Theorem nn0sqeq1 30031

Description: A natural number with square one is equal to one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqeq1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Proof of Theorem nn0sqeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 11590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 10329	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttri2d 10466	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁)))
4		nn0lt10b 11729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
5	4	biimpa 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
6	5	sq0id 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁↑2) = 0)
7		0ne1 11384	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≠ 1)
9	6, 8	eqnetrd 3038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁↑2) ≠ 1)
10		1red 10329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
11		sq1 13212	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
12		0le1 10843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
14		nn0ge0 11607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
15	2, 1, 13, 14	lt2sqd 13299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1↑2) < (𝑁↑2)))
16	15	biimpa 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → (1↑2) < (𝑁↑2))
17	11, 16	syl5eqbrr 4879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → 1 < (𝑁↑2))
18	10, 17	gtned 10462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁↑2) ≠ 1)
19	9, 18	jaodan 981	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁)) → (𝑁↑2) ≠ 1)
20	19	ex 402	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁) → (𝑁↑2) ≠ 1))
21	3, 20	sylbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁↑2) ≠ 1))
22	21	necon4d 2995	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) = 1 → 𝑁 = 1))
23	22	imp 396	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225   < clt 10363   ≤ cle 10364  2c2 11368  ℕ₀cn0 11580  ↑cexp 13114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-seq 13056  df-exp 13115

This theorem is referenced by:  2sqcoprm  30163