Theorem nn0sqeq1 15160

Description: A natural number with square one is equal to one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 6-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqeq1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Proof of Theorem nn0sqeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → (𝑁↑2) = 1)
2	1	fveq2d 6846	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → (√‘(𝑁↑2)) = (√‘1))
3		nn0re 12421	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4		nn0ge0 12437	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		sqrtsq 15153	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (√‘(𝑁↑2)) = 𝑁)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (√‘(𝑁↑2)) = 𝑁)
7	6	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → (√‘(𝑁↑2)) = 𝑁)
8		sqrt1 15155	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → (√‘1) = 1)
10	2, 7, 9	3eqtr3d 2784	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7356  ℝcr 11049  0cc0 11050  1c1 11051   ≤ cle 11189  2c2 12207  ℕ₀cn0 12412  ↑cexp 13966  √csqrt 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9377  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-rp 12915  df-seq 13906  df-exp 13967  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119

This theorem is referenced by:  2sq2  26779  2sqcoprm  26781