef 16121  df-e 16122  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-lcm 16648  df-lcmf 16649  df-prm 16730  df-pc 16897  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-cmp 23513  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-ovol 25592  df-vol 25593  df-mbf 25747  df-itg1 25748  df-itg2 25749  df-ibl 25750  df-itg 25751  df-0p 25798  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-cxp 26688  df-logb 26896

This theorem is referenced by:  aks4d1p7  42775